Abordarea rigidității directe

Motivație

A avea o înțelegere profundă a Analizei cu Elemente Finite (FEA) este crucială atât pentru asigurarea unor date de intrare corecte, cât și pentru prezentarea rezultatelor în mod adecvat. Obiectivul principal al acestui articol este de a explica modul în care matricea este asamblată în fundal în orice software FEA și cum rigiditatea rotațională poate influența comportamentul global al unei structuri. Acest articol servește ca o condiție prealabilă pentru un articol viitor, unde toate constatările vor fi aplicate unei structuri folosind IDEA StatiCa Connection.

Abordarea rigidității directe – conexiuni rigide

Să aruncăm o privire asupra exemplului simplu al unei structuri prezentate în figura 1. Structura constă dintr-un stâlp și o grindă cu proprietăți identice ale secțiunii transversale HEA 200. Fiecare nod are trei grade de libertate, incluzând două translații (X și Z) și o rotație (Ry). Spațiul de lucru este 2D. Materialul este oțel cu un modul de elasticitate de 200.000 MPa.

01) Model cu arc-GCS, geometrie, axonometrie + secțiuni HEA 200

Matricea de rigiditate locală

Matricea de rigiditate guvernează relația dintre modificarea deplasărilor (și rotațiilor) la capetele grinzii și forțele corespunzătoare (reacțiuni). Merită menționat că fiecare nod în spațiul de lucru 2D are trei grade de libertate (două translații și o rotație), rezultând o matrice locală cu dimensiuni de 6x6. Această matrice reprezintă rigiditatea normală, rigiditatea la forfecare și rigiditatea la încovoiere a elementului.

02) Matricea de rigiditate locală a tuturor membrelor

Matricea de transformare

În 90% din structuri, matricea de rigiditate locală a membrelor nu se aliniază cu sistemul de coordonate global. Doar grinzile simple aliniate într-o linie dreaptă au același Sistem de Coordonate Local (LCS) și Sistem de Coordonate Global (GCS). În cazul nostru, al treilea element este rotit cu 90 de grade în jurul nodului doi. Această transformare este necesară pentru calculele viitoare.

03) Matricea de transformare membrul 1,2; Matricea de transformare membrul 3

Transformarea într-un sistem de coordonate global

Pentru calculul precis al deplasării, este esențial să se alinieze sistemele de coordonate ale tuturor membrelor implicate. O modalitate de a realiza acest lucru este prin utilizarea unei matrice de transformare, care simplifică procesul și permite o tranziție lină către calculul deplasării. Transformarea nu modifică matricea pentru membrii unu și doi, deoarece sistemul lor de coordonate local este același cu cel global. Cu toate acestea, puteți observa o modificare la membrul trei, care este rotit cu aproximativ 90 de grade. Intrările pentru translațiile X și Z sunt. Puteți observa numerele mici diferite de zero din matrice. Acestea provin din procesul numeric, dar deoarece sunt relativ mici în raport cu rigiditatea generală, nu afectează rezultatele în niciun mod semnificativ.

04) Matricea globală membrul 1,2; Matricea globală membrul 3

Matricea globală - sumare

Aveți patru noduri, iar fiecare nod are trei grade de libertate. Aceasta înseamnă că matricea rezultată are dimensiuni de 12x12. Partea crucială a procesului este adunarea valorilor din coloane și rânduri din matricele individuale în cea globală.

05) Matricea de rigiditate globală a întregului sistem

Condiția la limită și vectorul de încărcare

Fără condiții la limită, sistemul este subdeterminat (și poate fi obținută doar soluția trivială). În acest scenariu, constrângerile fixe sunt considerate la nodurile unu și trei. Deplasările la limită zero (și rotațiile) pot fi reprezentate prin eliminarea rândurilor și coloanelor corespunzătoare. Soluția este trivială dacă nu sunt aplicate forțe (deplasări zero).În exemplul nostru, nodul patru este supus unei forțe verticale de 50 kN.

06) Matricea redusă, vectorul de încărcare și condițiile la limită aplicate

Soluție

Luând în considerare deformări mici și material liniar elastic, putem rezolva fără efort vectorul deplasărilor necunoscute într-un singur pas. Această abordare este rapidă și extrem de eficientă, făcând-o o metodă convenabilă pentru abordarea preocupărilor legate de deplasare.

07) Deplasarea nodală în GCS

Verificare FEA

Având în vedere că valorile furnizate pentru noduri sunt precise, este imperativ ca rezultatul analizei cu elemente finite (FEA) să corespundă exact cu cel al abordării rigidității directe (DSA). Această cerință asigură că rezultatele analitice sunt consistente cu comportamentul real al sistemului studiat. Prin urmare, este crucial să ne asigurăm că rezultatele FEA și DSA se potrivesc între ele în cadrul nivelului acceptabil de toleranță.

08) Verificarea și compararea deplasării nodale între DSA și FEA

Abordarea rigidității directe – conexiuni semirigide

Înțelegerea faptului că conexiunile sunt de obicei semi-rigide și nu complet rigide sau de tip articulație este crucială. Neglijarea rigidității unei conexiuni ar putea duce la comportamentul unei structuri într-un model fiind diferit de cel al unei structuri reale. Să explorăm modul în care rigiditatea este luată în considerare în timpul calculelor și cum afectează comportamentul structurii în sine.

Arc rotațional și structuri civile

Structurile civile din oțel, cum ar fi halele și cadrele, sunt proiectate pentru a rezista sarcinilor de încovoiere transferate eficient de grinzi. Când grinda este încărcată și structura este hiperstatică, rigiditatea rotațională a îmbinării joacă un rol crucial în asigurarea redistribuirii corecte a sarcinii și deformării precise. Acesta este motivul pentru care este important să se mențină integritatea structurală a îmbinării pentru a preveni orice potențială deteriorare a structurii.

09) Arc rotațional - matrice locală

Pentru a asigura compatibilitatea într-o îmbinare, este important să se cupleze deformările. Această cuplare ar trebui inclusă în matricea de rigiditate globală pentru a calcula deformările. Când se aplică rigiditatea rotațională, alte grade de libertate trebuie incluse ca un alt rând și coloană în matricea de rigiditate globală. Matricea finală pentru acest tip de îmbinare va avea o dimensiune de 13x13, în timp ce o matrice de conexiune rigidă va avea o dimensiune de 12x12.

Impactul rigidității rotaționale

Rigiditatea rotațională a unei structuri are un impact semnificativ asupra modului în care sunt distribuite forțele și apar deformările. Aceasta înseamnă că o structură cu rigiditate rotațională se va comporta diferit decât o structură cu conexiuni rigide sau articulate. Dacă rigiditatea este crescută disproporționat, poate duce la modificări suplimentare în comportamentul structurii. În acest scenariu, vom explora efectele rigidității rotaționale crescute. Modelul cu care lucrăm este din capitolul anterior, iar arcul rotațional este atașat la capătul (j) al membrului unu.

 10) Deformări pentru diferite rigidități rotaționale

Graficul indică faptul că, în anumite intervale de rigiditate, deformarea se modifică într-o manieră multilineară pentru o conexiune semi-rigidă. Pentru conexiunile semi-rigide, subestimarea sau supraestimarea rigidității duce la diferențieri semnificative în săgeți și redistribuirea forțelor interne. 

 11) Grafic rigiditate – deformare 

 12) Zona de rigiditate pentru conexiuni

Concluzie și subiecte viitoare

Pentru a asigura succesul studiului nostru viitor, trebuie mai întâi să dobândiți o înțelegere profundă a problemei în cauză. Doar atunci puteți merge înainte cu încredere și scop. Studiul nostru este dedicat explorării unei game de subiecte importante care sunt relevante pentru problema pe care o investigăm.Prin cercetare și analiză atentă, sperăm să aruncăm o nouă lumină asupra acestei probleme complexe și provocatoare și, în cele din urmă, să contribuim la o mai bună înțelegere a acestui domeniu important de studiu.

• Cum se calculează rigiditatea rotațională în IDEA StatiCa
• Cum se utilizează rigiditatea pentru mai multe elemente într-un instrument FEA
• Verificarea rigidității rotaționale între IDEA StatiCa și ABAQUS pentru o conexiune placă-la-placă