Approche de rigidité directe

Motivation

Avoir une compréhension approfondie de l'Analyse par Éléments Finis (AEF) est crucial à la fois pour garantir des données d'entrée précises et présenter les résultats de la bonne manière. L'objectif principal de cet article est d'expliquer comment la matrice est assemblée en arrière-plan de chaque logiciel d'AEF et comment la rigidité rotationnelle peut influencer le comportement global d'une structure. Cet article sert de prérequis pour un article à venir, où toutes les conclusions seront appliquées à une structure en utilisant IDEA StatiCa Connection.

L'approche de rigidité directe – connexions rigides

Examinons l'exemple simple d'une structure illustrée à la figure 1. La structure se compose d'un poteau et d'une poutre avec des propriétés de section transversale identiques HEA 200. Chaque nœud a trois degrés de liberté, incluant deux translations (X et Z) et une rotation (Ry). L'espace de travail est en 2D. Le matériau est de l'acier avec un module d'élasticité de 200 000 MPa.

01) Modèle à ressort-SCG, géométrie, axonométrie + sections HEA 200

Matrice de rigidité locale

La matrice de rigidité régit la relation entre le changement de déplacements (et rotations) aux extrémités de la poutre et les forces correspondantes (réactions). Il convient de noter que chaque nœud dans l'espace de travail 2D a trois degrés de liberté (deux translations et une rotation), résultant en une matrice locale de dimensions 6x6. Cette matrice représente la rigidité normale, la rigidité au cisaillement et la rigidité en flexion de l'élément.

02) Matrice de rigidité locale de tous les éléments

Matrice de transformation

Dans 90 % des structures, la matrice de rigidité locale des éléments n'est pas alignée avec le système de coordonnées global. Seules les poutres simples alignées en ligne droite ont le même Système de Coordonnées Local (SCL) et Système de Coordonnées Global (SCG). Dans notre cas, le troisième élément est tourné de 90 degrés autour du nœud deux. Cette transformation est nécessaire pour les calculs à venir.

03) Matrice de transformation éléments 1,2 ; Matrice de transformation élément 3

Transformation vers un système de coordonnées global

Pour un calcul précis des déplacements, il est essentiel d'aligner les systèmes de coordonnées de tous les éléments impliqués. Une façon d'y parvenir est d'utiliser une matrice de transformation, qui simplifie le processus et permet une transition en douceur vers un calcul de déplacement. La transformation ne modifie pas la matrice pour les éléments un et deux car leur système de coordonnées local est le même que le système global. Cependant, vous pouvez observer un changement dans l'élément trois, qui est tourné d'environ 90 degrés. Les entrées pour les translations X et Z sont. Vous pouvez remarquer les petits nombres non nuls dans la matrice. Ceux-ci proviennent du processus numérique, mais comme ils sont relativement petits par rapport à la rigidité globale, ils n'affectent pas les résultats de manière significative.

04) Matrice globale éléments 1,2 ; Matrice globale élément 3

Matrice globale - sommation

Vous avez quatre nœuds, et chaque nœud a trois degrés de liberté. Cela signifie que la matrice résultante a des dimensions de 12x12. La partie cruciale du processus consiste à additionner les valeurs dans les colonnes et les lignes des matrices individuelles dans la matrice globale.

05) Matrice de rigidité globale de tout le système

Condition aux limites et vecteur de charge

Sans conditions aux limites, le système est sous-déterminé (et seule la solution triviale peut être obtenue. Dans ce scénario, des contraintes fixes sont considérées aux nœuds un et trois. Les déplacements aux limites nuls (et rotations) peuvent être représentés en supprimant les lignes et colonnes correspondantes. La solution est triviale si aucune force n'est appliquée (déplacements nuls).Dans notre exemple, le nœud quatre est soumis à une force verticale de 50 kN.

06) Matrice réduite, vecteur de charge et conditions aux limites appliquées

Solution

En tenant compte des petites déformations et d'un matériau linéairement élastique, nous pouvons résoudre sans effort le vecteur des déplacements inconnus en une seule étape. Cette approche est rapide et très efficace, ce qui en fait une méthode pratique pour traiter les préoccupations liées aux déplacements.

07) Déplacement nodal dans le SCG

Vérification AEF

Étant donné que les valeurs fournies pour les nœuds sont précises, il est impératif que la sortie de l'analyse par éléments finis (AEF) corresponde exactement à celle de l'approche de rigidité directe (ARD). Cette exigence garantit que les résultats analytiques sont cohérents avec le comportement réel du système étudié. Par conséquent, il est crucial de s'assurer que les sorties AEF et ARD correspondent l'une à l'autre dans le niveau de tolérance acceptable.

08) Vérification et comparaison du déplacement nodal entre ARD et AEF

Approche de rigidité directe – connexions semi-rigides

Comprendre que les connexions sont généralement semi-rigides et non entièrement rigides ou articulées est crucial. Négliger la rigidité d'une connexion pourrait entraîner un comportement d'une structure dans un modèle différent de celui d'une structure réelle. Examinons comment la rigidité est prise en compte lors des calculs et comment elle impacte le comportement de la structure elle-même.

Ressort rotationnel et structures civiles

Les structures en acier de génie civil, telles que les halls et les cadres, sont conçues pour résister efficacement aux charges de flexion transférées par les poutres. Lorsque la poutre est chargée et que la structure est hyperstatique, la rigidité rotationnelle du joint joue un rôle crucial pour assurer une redistribution correcte de la charge et une déformation précise. C'est pourquoi il est important de maintenir l'intégrité structurelle du joint pour prévenir tout dommage potentiel à la structure.

09) Ressort rotationnel - matrice locale

Pour assurer la compatibilité dans un joint, il est important de coupler les déformations. Ce couplage doit être inclus dans la matrice de rigidité globale pour calculer les déformations. Lorsque la rigidité rotationnelle est appliquée, d'autres degrés de liberté doivent être inclus comme une autre ligne et colonne dans la matrice de rigidité globale. La matrice finale pour ce type de joint aura une dimension de 13x13, alors qu'une matrice de connexion rigide aura une dimension de 12x12.

Impact de la rigidité rotationnelle

La rigidité rotationnelle d'une structure a un impact significatif sur la façon dont les forces sont distribuées et les déformations se produisent. Cela signifie qu'une structure avec rigidité rotationnelle se comportera différemment d'une structure avec des connexions rigides ou articulées. Si la rigidité est augmentée de manière disproportionnée, cela peut entraîner d'autres changements dans le comportement de la structure. Dans ce scénario, nous explorerons les effets d'une rigidité rotationnelle accrue. Le modèle avec lequel nous travaillons provient du chapitre précédent, et le ressort rotationnel est attaché à l'extrémité (j) de l'élément un.

 10) Déformations pour différentes rigidités rotationnelles

Le graphique indique que, dans certaines plages de rigidité, la déformation change de manière multilinéaire pour une connexion semi-rigide. Pour les connexions semi-rigides, sous-estimer ou surestimer la rigidité conduit à une différenciation significative dans les flèches et la redistribution des forces internes. 

 11) Graphique rigidité – déformation 

 12) Zone de rigidité pour les connexions

Conclusion et sujets à venir

Pour assurer le succès de notre étude à venir, vous devez d'abord acquérir une compréhension approfondie du problème en question. Ce n'est qu'alors que vous pourrez avancer avec confiance et détermination. Notre étude est consacrée à l'exploration d'une gamme de sujets importants qui sont pertinents pour la question que nous étudions.Grâce à une recherche et une analyse minutieuses, nous espérons apporter un nouvel éclairage sur ce problème complexe et difficile, et finalement contribuer à une meilleure compréhension de ce domaine d'étude important.

• Comment la rigidité rotationnelle est calculée dans IDEA StatiCa
• Comment utiliser la rigidité pour plusieurs éléments dans un outil AEF
• Vérification de la rigidité rotationnelle entre IDEA StatiCa et ABAQUS pour une connexion plaque-à-plaque