Método de rigidez directa

Motivación

Tener un conocimiento profundo del Análisis de Elementos Finitos (FEA) es crucial tanto para garantizar entradas precisas como para presentar los resultados de la manera correcta. El objetivo principal de este artículo es explicar cómo se ensambla la matriz en segundo plano de cada software FEA y cómo la rigidez rotacional puede influir en el comportamiento global de una estructura. Este artículo sirve como requisito previo para un próximo artículo, donde todos los hallazgos se aplicarán a una estructura utilizando IDEA StatiCa Connection.

El método de rigidez directa – conexiones rígidas

Echemos un vistazo al ejemplo simple de una estructura mostrada en la figura 1. La estructura consiste en una columna y una viga con propiedades de sección transversal idénticas HEA 200. Cada nodo tiene tres grados de libertad, incluyendo dos traslaciones (X y Z) y una rotación (Ry). El espacio de trabajo es 2D. El material es acero con un módulo de elasticidad de 200,000 MPa.

01) Modelo de resorte-GCS, geometría, axonometría + secciones HEA 200

Matriz de rigidez local

La matriz de rigidez gobierna la relación entre el cambio de desplazamientos (y rotaciones) en los extremos de la viga y las fuerzas correspondientes (reacciones). Vale la pena señalar que cada nodo en el espacio de trabajo 2D tiene tres grados de libertad (dos traslaciones y una rotación), resultando en una matriz local con dimensiones de 6x6. Esta matriz representa la rigidez normal, la rigidez al corte y la rigidez a flexión del elemento.

02) Matriz de rigidez local de todos los miembros

Matriz de transformación

En el 90% de las estructuras, la matriz de rigidez local de los miembros no se alinea con el sistema de coordenadas global. Solo las vigas simples alineadas en línea recta tienen el mismo Sistema de Coordenadas Local (LCS) y Sistema de Coordenadas Global (GCS). En nuestro caso, el tercer elemento está rotado 90 grados alrededor del nodo dos. Esta transformación es necesaria para los cálculos posteriores.

03) Matriz de transformación miembro 1,2; Matriz de transformación miembro 3

Transformación a un sistema de coordenadas global

Para un cálculo preciso de desplazamiento, es esencial alinear los sistemas de coordenadas de todos los miembros involucrados. Una forma de lograr esto es utilizando una matriz de transformación, que simplifica el proceso y permite una transición fluida al cálculo de desplazamiento. La transformación no modifica la matriz para los miembros uno y dos ya que su sistema de coordenadas local es el mismo que el global. Sin embargo, puede observar un cambio en el miembro tres, que está rotado aproximadamente 90 grados. Las entradas para las traslaciones X y Z son. Puede notar los pequeños números distintos de cero en la matriz. Estos provienen del proceso numérico, pero dado que son relativamente pequeños con respecto a la rigidez general, no afectan los resultados de manera significativa.

04) Matriz global miembro 1,2; Matriz global miembro 3

Matriz global - suma

Tiene cuatro nodos, y cada nodo tiene tres grados de libertad. Esto significa que la matriz resultante tiene dimensiones de 12x12. La parte crucial del proceso es sumar los valores en columnas y filas de las matrices individuales en la global.

05) Matriz de rigidez global de todo el sistema

Condición de contorno y vector de carga

Sin condiciones de contorno, el sistema está subdeterminado (y solo se puede obtener la solución trivial. En este escenario, se consideran restricciones fijas en los nodos uno y tres. Los desplazamientos de contorno cero (y rotaciones) pueden representarse eliminando las filas y columnas correspondientes. La solución es trivial si no se aplican fuerzas (desplazamientos cero).En nuestro ejemplo, el nodo cuatro está sometido a una fuerza vertical de 50 kN.

06) Matriz reducida, vector de carga y condiciones de contorno aplicadas

Solución

Al tener en cuenta pequeñas deformaciones y material linealmente elástico, podemos resolver sin esfuerzo el vector de desplazamientos desconocidos en un solo paso. Este enfoque es rápido y altamente efectivo, lo que lo convierte en un método conveniente para abordar preocupaciones relacionadas con el desplazamiento.

07) Desplazamiento nodal en GCS

Verificación FEA

Dado que los valores proporcionados para los nodos son precisos, es imperativo que la salida del análisis de elementos finitos (FEA) corresponda exactamente con la del método de rigidez directa (DSA). Este requisito asegura que los resultados analíticos sean consistentes con el comportamiento real del sistema que se está estudiando. Por lo tanto, es crucial asegurar que las salidas de FEA y DSA coincidan entre sí dentro del nivel aceptable de tolerancia.

08) Verificación y comparación del desplazamiento nodal entre DSA y FEA

Método de rigidez directa – conexiones semirrígidas

Comprender que las conexiones son típicamente semirrígidas y no completamente rígidas o articuladas es crucial. Descuidar la rigidez de una conexión podría resultar en que el comportamiento de una estructura en un modelo sea diferente al de una estructura real. Profundicemos en cómo se tiene en cuenta la rigidez durante los cálculos y cómo impacta el comportamiento de la estructura misma.

Resorte rotacional y estructuras civiles

Las estructuras de acero civiles, como naves y pórticos, están diseñadas para resistir cargas de flexión transferidas eficientemente por las vigas. Cuando la viga está cargada y la estructura es hiperestática, la rigidez rotacional de la unión juega un papel crucial para asegurar la correcta redistribución de cargas y deformación precisa. Por eso es importante mantener la integridad estructural de la unión para prevenir cualquier daño potencial a la estructura.

09) Resorte rotacional - matriz local

Para asegurar la compatibilidad en una unión, es importante acoplar las deformaciones. Este acoplamiento debe incluirse en la matriz de rigidez global para calcular lasdeformaciones. Cuando se aplica rigidez rotacional, otros grados de libertad deben incluirse como otra fila y columna en la matriz de rigidez global. La matriz final para este tipo de unión tendrá una dimensión de 13x13, mientras que una matriz de conexión rígida tendrá una dimensión de 12x12.

Impacto de la rigidez rotacional

La rigidez rotacional de una estructura tiene un impacto significativo en cómo se distribuyen las fuerzas y ocurren las deformaciones. Esto significa que una estructura con rigidez rotacional se comportará de manera diferente a una estructura con conexiones rígidas o articuladas. Si la rigidez se aumenta desproporcionadamente, puede llevar a cambios adicionales en el comportamiento de la estructura. En este escenario, exploraremos los efectos del aumento de la rigidez rotacional. El modelo con el que estamos trabajando es del capítulo anterior, y el resorte rotacional está unido al extremo (j) del miembro uno.

 10) Deformaciones para diferentes rigideces rotacionales

El gráfico indica que, en ciertos rangos de rigidez, la deformación cambia de manera multilineal para una conexión semirrígida. Para conexiones semirrígidas, subestimar o sobreestimar la rigidez conduce a una diferenciación significativa en las deflexiones y redistribución de fuerzas internas. 

 11) Gráfico rigidez – deformación 

 12) Zona de rigidez para conexiones

Conclusión y temas próximos

Para asegurar el éxito de nuestro próximo estudio, primero debe obtener una comprensión profunda del problema en cuestión. Solo entonces podrá avanzar con confianza y propósito. Nuestro estudio está dedicado a explorar una gama de temas importantes que son relevantes para el problema que estamos investigando.A través de una investigación y análisis cuidadosos, esperamos arrojar nueva luz sobre este problema complejo y desafiante, y en última instancia contribuir a una mejor comprensión de esta importante área de estudio.

• Cómo se calcula la rigidez rotacional en IDEA StatiCa
• Cómo usar la rigidez para múltiples miembros en una herramienta FEA
• Verificación de la rigidez rotacional entre IDEA StatiCa y ABAQUS para una conexión placa a placa