Método da rigidez direta

Motivação

Ter uma compreensão profunda da Análise por Elementos Finitos (AEF) é crucial tanto para garantir dados de entrada precisos como para apresentar os resultados da forma correta. O principal objetivo deste artigo é explicar como a matriz é montada em segundo plano em todos os softwares de AEF e como a rigidez rotacional pode influenciar o comportamento global de uma estrutura. Este artigo serve como pré-requisito para um artigo futuro, onde todas as conclusões serão aplicadas a uma estrutura utilizando o IDEA StatiCa Connection.

O método da rigidez direta – ligações rígidas

Vejamos o exemplo simples de uma estrutura mostrada na figura 1. A estrutura consiste numa coluna e numa viga com propriedades de secção transversal idênticas HEA 200. Cada nó tem três graus de liberdade, incluindo duas translações (X e Z) e uma rotação (Ry). O espaço de trabalho é 2D. O material é aço com um módulo de elasticidade de 200.000 MPa.

01) Modelo de mola-SCG, geometria, axonometria + secções HEA 200

Matriz de rigidez local

A matriz de rigidez governa a relação entre a variação de deslocamentos (e rotações) nas extremidades da viga e as forças correspondentes (reações). Vale a pena notar que cada nó no espaço de trabalho 2D tem três graus de liberdade (duas translações e uma rotação), resultando numa matriz local com dimensões de 6x6. Esta matriz representa a rigidez normal, rigidez ao corte e rigidez à flexão do elemento.

02) Matriz de rigidez local de todos os elementos

Matriz de transformação

Em 90% das estruturas, a matriz de rigidez local dos elementos não está alinhada com o sistema de coordenadas global. Apenas vigas simples alinhadas em linha reta têm o mesmo Sistema de Coordenadas Local (SCL) e Sistema de Coordenadas Global (SCG). No nosso caso, o terceiro elemento está rodado 90 graus em torno do nó dois. Esta transformação é necessária para os cálculos seguintes.

03) Matriz de transformação elementos 1,2; Matriz de transformação elemento 3

Transformação para um sistema de coordenadas global

Para um cálculo preciso de deslocamentos, é essencial alinhar os sistemas de coordenadas de todos os elementos envolvidos. Umaforma de conseguir isto é utilizando uma matriz de transformação, que simplifica o processo e permite uma transição suave para um cálculo de deslocamentos. A transformação não modifica a matriz para os elementos um e dois, uma vez que o seu sistema de coordenadas local é o mesmo que o global. No entanto, pode observar-se uma alteração no elemento três, que está rodado cerca de 90 graus. As entradas para as translações X e Z são. Pode notar os pequenos números não nulos na matriz. Estes provêm do processo numérico, mas como são relativamente pequenos em relação à rigidez global, não afetam os resultados de forma significativa.

04) Matriz global elementos 1,2; Matriz global elemento 3

Matriz global - soma

Tem quatro nós, e cada nó tem três graus de liberdade. Isto significa que a matriz resultante tem dimensões de 12x12. A parte crucial do processo é somar os valores nas colunas e linhas das matrizes individuais na matriz global.

05) Matriz de rigidez global de todo o sistema

Condição de fronteira e vetor de carga

Sem condições de fronteira, o sistema é subdeterminado (e apenas a solução trivial pode ser obtida. Neste cenário, são consideradas restrições fixas nos nós um e três. Os deslocamentos de fronteira nulos (e rotações) podem ser representados removendo as linhas e colunas correspondentes. A solução é trivial se não forem aplicadas forças (deslocamentos nulos).No nosso exemplo, o nó quatro está sujeito a uma força vertical de 50 kN.

06) Matriz reduzida, vetor de carga e condições de fronteira aplicadas

Solução

Ao ter em conta pequenas deformações e material linearmente elástico, podemos resolver sem esforço o vetor de deslocamentos desconhecidos num único passo. Esta abordagem é rápida e altamente eficaz, tornando-a um método conveniente para abordar questões relacionadas com deslocamentos.

07) Deslocamento nodal no SCG

Verificação AEF

Dado que os valores fornecidos para os nós são precisos, é imperativo que o resultado da análise por elementos finitos (AEF) corresponda exatamente ao do método da rigidez direta (MRD). Este requisito garante que os resultados analíticos são consistentes com o comportamento real do sistema em estudo. Portanto, é crucial garantir que os resultados da AEF e do MRD coincidam dentro do nível de tolerância aceitável.

08) Verificação e comparação do deslocamento nodal entre MRD e AEF

Método da rigidez direta – ligações semi-rígidas

Compreender que as ligações são tipicamente semi-rígidas e não totalmente rígidas ou rotuladas é crucial. Negligenciar a rigidez de uma ligação pode resultar num comportamento de uma estrutura num modelo diferente do de uma estrutura real. Vamos aprofundar como a rigidez é tida em conta durante os cálculos e como impacta o comportamento da própria estrutura.

Mola rotacional e estruturas civis

As estruturas de aço civis, tais como pavilhões e pórticos, são projetadas para resistir a cargas de flexão eficientemente transferidas pelas vigas. Quando a viga é carregada e a estrutura é hiperestática, a rigidez rotacional da ligação desempenha um papel crucial para garantir a redistribuição correta da carga e a deformação precisa. É por isso que é importante manter a integridade estrutural da ligação para prevenir qualquer dano potencial à estrutura.

09) Mola rotacional - matriz local

Para garantir a compatibilidade numa ligação, é importante acoplar as deformações. Este acoplamento deve ser incluído na matriz de rigidez global para calcular as deformações. Quando a rigidez rotacional éaplicada, outros graus de liberdade devem ser incluídos como outra linha e coluna na matriz de rigidez global. A matriz final para este tipo de ligação terá uma dimensão de 13x13, enquanto uma matriz de ligação rígida terá uma dimensão de 12x12.

Impacto da rigidez rotacional

A rigidez rotacional de uma estrutura tem um impacto significativo na forma como as forças são distribuídas e as deformações ocorrem. Isto significa que uma estrutura com rigidez rotacional se comportará de forma diferente de uma estrutura com ligações rígidas ou rotuladas. Se a rigidez for aumentada desproporcionalmente, pode levar a alterações adicionais no comportamento da estrutura. Neste cenário, vamos explorar os efeitos do aumento da rigidez rotacional. O modelo com que estamos a trabalhar é do capítulo anterior, e a mola rotacional está ligada à extremidade (j) do elemento um.

 10) Deformações para diferentes rigidezes rotacionais

O gráfico indica que, em certos intervalos de rigidez, a deformação muda de forma multilinear para uma ligação semi-rígida. Para ligações semi-rígidas, subestimar ou sobrestimar a rigidez leva a uma diferenciação significativa nas deflexões e redistribuição de forças internas. 

 11) Gráfico rigidez – deformação 

 12) Zona de rigidez para ligações

Conclusão e tópicos futuros

Para garantir o sucesso do nosso próximo estudo, deve primeiro obter uma compreensão profunda do problema em questão. Só então poderá avançar com confiança e propósito. O nosso estudo é dedicado a explorar uma série de tópicos importantes que são relevantes para a questão que estamos a investigar.Através de investigação e análise cuidadosas, esperamos lançar nova luz sobre este problema complexo e desafiante, e, em última análise, contribuir para uma melhor compreensão desta importante área de estudo.

• Como é calculada a rigidez rotacional no IDEA StatiCa
• Como utilizar a rigidez para múltiplos elementos numa ferramenta AEF
• Verificação da rigidez rotacional entre o IDEA StatiCa e o ABAQUS para uma ligação placa-a-placa