Metodo della rigidezza diretta

Motivazione

Avere una profonda comprensione dell'Analisi agli Elementi Finiti (FEA) è fondamentale sia per garantire input accurati che per presentare i risultati nel modo corretto. L'obiettivo principale di questo articolo è spiegare come la matrice viene assemblata in background in ogni software FEA e come la rigidezza rotazionale può influenzare il comportamento globale di una struttura. Questo articolo funge da prerequisito per un articolo successivo, dove tutti i risultati verranno applicati a una struttura utilizzando IDEA StatiCa Connection.

Il metodo della rigidezza diretta – connessioni rigide

Diamo un'occhiata al semplice esempio di una struttura mostrata nella figura 1. La struttura è composta da una colonna e una trave con proprietà di sezione trasversale identiche HEA 200. Ogni nodo ha tre gradi di libertà, incluse due traslazioni (X e Z) e una rotazione (Ry). Lo spazio di lavoro è 2D. Il materiale è acciaio con un modulo di elasticità di 200.000 MPa.

01) Modello a molla-GCS, geometria, assonometria + sezioni HEA 200

Matrice di rigidezza locale

La matrice di rigidezza governa la relazione tra la variazione degli spostamenti (e delle rotazioni) alle estremità della trave e le forze corrispondenti (reazioni). Vale la pena notare che ogni nodo nello spazio di lavoro 2D ha tre gradi di libertà (due traslazioni e una rotazione), risultando in una matrice locale con dimensioni di 6x6. Questa matrice rappresenta la rigidezza normale, la rigidezza a taglio e la rigidezza flessionale dell'elemento.

02) Matrice di rigidezza locale di tutti gli elementi

Matrice di trasformazione

Nel 90% delle strutture, la matrice di rigidezza locale degli elementi non è allineata con il sistema di coordinate globale. Solo le travi semplici allineate in linea retta hanno lo stesso Sistema di Coordinate Locale (LCS) e Sistema di Coordinate Globale (GCS). Nel nostro caso, il terzo elemento è ruotato di 90 gradi attorno al nodo due. Questa trasformazione è necessaria per i calcoli successivi.

03) Matrice di trasformazione elemento 1,2; Matrice di trasformazione elemento 3

Trasformazione in un sistema di coordinate globale

Perun calcolo accurato degli spostamenti, è essenziale allineare i sistemi di coordinate di tutti gli elementi coinvolti. Un modo per raggiungere questo obiettivo è utilizzare una matrice di trasformazione, che semplifica il processo e consente una transizione fluida al calcolo degli spostamenti. La trasformazione non modifica la matrice per gli elementi uno e due poiché il loro sistema di coordinate locale è lo stesso di quello globale. Tuttavia, è possibile osservare un cambiamento nell'elemento tre, che è ruotato di circa 90 gradi. Le voci per le traslazioni X e Z sono. Potresti notare i piccoli numeri diversi da zero nella matrice. Questi derivano dal processo numerico, ma poiché sono relativamente piccoli rispetto alla rigidezza complessiva, non influenzano i risultati in modo significativo.

04) Matrice globale elemento 1,2; Matrice globale elemento 3

Matrice globale - sommatoria

Hai quattro nodi e ogni nodo ha tre gradi di libertà. Ciò significa che la matrice risultante ha dimensioni di 12x12. La parte cruciale del processo è sommare i valori nelle colonne e nelle righe dalle singole matrici in quella globale.

05) Matrice di rigidezza globale di tutto il sistema

Condizione al contorno e vettore di carico

Senza condizioni al contorno, il sistema è sottodeterminato (e può essere ottenuta solo la soluzione banale). In questo scenario, vengono considerati vincoli fissi ai nodi uno e tre. Gli spostamenti al contorno nulli (e le rotazioni) possono essere rappresentati rimuovendo le righe e le colonne corrispondenti. La soluzione è banale se non vengono applicate forze (spostamenti nulli).Nel nostro esempio, il nodo quattro è soggetto a una forza verticale di 50 kN.

06) Matrice ridotta, vettore di carico e condizioni al contorno applicate

Soluzione

Tenendo conto di piccole deformazioni e materiale linearmente elastico, possiamo risolvere senza sforzo il vettore degli spostamenti incogniti in un unico passaggio. Questo approccio è rapido e altamente efficace, rendendolo un metodo conveniente per affrontare le problematiche relative agli spostamenti.

07) Spostamento nodale in GCS

Verifica FEA

Dato che i valori forniti per i nodi sono precisi, è imperativo che l'output dell'analisi agli elementi finiti (FEA) corrisponda esattamente a quello del metodo della rigidezza diretta (DSA). Questo requisito garantisce che i risultati analitici siano coerenti con il comportamento effettivo del sistema studiato. Pertanto, è fondamentale assicurarsi che gli output FEA e DSA corrispondano tra loro entro il livello di tolleranza accettabile.

08) Verifica e confronto dello spostamento nodale tra DSA e FEA

Metodo della rigidezza diretta – connessioni semirigide

Comprendere che le connessioni sono tipicamente semirigide e non completamente rigide o a cerniera è fondamentale. Trascurare la rigidezza di una connessione potrebbe comportare che il comportamento di una struttura in un modello sia dissimile da quello di una struttura reale. Approfondiamo come la rigidezza viene presa in considerazione durante i calcoli e come influisce sul comportamento della struttura stessa.

Molla rotazionale e strutture civili

Le strutture in acciaio civili, come capannoni e telai, sono progettate per resistere a carichi flessionali trasferiti efficientemente dalle travi. Quando la trave è caricata e la struttura è iperstatica, la rigidezza rotazionale del giunto svolge un ruolo cruciale nel garantire una corretta ridistribuzione del carico e una deformazione precisa. Questo è il motivo per cui è importante mantenere l'integrità strutturale del giunto per prevenire eventuali danni potenziali alla struttura.

09) Molla rotazionale - matrice locale

Per garantire la compatibilitàin un giunto, è importante accoppiare le deformazioni. Questo accoppiamento dovrebbe essere incluso nella matrice di rigidezza globale per calcolare le deformazioni. Quando viene applicata la rigidezza rotazionale, altri gradi di libertà devono essere inclusi come un'altra riga e colonna nella matrice di rigidezza globale. La matrice finale per questo tipo di giunto avrà una dimensione di 13x13, mentre una matrice di connessione rigida avrà una dimensione di 12x12.

Impatto della rigidezza rotazionale

La rigidezza rotazionale di una struttura ha un impatto significativo su come le forze vengono distribuite e si verificano le deformazioni. Ciò significa che una struttura con rigidezza rotazionale si comporterà diversamente da una struttura con connessioni rigide o a cerniera. Se la rigidezza viene aumentata in modo sproporzionato, può portare a ulteriori cambiamenti nel comportamento della struttura. In questo scenario, esploreremo gli effetti dell'aumento della rigidezza rotazionale. Il modello con cui stiamo lavorando proviene dal capitolo precedente e la molla rotazionale è collegata all'estremità (j) dell'elemento uno.

 10) Deformazioni per diverse rigidezze rotazionali

Il grafico indica che, in determinati intervalli di rigidezza, la deformazione cambia in modo multilineare per una connessione semirigida. Per le connessioni semirigide, sottostimare o sovrastimare la rigidezza porta a una differenziazione significativa nelle frecce e nella ridistribuzione delle forze interne. 

 11) Grafico rigidezza – deformazione 

 12) Zona di rigidezza per le connessioni

Conclusione e argomenti futuri

Per garantire il successo del nostro prossimo studio, devi prima acquisire una profonda comprensione del problema in questione. Solo allora potrai procedere con fiducia e determinazione. Il nostro studio è dedicato all'esplorazione di una serie di argomenti importanti che sono rilevanti per la questione che stiamo indagando.Attraverso un'attenta ricerca e analisi, speriamo di gettare nuova luce su questo problema complesso e impegnativo, e in definitiva contribuire a una migliore comprensione di questa importante area di studio.

• Come viene calcolata la rigidezza rotazionale in IDEA StatiCa
• Come utilizzare la rigidezza per più elementi in uno strumento FEA
• Verifica della rigidezza rotazionale tra IDEA StatiCa e ABAQUS per una connessione piastra-piastra