在实践中，拉压杆（S&T）和应力场法是设计钢筋混凝土及预应力混凝土结构不连续区域的标准方法。协调应力场法（CSFM）是在这些经典理论基础上扩展发展而来的，具有高度自动化的特点，并与设计规范保持一致。尽管方法简洁，但它能够非常真实地描述混凝土结构在承载能力极限状态（ULS）和正常使用极限状态（SLS）下的响应。CSFM（协调应力场法）已在IDEA StatiCa Detail中实现。
图1 a) 带开洞墙体 b) 剪力墙 c) 带企口端和开洞的梁 d) 桥墩 e) 桥梁横隔板
混凝土结构截面设计的标准方法适用于满足Bernoulli-Navier平截面假定的区域（B区）。不满足该假定的区域称为不连续区域（D 区）。这些区域包括集中荷载作用处或截面突变处，如企口端（图1c）、深梁、带开洞墙体（图1a、1b）、牛腿及桩承台等。在桥梁工程领域，典型示例包括墩帽（图1d）、横隔板（图1e）、转向块等。
1. 拉压杆模型
建立拉压杆（S&T）模型的基本假定是忽略混凝土的抗拉强度。简单桁架模型由受压和受拉构件组成，代表承载能力极限状态下的行为。总体而言，这并非复杂问题，对于有经验的工程师来说，建立基本的拉压杆模型（图2a）应不成问题。然而，即便是这一基本任务，按照设计规范对模型进行正确评估也可能是一个繁琐、手动且反复迭代的过程。
图2 a) 拉压杆模型方案1 b) 拉压杆模型方案2 c) 拉压杆模型方案
需要对拉杆、节点区域及压杆中的横向拉应变进行评估。若模型未通过规范校核，则需调整拉压杆几何形状，或选择不同的拉压杆模型（图2b、2c）。这往往导致结构工程师仅建立一次拉压杆模型几何形状，而只对钢筋进行评估，从而可能引入较大误差。模型的选择始终取决于工程经验。对于更复杂的结构细节，选择能充分反映结构实际行为的拉压杆模型并不像上述情况那样简单。此外，拉压杆法仅适用于承载能力极限状态的设计，无法用于正常使用极限状态（变形、裂缝）的设计，而这些对于重要结构而言是关键控制指标，直接影响结构的使用寿命。
2. 协调应力场法 - CSFM
CSFM（协调应力场法）是一种用于分析 D 区及可简化为平面应力状态（即二维模型）构件的现代非线性方法。然而，它仍基于规范的基本安全假定：混凝土不承受拉力，所有拉力均由钢筋承担。协调应力场法（CSFM）是拉压杆法和应力场法的发展演进，消除了上述主要缺点：模型选择的不确定性、自动化困难以及无法评估正常使用极限状态等问题。
图3 a) 平面应变 b) 主应力 c) CSFM（协调应力场法）
CSFM（协调应力场法）的原理可通过钢筋混凝土结构基本平面单元的平面应力状态加以说明。图3a展示了弹性力学和材料力学教材中常见的平面应力基本二维单元。这是结构中某一点的应力状态，例如可通过有限单元法（FEM）线弹性分析获得。该单元承受水平法向应力σx、竖向法向应力σz及剪应力τxz。由这些应力可确定所谓的主应力及其由角度θ定义的方向（图3b）。该单元随即承受主拉应力σ1和主压应力σ2。
经CSFM（协调应力场法）分析的同一单元的应变状态如何？应变如图3c所示。混凝土沿主压应力σ2方向受压，并产生应力为σc2的应力场。如前所述，基本假定是混凝土不承受拉力。因此，横向主拉应力σ1不由混凝土承担，裂缝将垂直于该方向形成。应力σc1r必须为零。为避免二维单元破坏，所有拉应力必须由钢筋承担（图3c中以蓝色表示），钢筋必须作为计算模型的组成部分。
若在待求解的整个二维区域内连续进行上述应力分析，结果将得到混凝土中的连续压力场以及钢筋中的拉应力和压应力。图4给出了CSFM（协调应力场法）应力场的简化图形表示。除混凝土和钢筋的承载比外，图中还标示了各区域内计算应力σc2方向的变化情况。
图4 IDEA StatiCa Detail 整体计算结果
采用CSFM（协调应力场法）对细部或结构进行分析，以有限单元法为基础。混凝土采用二维壁单元建模，钢筋采用一维构件单元建模（图7）。由于属于非线性问题，分析不在单一步骤中完成。计算过程中荷载分级施加，非线性方程组的求解采用Newton-Raphson法。
虚拟弥散裂缝（ε1为平均值）"形成"于垂直于主应力方向，该方向可能随非线性计算过程中单元在每级荷载增量下"逐步开裂"而发生变化。综上所述，计算中考虑虚拟无应力旋转裂缝。
采用CSFM（协调应力场法）进行有限单元法求解的结果是协调应力场（即模型中混凝土不会分裂为各自独立作用的压杆）以及在整个求解二维域内连续分布的应变状态。这是相较于经典拉压杆方法的重要优势，使计算模型能够实现自动化和精细化，详见以下各段。
图5 混凝土压力软化原理
CSFM（协调应力场法）的简洁表达形式允许直接采用设计规范规定的混凝土受压标准单轴抛物线-矩形应力-应变图。众所周知，当混凝土因横向裂缝而受损时，其抗压强度会降低（图5）。该方法通过自动考虑混凝土有效抗压强度，将这一所谓的压力软化效应纳入计算。
根据横向拉应变ε1的水平，确定折减系数kc，并相应调整混凝土的应力-应变图（图5）。由于结构中各处的应变场已知，可根据各截面局部横向拉应变ε1的水平，自动计算混凝土的有效抗压强度。
图6 拉力刚化原理
此外，CSFM（协调应力场法）还考虑了裂缝间受拉混凝土对钢筋的刚化效应，即所谓的拉力刚化。在计算模型中，采用平均钢筋应变εm，并相应修正钢筋的应力-应变图（图6）。这使得对裂缝损伤钢筋混凝土结构刚度的模拟更加真实。然而，混凝土抗拉强度不计入极限承载力这一原则仍然成立。裂缝处钢筋的最大应力σsr是设计的控制指标（图6）。
CSFM（协调应力场法）采用设计规范中规定的常用单轴材料模型（应力-应变图）。随后采用标准方法——分项安全系数法——对承载能力极限状态进行评估。该方法的简洁性使其适合工程实践，并与设计规范保持一致。
尽管属于非线性有限元分析，结构工程师无需在计算中输入设计阶段可能尚不具备的额外材料属性和混凝土特性，而这些参数在基于断裂力学的非线性有限元分析中是必需的。如前所述，CSFM（协调应力场法）分析的主要优势除承载能力极限状态外，还在于能够评估正常使用极限状态：挠度、应力限值，尤其是裂缝宽度。
图7 IDEA StatiCa Detail 中有限元模型表示示例
（图7）CSFM（协调应力场法）中的有限元模型由以下几类有限单元组成：
- 用于钢筋的具有轴向刚度的一维单元
- 用于混凝土的二维等参单元
- 用于带端部处理的钢筋锚固模型的端部弹簧
- 用于模拟钢筋与混凝土之间粘结的特殊二维单元
- 粘结单元与混凝土之间的刚性约束和插值约束（多点约束，MPC）
若所设计的钢筋能防止构件发生脆性破坏，则CSFM（协调应力场法）已被证明能够以简洁的公式对结构响应和极限承载力给出非常准确的预测。换言之，该方法不适用于例如无横向抗剪钢筋、可能表现出脆性行为的梁的设计。包含试验验证在内的方法验证详见文献[1]。方法的详细描述超出本文范围，亦可参阅理论背景。
显然，CSFM（协调应力场法）的原理具有普遍性，其应用不限于 D 区，还可用于对整体构件（如预制梁）进行建模，以及可简化为平面二维模型的情形。该方法及其在软件（IDEA StatiCa Detail）中的实现也已得到扩展，支持指定预应力和后张预应力钢筋。
3. 桥墩墩帽设计示例
CSFM（协调应力场法）的实际应用通过图8所示的桥墩墩帽设计加以说明。该桥墩为一座三跨连续桥梁的第二个桥墩，三跨跨径分别为30.0 m、42.0 m和30.0 m。钢筋混凝土桥墩墩帽采用C40/50混凝土，其厚度（沿桥梁纵向）为2.0 m。
图8 墩帽：a) 综合设计；b) 承载能力极限状态下混凝土压应力；c) 承载能力极限状态下钢筋拉应力；d) 正常使用极限状态下裂缝宽度
首先在墩帽顶部设计了横梁B500钢筋20xϕ28+20xϕ25——顶部四层。图8a展示了承载能力极限状态下的综合设计结果，显示了混凝土中的压应力、压应力方向及钢筋中的应力。混凝土和钢筋中更详细的应力分布分别记录于图8b和图8c。横向钢筋应力略低于屈服强度，混凝土中的应力（及相对应变）在承载能力极限状态下亦满足要求。然而，裂缝宽度计算结果（图8d）表明，设计不满足正常使用极限状态要求：wmax = 0.36 mm > wlim = 0.3 mm。为满足裂缝宽度限值，需将横梁钢筋增加至20xϕ32+20xϕ28。若wlim = 0.2 mm（例如，位于产生盐雾道路附近的桥墩，环境影响等级XF2），横梁钢筋甚至需增加至24xϕ32+24xϕ28。
结论
CSFM（协调应力场法）采用设计规范中规定的简单材料模型，适合工程实践。除承载能力极限状态外，它还支持正常使用极限状态的设计，而后者在采用拉压杆模型时此前难以实现。通过在IDEA StatiCa Detail中实现该方法，可以真实捕捉结构响应，并高效、安全地设计和评估不连续区域及较大的结构组合体。
CSFM（协调应力场法）主要由瑞士联邦理工学院（ETH）苏黎世分校结构工程讲席教授Walter Kaufmann主导开发。他及其团队还对该方法及其软件实现进行了验证。
参考文献
[1] KAUFMANN, Walter, et al.: Compatible stress field design of structural concrete, ETH Zurich, 2020, ISBN 978-3-906916-95-8,
[2] KAUFMANN, W., MARTI, P.: Structural Concrete: Cracked Membrane Model. Journal of Structural Engineering 124 (12): 1467-75, 1998 https://doi.org/10.1061/(ASCE)0733-9445(1998)124:12(1467)
[3] KRAUS, M., M. WEBER, W. KAUFMANN, W, BOBEK, L.: Numerical analysis of experimentally tested frame corners with opening moments using the Compatible Stress Field Method (CSFM). In: Computational Modelling of Concrete and Concrete Structures, pp. 694-03. CRC Press, 2022 https://doi.org/10.1201/9781003316404
作者
Ing. Pavel Kaláb, Ph.D.
IDEA StatiCa s.r.o.