三轴应力——主动约束效应

简介

混凝土结构中的约束效应是指混凝土的强度和延性因侧向压力（主动）或周围材料（被动）（如钢筋或外包套）提供的约束而显著提高的现象。该效应对于提高混凝土在压力下的性能尤为重要，特别是在高荷载作用下。 

以下是混凝土结构约束效应的关键方面：

1. 强度提高：约束可提高混凝土的抗压强度。施加侧向压力时，可抑制混凝土的侧向膨胀，使其在破坏前能承受更高的轴向荷载。
2. 延性增强：受约束混凝土表现出更大的延性，即在破坏前能产生更大的变形。 
3. 荷载作用下的行为：约束将混凝土的破坏模式从脆性突然破坏转变为更具延性的渐进式破坏。这种破坏模式的转变有利于结构在极端荷载条件下的安全性和完整性。
4. 设计考虑：受约束混凝土构件的设计涉及计算约束钢筋的数量和布置，以达到所需的强度和延性。相关标准和规范（如 EN（欧洲规范）指南）提供了设计受约束混凝土构件的公式和指导方针。
5. 应用：主动约束在设计中需加以考虑，例如局部承压区、混凝土铰等。

在下图中，可以注意到无约束混凝土和有约束混凝土的应力-应变图及承载能力的差异。

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1\qquad Confinement effect and influence on the bearing capacity of structures}}}\]

在进入示例之前，让我们回顾一下混凝土材料在软件中的定义方式。

IDEA StatiCa Detail 中的混凝土材料定义

三维 CSFM（协调应力场法）基于单调加载的莫尔-库仑塑性理论定义混凝土行为。

一般而言，对于给定的混凝土内摩擦角（约为 φ = 30°），混凝土抗拉和抗压强度的莫尔圆可按图 2 所示构建。

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2\qquad Mohr's circles for concrete}}}\]

其中 f_c 为混凝土抗压强度，f_ct 为混凝土抗拉强度，φ 为内摩擦角，σ_c1、σ_c3 为三轴受压状态下混凝土的主应力。

可以注意到，随着主应力 σ_c3 的增大，σ_c3 与 σ_c1 之间的最大可能差值（即我们定义的最大 σ_c,eq，见下文）也随之增大。

在 IDEA StatiCa Detail 中实现的三维 CSFM（协调应力场法）中，内摩擦角取为 φ = 0°，如图 3 所示。

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 3\qquad Mohr's circles for concrete implemented in IDEA StatiCa Detail}}}\]

该实现方式的实际结果是，随着 σ_c3 的增大，σ_c3 与 σ_c1 之间的最大差值保持不变。 

等效主应力表示一般三轴应力状态下等效的"损伤性"单轴应力。

\[\sigma_{c,eq} = \sigma_{c3} - \sigma_{c1}\]

因此，σ_c,eq 值可直接与规范规定的单轴强度限值进行比较。

比较图 2（采用真实内摩擦角）和图 3（采用零内摩擦角的莫尔-库仑理论实现），可以看出 Detail 软件中所选用的计算方法对三轴应力状态的评估非常保守。需要注意的是，零摩擦角模型类似于带拉力截断的 Tresca 模型。

详情请参阅 IDEA StatiCa Detail 中混凝土三维不连续区域的结构设计

三轴试验——主动约束示例

在本示例中，我们将模拟三轴试验，以说明三轴压力效应在 IDEA StatiCa Detail 三维 CSFM（协调应力场法）中的实现方式。因此，本示例为主动约束的示例。所有计算均采用特征值。

模型为实体块类型，平面尺寸为 1.0 × 1.0 m，高度为 3.0 m，采用 C30/37 混凝土，在 Z 方向由刚性面支座支承。仅为保证分析模型的稳定性，X 和 Y 方向也包含在面支座中，但刚度值可忽略不计。荷载分两步施加。第一步，对模型施加 20 MPa 的静水压力（σ_c,1 = σ_c,2 = σ_c,3）。选取该相对于混凝土强度较高的值，主要是为了验证计算模型的稳定性。

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4\qquad Triaxial test setup - model, load, and boundary conditions}}}\]

计算模型后，整个模型中得到 σ_c,eq = 0 MPa。这与前述 Detail 中莫尔-库仑塑性理论实现的定义相符。

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5\qquad Equivalent Principal Stress - first calculation step}}}\]

第二步，在模型上表面施加 50 MPa 的面荷载。注意，该荷载高于所考虑的混凝土轴心抗压强度 30 MPa。本试验的目的是验证在此步骤中施加的荷载不会超过混凝土的抗压强度。因此，计算应在施加荷载等于 σ_c,eq 结果值时停止。

现在来看计算结果。如预期所示，计算因混凝土塑性应变准则（5%）被超越而停止。

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 7\qquad Calculation result after the second step}}}\]

通过查看计算结果，可以发现结果与上述假设相符。这表明 Detail 中的混凝土模型在主动约束方面运行正确。

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 7\qquad a) Applied load in step 2; b) Equivalent principal stress; c) Principal stresses σc,3 a σc,1}}}\]

在顶部和底部表面可观察到的应力峰值，是由于对带有节点转动的四面体单元网格边缘施加面荷载和面支座的方式所致，同时也因为 Detail 软件中始终显示相邻有限单元的最大节点值。然而，本文的主题并非该方法的详细说明，因此不作进一步探讨。

ABAQUS 验证

下一步，我们将与在 ABAQUS 中建立的模型进行比较，ABAQUS 同样采用莫尔-库仑塑性理论定义混凝土。我们将 Detail 的结果与内摩擦角为 30° 的真实混凝土模型进行比较，从而验证三维 CSFM（协调应力场法）方法的保守性。

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 7\qquad ABAQUS model: a) Concrete mesh 2; b) Load definition; c) Principal stresses σc,3}}}\]

在 ABAQUS 中，我们建立了与 Detail 中类似的模型。材料定义、边界条件和荷载完全相同。另一方面，混凝土网格进行了简化。两次计算的结果（一次采用 φ = 0°；c = 15 MPa，另一次采用 φ = 30°；c = 8.65 MPa）以及与其他内摩擦角 φ = 10°、20°、40° 的比较，均在下图中以图表形式展示。

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 7\qquad Comparison of 3D CSFM, an ABAQUS model with various angles of internal friction }}}\]

图表显示了三维 CSFM（协调应力场法）与 ABAQUS 模型在 φ = 0° 时的吻合情况。同时也清楚地表明，三维 CSFM（协调应力场法）中混凝土材料定义的简化处理（应力-应变图的水平塑性段和水平莫尔-库仑线性包络线）在带来更好的清晰度和更重要的更快计算速度的同时，至少在三轴应力方面也导致了保守的结果。 

最后值得一提的是，如果考虑静水压力高于 20 MPa 的情况，φ = 0° 模型与其他角度模型之间的差异将更为显著。

结论

本文说明并验证了三维 CSFM（协调应力场法）的计算结果与理论背景中所述假设的一致性。通过与 ABAQUS 模型的比较，验证了三维 CSFM（协调应力场法）方法在三轴应力现象方面的保守性。