IDEA StatiCa Detail – 混凝土三维非连续区域的结构设计

在实践中，结构工程师可能会遇到不同类型的有限单元（从简单的一维杆单元到更复杂的三维实体单元），这些单元被广泛应用于结构构件的分析与设计。实践中大多数计算的共同特点是模型的线性行为，其优点无疑是计算速度快、结果清晰，而且对于大量问题而言，这种求解方法已经足够。

尤其在混凝土结构领域，线性方法往往不够充分，原因在于受荷构件出现初始裂缝后，应力会发生重分布，问题将变得显著非线性。

对于这些情况，有必要选择更为精细的分析方法。对于一维情况，规范中通常可以找到直接定义的解析方法。例如，可以针对二维平面构件和不连续区域（D 区）建立常用的拉压杆模型，或者使用 IDEA StatiCa Detail 中实现的更为精细的应力场法——CSFM（协调应力场法）。

然而，当结构工程师遇到无法简化为平面行为的问题时，可选方案非常有限。当然，可以建立三维拉压杆模型，或使用半科研性软件进行精确分析。这些方法往往耗时较长、不符合规范要求，且需要具备高级建模方法专业知识的工程师来完成。

为此，IDEA StatiCa 在 Detail 软件中开发并实现了三维 CSFM（协调应力场法）。三维 CSFM 将成熟的 CSFM 扩展至第三维度，提供了一种快速且符合规范的求解方案，主要面向日常工程实践中的结构工程师，赋予他们安全处理复杂混凝土结构细部的全新独特能力。

三维CSFM（协调应力场法）基于修正Mohr-Coulomb塑性理论定义混凝土在单调加载下的行为。该方法考虑混凝土受压主应力及裂缝处的钢筋应力（σ_sr），同时忽略混凝土抗拉强度（拉力截断），但保留其对钢筋的刚化效应（拉力刚化）。

σ_c1r, σ_c2r, σ_c3r ≤ 0 MPa

钢筋通过粘结单元与混凝土体积有限单元相连，允许混凝土与钢筋之间发生滑移。需要注意的是，三维CSFM（协调应力场法）不适用于模拟素混凝土，因为忽略拉力可能导致变形结果失真及模型不收敛。一般而言，Mohr-Coulomb理论包含两个控制塑性面演化的基本参数，分别作用于受压区及部分受拉区：内摩擦角φ和粘聚力参数c。三维CSFM（协调应力场法）假设内摩擦角为零（图1e），使塑性面类似于与第一应力不变量无关的Tresca模型，从而得到偏保守的设计结果。

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1\qquad Basic assumptions of the 3D CSFM: (a) principal stresses in concrete; (b) stresses in the reinforcement direction;}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{(c) stress-strain diagram of concrete in terms of maximum stresses; (d) stress-strain diagram of reinforcement}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{in terms of stresses at cracks and average strains; (e) Mohr's circles for concrete model in 3D CSFM; (f) bond shear stress-slip}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{relationship for anchorage length verifications.}}}$

混凝土

所介绍的材料模型是一种多面塑性模型，由Mohr-Coulomb模型与Rankine模型组合而成，适用于单调加载。需要特别指出的是，该模型不考虑卸载过程，因此不存储状态变量，而用于循环加载的经典塑性模型则需要存储状态变量。

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2\qquad Mohr-Coulomb multi-surface plasticity model for friction angle 0 degree}}}$

如前所述，该材料模型适用于计算钢筋混凝土响应的应用（不适用于素混凝土）。这是因为模型中排除了混凝土受拉的贡献。因此，该模型也不适用于未满足钢筋混凝土设计规则（如最小配筋率、最大钢筋间距等）的结构构件。此外，出于数值稳定性的考虑，模型中定义了极小的抗拉能力。受拉部分由对应Rankine模型的平面加以限制。

IDEA StatiCa Detail中的三维CSFM（协调应力场法）不考虑混凝土受压应变的显式破坏准则（即认为达到峰值应力后存在无限塑性分支）。这一简化使得无法验证受压破坏结构的变形能力。然而，当通过fib模型规范2010中定义的𝜂_𝑓𝑐折减系数考虑混凝土强度提高导致脆性增加时，可以正确预测其极限承载力，具体如下：

$f_{c,red} = \eta _{fc} \cdot f_{c}$

${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$

其中：

f_c 为混凝土圆柱体特征强度（在定义 $\eta_{fc}$ 时单位为MPa）。

f_c,red 随后与混凝土的等效主应力σ_c,eq进行比较，该等效主应力将在后续进一步定义，当然需考虑规范规定的所有安全系数。

混凝土模型的详细说明可通过以下链接获取：

三维 Detail 混凝土材料模型

钢筋

设计规范所定义的钢筋双线性应力-应变图（图1d）是一种理想化模型。该模型要求在设计阶段掌握钢筋的基本性能，具体包括强度和延性等级。用户也可选择自定义应力-应变关系。

拉力刚化通过修正裸钢筋的应力-应变关系来考虑，以反映埋入混凝土中钢筋的平均刚度（ε_m）（图1b）。

锚固

钢筋与混凝土之间的粘结滑移通过有限单元模型中简化的刚性-完全塑性本构关系来引入（图1f），其中f_bd为设计规范针对特定粘结条件规定的极限粘结应力设计值（分项系数值）。

这是一个简化模型，其唯一目的是根据设计规范验证粘结规定（即钢筋的锚固）。使用弯钩、环形及类似钢筋形状时锚固长度的折减，可通过在钢筋端部定义一定承载力来考虑，具体将在后续说明。

锚栓

锚栓单元定义为能够传递法向拉力或压力以及剪力，同时考虑抗弯刚度。

可用的锚栓类型如下：

现浇锚栓
- 钢筋
- 锚板
- 栓钉
现浇钢筋
- 钢筋
- 螺纹杆

现浇 - 钢筋

模拟为埋入混凝土中的带肋钢筋。粘结强度按所选规范规则计算，与标准钢筋的计算方式相同。在锚栓端部可定义锚固类型，其工作方式与钢筋锚固相同——根据所选规范设置β系数后施加锚固弹簧。提供三种几何形状：直线形、L形、U形。

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 3\qquad Cast-in reinforcement anchor - shapes}}}$

现浇 - 锚板与栓钉

锚板和栓钉头部模拟为板壳单元，采用相应材料，直接连接至锚栓杆体。荷载通过仅受压接触传递至混凝土。可用形状：圆形和方形（栓钉仅限圆形），尺寸可自定义。锚板和头部模型为弹性，不进行承载力验算。

在有限单元模型层面，直接验算锚栓的拔出。压力接触设有停止准则，使其传递给混凝土的接触应力不超过所选标准的规定值。实际上，这意味着若锚栓所受荷载不满足拔出验算要求，计算将提前终止，因为在进一步加载过程中该停止准则将被超越。

锚栓杆体的粘结强度为零——所有荷载均通过锚板或头部传递至混凝土。

后锚固 - 钢筋与螺纹杆

设计为安装于钻孔中并以胶粘剂粘结的钢筋。结构工程师直接根据胶粘剂产品技术规格书指定设计粘结强度。

关于各类锚栓与底板或预埋板连接的更多信息，请参阅有限单元类型章节 - 荷载传递装置。

在以下章节中，我们将介绍Mohr-Coulomb理论如何在三维CSFM（协调应力场法）中实现。我们将解释如何考虑围压效应（三轴应力），以及如何计算等效主应力σ_c,eq，该值用于从混凝土角度确定承载能力。

理论简介

Mohr-Coulomb理论是一种描述脆性材料在剪力和正应力作用下响应的数学模型。大多数经典工程材料在其剪切破坏包络线的至少一部分范围内遵循该规律。一般而言，该理论适用于抗压强度远超抗拉强度的材料。

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4\qquad Mohr-Coulomb Plasticity Model }}}$

在结构工程中，该理论用于确定混凝土及类似材料的破坏荷载以及破裂面位移的断裂角。库仑摩擦假设用于确定导致材料破坏的剪力与正应力的组合。莫尔圆用于确定哪些主应力会产生这种剪力与正应力的组合，以及该组合发生所在平面的角度。根据正交流动法则，破坏时引入的应力将垂直于描述破坏条件的直线。

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5\qquad Meridian plane and tension cut-off}}}$

可以证明，按照库仑摩擦假设发生破坏的材料，其破坏时引入的位移与断裂线所成的角度等于摩擦角。这使得材料强度可通过比较位移和外荷载引入的外部机械功与破坏线处应变和应力引入的内部机械功来确定。根据能量守恒定律，两者之和为零，从而可以计算结构的破坏荷载。

在三维CSFM（协调应力场法）中的实现

一般而言，对于给定的混凝土内摩擦角（参考文献[1]、[2]、[3]、[4]中约为φ = 30-40°），混凝土抗拉和抗压强度的莫尔圆可按图6所示构建。

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6\qquad Mohr's circles for concrete}}}$

其中f_c为混凝土抗压强度，f_ct为混凝土抗拉强度，φ为内摩擦角，σ_c1、σ_c3为混凝土在三轴压缩下的主应力。

可以注意到，随着主应力σ_c3的增大，σ_c3与σ_c1之间的最大可能差值（我们将其定义为最大σ_c,eq，见下文）也随之增大。该差值对应于文献中定义为莫尔圆半径的偏应力的两倍。

在IDEA StatiCa Detail中实现的三维CSFM（协调应力场法）中，内摩擦角取为φ = 0°，如图7所示。

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 7\qquad Mohr's circles for concrete implemented in IDEA StatiCa Detail}}}$

该实现方式的实际结果是，随着σ_c3的增大，σ_c3与σ_c1之间的最大差值保持不变。

等效主应力表示一般三轴应力状态下的等效单轴应力。

$\sigma_{c,eq} = \sigma_{c3} - \sigma_{c1}$

因此，σ_c,eq值可直接与规范规定的单轴强度限值进行比较。

$\frac{\sigma_{c,eq} }{ \sigma_{c,lim}} \le 1$

其中σ_c,lim为混凝土的设计（折减）单轴强度f_c。

比较图6（采用真实内摩擦角）与图7（采用零内摩擦角的Mohr-Coulomb理论实现），可以看出Detail中所选用的计算方法对三轴应力状态的评估非常保守。

为了更好地理解受三轴压缩应力影响的区域，IDEA StatiCa Detail软件中已将三轴压缩引起的有效材料强度提高的表达式以σ_c3/σ_c,lim比值的形式加入。该比值可在强度规范校核中查看。

在辅助结果中，用户还可以找到κ系数，该系数以另一种方式说明三轴性。

$\kappa = \frac{ \sigma_{c3}}{ \sigma_{c,eq}}$

混凝土强度校核可改写为：

$\frac{\sigma_{c,eq} }{ \sigma_{c,lim}} = \frac{\sigma_{c,3} }{ \kappa \cdot \sigma_{c,lim}} \le 1$

由上述内容可知，若构件处于静水压力状态——σ_c3=σ_c2=σ_c1，则等效主应力σ_c,eq将为零，而kappa系数将趋于无穷大。

更多内容请参见：三轴应力——主动围压效应

平衡方程

小变形理论允许基于未变形体积采用一阶方法建立平衡方程。

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 8\qquad Equilibrium equations and graphical representation on infinitesimal element}}}$

协调方程

固体由无穷小体积或材料点组成，各点之间相互连接，无间隙也无重叠。为防止连续体在变形过程中出现间隙或重叠，必须满足相应的数学条件。

本构方程

控制三维单元行为的本构方程在结构力学材料行为分析中起着关键作用。这些方程被建立为适应非线性各向同性行为，该行为适用于 IDEA StatiCa Detail 中的实体块构件。

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 9\qquad Linearly elastic isotropic compliance matrix}}}$

3D CSFM（协调应力场法）考虑混凝土中的连续应力场（三维有限单元），并辅以代表钢筋的离散"杆"单元（一维有限单元）。因此，钢筋并非弥散地嵌入混凝土三维有限单元中，而是被显式建模并与之连接。

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 10\qquad Rendering of the calculation model for concrete block and out-of-plane wall}}}$

非线性（非弹性）有限单元法分析模型由多种有限单元类型构成，用于模拟混凝土、钢筋及其之间的粘结。混凝土和钢筋单元首先分别划分网格，然后通过多点约束（MPC 单元）相互连接。这使得钢筋可以位于任意位置，不受四面体网格节点的限制。为验证锚固长度，在钢筋与 MPC 单元之间插入粘结和锚固端弹簧单元。

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 11\qquad Finite element model: reinforcement elements mapped to concrete mesh using MPC and bond elements}}}$

混凝土

混凝土采用带节点转动自由度的混合四面体单元进行分析。四面体单元可对任意拓扑形状的区域进行网格划分，而所采用的公式可保证即使在粗网格下也能获得准确的变形结果（避免线性四面体单元公式中已知的剪力锁定效应引起的虚假剪应力），而粗网格对线性四面体单元公式并不适用。

采用完全积分方案，即每个单元配置四个位于体积内部的积分点。这种积分方式可获得精确的应变和应力场，从而对整个体积范围内的结果进行充分评估和展示。相应地，停止准则基于积分点处的数值确定。

钢筋

钢筋采用两节点一维"杆"单元（CROD）模拟，该单元仅具有轴向刚度。这些单元与专门开发的"粘结"单元相连，用于模拟钢筋与周围混凝土之间的滑移行为。粘结单元随后通过 MPC（多点约束）单元与代表混凝土的网格相连。该方法允许对钢筋和混凝土进行独立网格划分，同时在后续步骤中确保两者的相互连接。

粘结单元

锚固长度的验证通过在有限单元模型中引入混凝土单元（三维）与钢筋单元（一维）之间的粘结剪应力来实现。为此，专门开发了"粘结"有限单元类型。

粘结单元定义为壳有限单元，其第一层与代表钢筋的单元相连，第二层通过多点约束（MPC 单元）与混凝土网格相连。需要注意的是，本文中粘结单元始终以非零高度显示，但在模型中其高度定义为无穷小。

该单元的行为由粘结应力 τ_b 描述，其为上下节点滑移量 δu 的双线性函数，见（图 12）。

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 12\qquad (a) Conceptual illustration of the deformation of a bond element; (b) shear-deformation function}}}$

粘结-滑移关系的弹性刚度模量 Gb 定义如下：

$G_b = k_g \cdot \frac{E_c}{Ø}$

k_g 取决于钢筋表面的系数（默认值 kg = 0.2）

E_c 混凝土弹性模量（按 EN 规范取 Ecm）

Ø 钢筋直径

采用相应设计规范 EN 1992-1-1 或 ACI 318-19 中规定的极限粘结剪应力设计值（分项系数值）f_bd 验证锚固长度。塑性段的硬化默认计算为 Gb/105。

锚固弹簧

对钢筋端部设置锚固端（即弯折、弯钩、环形锚固等），满足设计规范的规定，可将钢筋基本锚固长度（l_b,net）乘以一定系数 β 进行折减（以下称为"锚固系数"）。锚固长度设计值（lb）计算如下：

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 13\qquad Model for the reduction of the anchorage length: a) Anchorage force along the anchorage length of }}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{the reinforcement bar, b) slip-anchorage force constitutive law}}}$

锚固长度的折减在有限单元模型中通过在钢筋端部设置弹簧单元（图 13a）来实现，该弹簧单元由（图 13b）所示的本构模型定义。弹簧所能传递的最大力（F_au）为：

$F_{au} = \beta \cdot A_s \cdot f_{yd}$

其中：

β 基于锚固类型的锚固系数

A_s 钢筋截面面积

f_yd 钢筋屈服强度设计值（分项系数值）

底板

底板采用弹性壳单元建模。底板所用钢材在"材料"选项卡中定义，唯一的物理属性为弹性模量 E。

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 14\qquad The base plate material definition}}}$

底板可承受集中荷载（Fx、Fy、Fz、Mx、My、Mz）和力组（Fx、Fy、Fz），主要用于加载从 IDEA StatiCa Connection 导出的模型。需注意，集中力和集中弯矩直接作用于底板的对应节点，不发生重分布，仅通过底板刚度传递。

该实现方式允许从 IDEA StatiCa Connection 导入荷载效应，这些荷载效应作用于底板上各焊缝有限单元所在位置，其大小和方向由该焊缝有限单元的广义应力确定。详细内容请参阅本文档相应章节。

第二种加载方式为树根段——代表底板上方柱的短截段。树根段采用弹性壳单元结构建模，作为内力与底板之间物理精确的传力界面。用户从标准截面数据库中为树根段选择截面。6分量内力组（力和弯矩）施加于树根段底面的单个节点上，即柱脚处。约束将力传递至树根段顶面，再通过树根段自然分配至底板、锚栓和混凝土中。

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 15\qquad The load transfer through the stub}}}$

剪力传递机制（从底板到混凝土块）

底板与混凝土之间定义了仅受压的摩擦接触。剪力传递方式用户可从以下三种选项中选择：

通过锚栓
通过摩擦
通过抗剪键

软件不允许组合使用上述剪力传递机制。

摩擦系数应输入设计（折减）值。若合力剪力 F_xy 超过压力 F_z 与摩擦系数 μ 的乘积，计算将停止，并非所有荷载均能施加到模型中。验算条件如下：

$\frac {F_{xy}}{ \mu \cdot F_{z}}\le 1$

以下示例考虑两种荷载工况，以说明上述条件。

LC1 - 永久荷载类型 - F_z = 100 kN
LC2 - 可变荷载类型 - F_x = 100 kN

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 16\qquad Load input for example explaining shear transfer by friction}}}$

在第一个计算步骤中，施加全部永久荷载。随后逐步施加可变荷载，直至其达到压力乘以摩擦系数的值。

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 17\qquad Results from example explaining shear transfer by friction}}}$

图18中的曲线定义了底板与混凝土之间摩擦接触的行为。

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 18\qquad Force-displacement graph describing the behavior of frictional contact}}}$

F_zμ 的值在每个计算增量中各不相同，而最大剪切变形 u_xy 的值保持不变。

若压缩法向力 F_z 和剪力 F_xy 在同一荷载工况类型中输入（例如仅为永久荷载），且不满足 F_xy / (F_zμ) ≤ 1 的条件，则模型中将不施加任何荷载，因为在计算的任何增量中均不满足该条件。

抗剪键通过仅允许传递压缩法向应力的约束与混凝土网格相连。

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 19\qquad Shear lug transfer of shear mechanism}}}$

抗剪键由弹性壳单元建模，材料由弹性模量 E 定义。

底板和抗剪键的计算结果不进行评估和显示。

底板选项（架空、灌浆）

以下一组架空选项与 Connection 软件完全一致，均可使用。

直接
砂浆层——螺母从顶部
砂浆层——螺母从顶部和底部
间隙

砂浆层采用壳单元建模，其刚度纳入计算。需注意，壳单元在厚度方向上不可压缩。这有助于将局部力重分配至混凝土，适用于工程实践中常用的垫层厚度——25~50 mm。

仅顶部螺母（锚栓与底板铰接连接）与顶部和底部螺母（锚栓与底板刚性连接）之间的区别，从混凝土承压角度对抗剪承载力有显著影响。

锚栓

代表锚栓的有限单元建模时能够将法向力和剪力传递至混凝土，同时考虑锚栓的抗弯刚度。为模拟锚栓与周围混凝土之间的滑移，采用与钢筋相同的粘结单元和 MPC 单元，区别在于：

对于后锚固（化学粘结）锚栓，需指定设计粘结强度。
对于锚板和栓钉，沿锚栓杆身忽略粘结作用，所有轴向荷载通过锚板或锚头传递至混凝土。

锚栓可与底板相互连接。该连接采用完全非线性约束，将锚栓端部与底板节点相连。该约束允许控制所有自由度，例如确保锚栓不从底板传递压力，或在建模抗剪键时锚栓不传递剪力等。

锚栓的与底板互连属性允许用户控制锚栓是否通过上述约束与底板连接以及连接方式。

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 20\qquad Interconnection with base plate settings}}}$

剪力传递复选框用于控制锚栓与底板在剪力方向上是否连接。需注意，不支持组合使用剪力传递机制，因此对于通过摩擦和抗剪键传递剪力的情况，该复选框不适用。另一方面，对于通过锚栓传递剪力的情况，该选项可将部分锚栓排除在剪力传递之外。

轴力传递复选框用于控制锚栓与底板在轴向方向上是否连接。该选项主要用于从 Connection 功能导出的情况（参见相应章节）。对于手动建模，建议始终勾选此复选框。

当取消勾选该复选框时，锚栓在拉力和压力方向上均断开连接（对于从 Connection 软件导出的模型，该连接由一对力代替）。若勾选该复选框，锚栓始终在受拉方向与底板连接，但受压方向的连接由锚栓类型和架空类型控制。详细信息请参见图23。

切削螺纹

通过锚栓属性中的复选框控制，具有两个用途：

1. 定义锚栓与底板的连接方式：

对于与底板连接的栓钉和现浇钢筋（不适用于现浇埋板），区分螺栓连接（铰接）和焊接连接（刚接）——在三维场景中可见。
需注意，锚栓与底板的连接方式对从混凝土承压角度评估的抗剪承载力有显著影响。

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 21\qquad Cut threads options}}}$

2. 对于欧洲规范，切削螺纹锚栓的承载力根据 EN 1993-1-8 第 3.6.1 条第 (3) 款进行折减。可在项目设置中进行设定。对于螺纹杆和锚板，建议始终保持此设置开启。

锚栓与底板之间的轴向及转动连接

如本章前文所述，根据锚栓类型、架空设置以及是否考虑切削螺纹，锚栓与底板的连接方式各有不同。就转动连接而言，可为铰接/刚接；就轴向连接而言，可为受拉/受拉+受压。转动连接类型对从混凝土承压角度评估的抗剪承载力有显著影响。在三维场景中，可根据螺母的有无判断锚栓为刚接还是铰接，详见图22。

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 22\qquad Rotational constraints}}}$

下表列出了底板与锚栓连接的所有可能组合及其对应的转动和轴向连接方式。

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 23\qquad Axial and rotational constraints between an anchor and a base plate}}}$

现浇埋板

现浇埋板是底板的一种特殊情况，其建模方式类似，但存在以下差异：

由于底板嵌入混凝土块内部，无法指定任何架空类型。板的嵌入深度忽略不计。采用壳单元建模的底板直接置于混凝土表面，因此板的侧面不考虑受混凝土支撑。

仅可使用钢筋和栓钉，与普通锚栓类似，可设置其在轴向和剪力方向上与板的连接。工程实践经验及部分国家文件表明，栓钉宜仅按受剪设计，钢筋宜按轴向荷载设计。从轴向和转动约束角度来看，锚栓始终以刚接和受拉+受压方式连接。

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 24\qquad Axial and rotational constraints between an anchor and a base plate}}}$

有限单元在内部实现，分析模型自动生成，无需用户进行专业操作。网格划分是这一过程的重要组成部分。

混凝土

所有混凝土构件统一进行网格划分。软件根据结构的尺寸和形状自动计算推荐单元尺寸，并考虑最大钢筋直径。此外，推荐单元尺寸可确保在结构的细薄部位（如细长柱或薄墙）至少生成四个单元，以保证这些区域计算结果的可靠性。设计人员可通过修改默认网格尺寸的倍数，自定义混凝土单元尺寸。

钢筋

钢筋被划分为与混凝土单元尺寸大致相同长度的单元。钢筋网格和混凝土网格生成后，通过粘结单元相互连接，如图9所示。

网格细化

混凝土网格在锚栓周围、抗剪键周围以及加载用树根段下方自动进行细化。细化网格的尺寸约为基本混凝土网格的一半。细化区域的半径近似定义为单元尺寸乘以2。

采用标准完全牛顿-拉夫森（NR）算法求解非线性有限单元法问题。

通常，当全部荷载在单一步骤中施加时，NR算法往往难以收敛。常用的方法（本文亦采用此方法）是将荷载分多个增量依次施加，并利用前一荷载增量的结果作为后续牛顿求解的初始值。为此，在牛顿-拉夫森算法基础上实现了荷载控制算法。若NR迭代不收敛，则将当前荷载增量减半，并重新进行NR迭代。

荷载控制算法的第二个目的是寻找临界荷载，该荷载对应特定的"停止准则"——具体包括：混凝土中的最大应变、粘结单元中的最大滑移、锚固单元中的最大位移以及钢筋中的最大应变。临界荷载采用二分法求得。若模型中任意位置超过停止准则，则舍弃最后一个荷载增量的结果，并计算前一增量一半大小的新增量。重复此过程，直至在一定误差容限内找到临界荷载。

对于混凝土，停止准则设定为壳单元积分点处受压应变5%（即约为混凝土实际破坏应变的一个数量级）、受拉应变7%。受拉方向的值设定是为了使钢筋的极限应变（通常约为5%，不考虑拉力刚化）能够首先达到。受压方向的值是从多个备选方案中选取的，该值足够大，使得压碎效应在结果中可见，同时又足够小，以避免对数值稳定性造成过多问题。

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig 25\qquad Constitutive law of bond and anchorage elements used for anchorage length verification: a) Bond shear stress}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{slip response of bond element, b) force-displacement response of an anchorage element}}}$

对于钢筋，停止准则以应力表示。由于模拟的是裂缝处的应力，受拉准则对应于考虑安全系数的钢筋抗拉强度。受压准则采用相同的值。

粘结单元和锚固弹簧的停止准则为 α·δ_umax，其中 δ_umax 为规范校核中使用的最大滑移值，α = 10。

锚固的其他停止准则：

栓钉拔出（锚栓头顶面的最大接触压应力）。
从混凝土承压角度出发，锚栓可传递的最大剪力。

这两项准则取决于所选规范。您可在软件中说明结构分析规范相关部分的章节中找到更多信息。

混凝土和钢筋单元的结果分别独立展示。混凝土中的应力和应变值在体积单元的积分点处计算。然而，以这种方式呈现数据并不实用，因此默认在节点处展示结果，例如相邻高斯积分点在连接单元中的最大压应力值。需要注意的是，当有限单元尺寸与压缩区深度相近时，这种表示方式可能会在构件受压边缘处局部低估结果。

钢筋有限单元的结果对每个单元而言要么是常数（一个值——例如钢材应力），要么是线性的（两个值——用于粘结结果）。对于辅助单元，如承压板单元，仅展示变形结果。

IDEA StatiCa Detail 模型并不总是需要从头建模或从模板开始。还可以选择从 IDEA StatiCa Connection 导入模型，包括荷载效应。在 Connection 中，混凝土块上方的钢结构上部结构采用非线性三维模型进行分析，而混凝土块本身则以温克尔基础的简化方式表示。而在 Detail 中，钢筋混凝土块被显式建模并进行详细的规范校核。

在模型传递时，只有底板、锚栓和混凝土块被导入 Detail——钢构件本身（及其整体刚度）不包含在内。在 Connection 模型中，该钢构件通过焊缝与底板相连。焊缝有限单元中的应力经过积分后转换为一组等效力，这些力在 Detail 中作用于底板。这样，缺失钢构件的效应由直接施加在底板上的焊缝力来表示。

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 26\qquad Loads imported from IDEA StatiCa Connection}}}$

由于 Connection 与 Detail 之间刚度定义不同（缺少钢构件、不同的材料模型以及混凝土的表示方式），在 Detail 中底板与锚栓之间的直接连接通常会导致荷载重分布不同，从而使锚栓中的拉力不同。为避免这一问题，锚栓在导入时与底板在轴向断开连接。轴向力不通过物理接触传递，而是将从 Connection 获得的锚栓拉力直接施加到 Detail 中的锚栓上。同时，在每个锚栓位置处，对底板施加一个大小相等、方向相反的力，以保持模型的整体平衡。这对力（一个作用于锚栓，另一个作用于底板）代表了底板与锚栓之间的相互作用，同时避免了 Detail 中轴向力的额外重分布。图 26 示意了这两个方向相反的力。

然而，剪力仍通过底板与锚栓之间的连接传递（或通过抗剪键或摩擦传递）。这是可行的，因为采用约束将底板与锚栓在剪力方向上连接，从而可以控制该连接的相关自由度。因此，在 Detail 中，用户可以修改剪力传递路径——例如，释放四个锚栓中两个的剪力，仅保留边缘锚栓承受剪力——而轴向力保持从 Connection 导入的数值不变。

对于现浇预埋板，我们采用了不同的方法。多项欧洲设计建议要求仅考虑钢筋承受轴向力，而栓钉仅承受剪力。由于 IDEA StatiCa Connection 在导出时无法在内部将钢筋锚栓与栓钉中的轴向力分开，现浇预埋板的锚栓在导入 Detail 时采用完全连接，包括轴向方向。这允许用户在 Detail 中激活一种设计选项，使钢筋锚栓仅承受轴向拉力，栓钉仅承受剪力。在此工作流程中，原本分配给栓钉的轴向力需要在 Detail 模型中重新分配到钢筋锚栓上。如果采用上述反向力对的方法，这种重分布将无法实现，这也是现浇预埋板采用不同处理方式的原因。

承载能力极限状态

特定设计规范所要求的各项验算，均基于模型直接输出的结果进行评估。承载能力极限状态验算涵盖混凝土强度、钢筋强度及锚固（粘结剪应力）。

为确保结构构件设计高效，强烈建议按以下步骤进行初步分析：

选取最不利荷载组合。
仅计算承载能力极限状态（ULS）荷载组合。
为加快计算速度并排查问题，可在设置中增大默认网格尺寸的倍数（图27），使用粗网格进行计算。若模型运行正常，再将倍数恢复为1。

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig 27\qquad Mesh multiplier}}}$

此类模型计算速度极快，便于设计人员高效审查结构构件的配筋构造，并反复运行分析，直至最不利荷载组合下的所有验算要求均得到满足。完成初步分析的所有验算后，建议纳入完整的承载能力极限状态荷载组合，并采用细网格（程序推荐的网格尺寸）。用户可通过倍数调整网格尺寸，倍数范围为0.5至5（图27）。

基本结果与验算（应力、应变及承载比（即计算值/规范限值），以及混凝土构件中主应力方向）通过不同云图显示，其中压力通常以红色表示，拉力以蓝色表示。可高亮显示整体结构的全局最小值和最大值，以及每个用户自定义部分的最小值和最大值。在程序的独立选项卡中，可显示高级结果，如张量值、结构变形，以及用于计算钢筋拉力刚化的钢筋配筋率（有效配筋率和几何配筋率）。此外，还可显示所选组合或荷载工况的荷载与反力。

混凝土 - 承载能力极限状态

3D CSFM（协调应力场法）中实现的混凝土模型基于EN 1992-1-1规定的单轴受压本构关系，用于截面设计，该关系仅取决于抗压强度。3D CSFM（协调应力场法）默认采用EN 1992-1-1第3.1.7(1)条规定的抛物线-矩形图（图28a），设计人员也可根据EN 1992-1-1第3.1.7(2)条选择更简化的弹性理想塑性关系（图28b）。与经典钢筋混凝土设计一样，忽略抗拉强度。

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig 28\qquad The stress-strain diagrams of concrete for ULS: a) parabola-rectangle diagram; b) bilinear diagram}}}$

3D CSFM（协调应力场法）在IDEA StatiCa Detail中的实现，对受压混凝土未考虑显式应变破坏准则（即达到峰值应力后，考虑塑性分支，ε_cu2（ε_cu3）取值为5%，而EN 1992-1-1假定极限应变小于0.35%）。这一简化不允许验证受压破坏结构的变形能力。然而，当通过fib模型规范2010中定义的 $\eta_{fc}$ 折减系数考虑混凝土强度提高时脆性增大的影响，可按EN 1992-1-1第3.1.3条正确预测其极限承载力f_cd，公式如下：

$f_{cd}={\alpha_{cc}} \cdot \frac{f_{ck,red}}{γ_c} = {\alpha_{cc}} \cdot \frac{\eta _{fc} \cdot f_{ck}}{γ_c}$

${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f_{ck}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$

其中：

α_cc 为考虑抗压强度长期效应及荷载施加方式不利影响的系数，依据EN 1992-1-1第3.1.6(1)条确定，默认值为1.0。

f_ck 为混凝土圆柱体特征强度（在定义 $\eta_{fc}$ 时单位为MPa）。

钢筋

默认采用EN 1992-1-1第3.2.7节规定的裸钢筋理想化双线性应力-应变图（图29）。该图的定义仅需在设计阶段了解钢筋的基本性能（强度和延性等级）。在已知的情况下，可考虑钢筋的实际应力-应变关系（热轧、冷加工、淬火及自回火等）。钢筋应力-应变图可由用户自定义，但在此情况下无法考虑拉力刚化效应（无法计算裂缝宽度）。采用水平顶部分支的应力-应变图不允许验证结构耐久性，因此需手动验证标准延性要求。

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 29 \qquad Stress-strain diagram of reinforcement: a) bilinear diagram with an inclined top branch; b) bilinear diagram}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{with a horizontal top branch.}}}$

拉力刚化（图30）通过修正裸钢筋的输入应力-应变关系自动加以考虑，以反映埋入混凝土中钢筋的平均刚度（ε_m）。

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 30\qquad Scheme of tension stiffening.}}}$

协调应力场法符合现代设计规范的要求。由于计算模型仅使用标准材料属性，设计规范中规定的分项安全系数格式可直接应用，无需任何调整。这样，输入荷载经过系数放大，特征材料属性按设计规范规定的相应安全系数进行折减，与常规混凝土分析完全一致。EN 1992-1-1 第 2.4.2.4 条规定的材料安全系数，以及 EN 1992-4、EN 1993-1-8 和 EN 1994-1-1 规定的锚栓系数均为默认值，但用户可在规范和计算设置中修改安全系数（图 31）。

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 31\qquad The setting of material safety factors in Idea StatiCa Detail.}}}$

荷载安全系数须由用户在组合规则中为每个非线性荷载工况组合分别定义（图 32）。对于 Idea StatiCa Detail 中已实现的所有模板，分项安全系数均已预先定义。

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 32\qquad The setting of load partial factors in Idea StatiCa Detail.}}}$

通过使用用户自定义的分项安全系数组合，用户也可采用整体抗力系数法（Navrátil 等，2017）进行三维 CSFM（协调应力场法）计算，但该方法在设计实践中极少使用。部分指南建议在非线性分析中采用整体抗力系数法。然而，在简化非线性分析（如三维 CSFM（协调应力场法））中，仅需使用常规手算所用的材料属性，采用分项安全系数格式仍更为适宜。

混凝土 - 强度

CSFM（协调应力场法）中用于强度计算的混凝土模型，基于波特兰水泥协会（PCA）的抛物线型应力-应变曲线，该曲线描述于 PCA 的《ACI 318-99 结构混凝土建筑规范要求注释》图 6-8。与经典钢筋混凝土设计一致，抗拉强度被忽略。

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 40\qquad The stress-strain diagram of concrete for Strength analysis}}}$

CSFM（协调应力场法）在 IDEA StatiCa Detail 中的实现，未对受压混凝土采用基于应变的显式破坏准则（即：达到峰值应力后，采用塑性分支，ε_c0 最大值取 5%，而 ACI 318-19 第 22.2.2.1 条规定极限应变小于 0.3%）。这一简化使得无法验证受压破坏结构的变形能力。然而，当通过 fib Model Code 2010 中定义的 $\eta_{fc}$ 折减系数考虑混凝土强度提高时脆性增大的影响，强度预测仍可得到正确结果，具体如下：

$f'_{c,lim}=\alpha_{1}\cdot\phi_{c}\cdot \eta _{fc}\cdot f'_{c}$

${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f'_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$

其中：

α₁ 为 ACI 318-19 第 22.2.2.4.1 条定义的混凝土抗压强度折减系数。采用抛物线-矩形应力-应变图时，需将最大压应力乘以该系数进行折减。该系数对压缩区应力分布取平均，使得所得抗压强度不超过采用具有下降塑性分支的应力-应变图所计算的抗压强度。

Φ_c为混凝土强度折减系数，默认值按 ACI 318-19 表 24.2.1 (b)(f) 设定。

f'_c 为混凝土圆柱体抗压强度（在定义 $\eta_{fc}$ 时单位为 MPa）。

钢筋

对于非预应力钢筋，采用具有明确屈服点的理想弹塑性应力-应变图，见 ACI 318-19 第 20.2.1 条。该图的定义仅需了解钢筋的基本性能——强度和弹性模量。

钢筋的应力-应变图也可由用户自定义，但在此情况下，无法考虑拉力刚化效应。

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 41 \qquad Stress-strain diagram of reinforcement}}}$

其中：

Φ_s为钢筋强度折减系数，默认值按 ACI 318-19 表 24.2.1 设定。

f_y 为钢筋屈服强度

E_s 为钢筋弹性模量

极限应变取 10%，达到该值时计算终止。该取值基于 ASTM A955/A955M-20c 第 7 条，被认为是安全的。

拉力刚化（图 42）通过修正裸钢筋的输入应力-应变关系自动加以考虑，以反映埋入混凝土中钢筋的平均刚度（ε_m）。

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 42\qquad Scheme of tension stiffening.}}}$

CSFM（协调应力场法）符合现代设计规范的要求。由于计算模型仅使用标准材料属性，设计规范规定的分项安全系数格式可直接应用，无需任何调整。通过这种方式，输入荷载经过系数放大，特征材料属性通过相应的强度折减系数进行折减，与常规混凝土分析方法完全一致。

强度折减系数的取值规定于 ACI 318-19 第 21 章，锚栓的强度折减系数规定于 ACI 318-19 第 17 章及 AISC 360-16 第 D、E、F、G 章。

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 43\qquad The setting of strength reduction factors in IDEA StatiCa Detail.}}}$

承载力组合的荷载系数应按 ACI 318-19 表 5.3.1 确定。

除第 34 章另有规定外，ACI 318-19 未定义正常使用荷载组合。建议采用 ASCE/SEI 7-16 附录 C 中的组合规则。所有模板的荷载系数均已预先定义。

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 44\qquad The setting of load factors in IDEA StatiCa Detail.}}}$

ACI 318-19要求的各项验证基于模型直接提供的结果进行评估。验证内容包括混凝土强度、钢筋强度和锚固（粘结剪应力）。

强度 - 混凝土

混凝土受压强度通过有限单元法分析所得最大等效主应力 f_c,eq（前文中亦记为 σ_c,eq）与限值 f'_c,lim 之比进行评估。

等效主应力表示一般三轴应力状态下的等效单轴应力。

$f_{c,eq} = \sigma_{c3} - \sigma_{c1}$

f_c,eq 值因此可直接与单轴强度限值进行比较。该表达式源自Mohr-Coulomb塑性理论的实现，保守地假设内摩擦角 φ = 0°。

强度 - 钢筋

钢筋强度在拉力和压力两种情况下均通过裂缝处钢筋应力 f_s 与规定限值 f_y,lim 之比进行评估。

$f_{y,lim} = \phi_{s} \cdot f_{y}$

强度 - 锚栓

锚栓的正应力验证方式与钢筋类似，其中限值 f_y,lim 的确定方法相同。

为便于阅读以下内容，我们首先按照ACI或AISC规范校核的方式将锚固分为三组。

第1组

锚固类型
- 现浇埋板
- 底板 - 悬空 = 直接接触
- 底板 - 悬空 = 砂浆层 - 砂浆厚度小于0.5倍锚栓直径
- 单锚栓，投影长度小于0.5倍锚栓直径
锚栓规范校核（ACI / AISC）
- 拉力/压力
  - 所有锚栓类型受拉 – ACI 318-19 第17.6.1.2条
  - 所有锚栓类型受压 – AISC 360-16 第E章
- 无杠杆臂剪力
  - 螺栓材料 – ACI 318-19 第17.7.1.2(b)条
  - 栓钉 – ACI 318-19 第17.7.1.2(a)条
  - 钢筋 – ACI 318-19 第17.7.1.2(b)条
- 拉力与剪力相互作用 - ACI 318-19 第17.8条

第2组

锚固类型
- 底板 - 悬空 = 砂浆层 - 砂浆厚度大于0.5倍锚栓直径
锚栓规范校核（ACI / AISC）
- 拉力/压力
  - 所有锚栓类型受拉 – ACI 318-19 第17.6.1.2条
  - 所有锚栓类型受压 – AISC 360-16 第E章
- 有杠杆臂剪力
  - 螺栓材料 – ACI 318-19 第17.7.1.2(b)条 + 第17.7.1.2.1条
  - 栓钉 – ACI 318-19 第17.7.1.2(a)条 + 第17.7.1.2.1条
  - 钢筋 – ACI 318-19 第17.7.1.2(b)条 + 第17.7.1.2.1条
- 拉力与剪力相互作用 - ACI 318-19 第17.8条

第3组

锚固类型
- 底板 - 悬空 = 间隙
- 单锚栓，投影长度大于0.5倍锚栓直径
锚栓规范校核（ACI / AISC）
- 拉力/压力（含屈曲）
  - 所有锚栓类型受拉 – ACI 318-19 第17.6.1.2条
  - 所有锚栓类型受压 – AISC 360-16 第E3条
- 弯曲
  - 所有锚栓类型 – AISC 360-16 第F11章
- 剪力
  - 所有锚栓类型 – AISC 360-16 第G章
- 轴力与弯矩相互作用
  - $\dfrac{N}{P_n}+\dfrac{M}{M_n}\le 1$

根据ACI 318-19第17.6.1.2条的锚栓抗拉承载力

$\phi N_{sa}=\phi_{a,t}\,A_{se,N}\,f_{uta}$

其中：

ϕ_a,t – 根据ACI 318-19第17.5.3(a)条，受拉锚栓的强度折减系数
A_se,N – 受拉应力面积（经螺纹折减）
f_uta – 锚栓钢材规定抗拉强度，且不得大于1.9 f_ya 和860 MPa

根据ACI 318-19第17.7.1.2(a)条的锚栓抗剪承载力

栓钉的钢材抗剪强度确定如下：

$\phi V_{sa}=\phi_{a,V}\,A_{se,V}\,f_{uta}$

其中：
ϕ_a,v – 根据ACI 318-19第17.5.3(a)条，受拉锚栓的强度折减系数
A_se,V – 受拉应力面积（经螺纹折减）
f_uta – 锚栓钢材规定抗拉强度，且不得大于1.9 f_ya 和860 MPa

根据ACI 318-19第17.7.1.2(b)条的锚栓抗剪承载力

螺栓材料及钢筋锚栓的钢材抗剪强度确定如下：

$\phi V_{sa}=\phi_{a,V}\,0.6\,A_{se,V}\,f_{uta}$

其中：

ϕ_a,v – 根据ACI 318-19第17.5.3(a)条，受拉锚栓的强度折减系数
A_se,V – 受拉应力面积（经螺纹折减）
f_uta – 锚栓钢材规定抗拉强度，且不得大于1.9 f_ya 和860 MPa

砂浆层连接锚栓的抗剪承载力 - ACI 318-19第17.7.1.2.1条

若锚栓采用灌浆垫层（第2组），按17.7.1.2条计算所得设计强度应乘以0.80。

根据ACI 318-19第17.8条的拉力与剪力相互作用

若满足(a)或(b)，则可忽略拉力与剪力之间的相互作用。
(a) N_ua/(ϕN_n) ≤ 0.2
(b) V_ua/(ϕV_n) ≤ 0.2

若控制受拉强度时 N_ua/(ϕN_n) > 0.2，且控制受剪强度时 V_ua/(ϕV_n) > 0.2，则应满足公式(17.8.3)。

$\frac{N_{ua}}{\phi N_n}+\frac{V_{ua}}{\phi V_n}\le 1.2$

根据AISC 360-16第E3条的锚栓抗压承载力

$P_n =\phi_{a,c}\, F_{cr}\, A_{g}$

其中：

ϕ_a,t – 根据AISC 360-16第E1条，受压锚栓的强度折减系数
(a) 当： $\dfrac{L_c}{r} \le 4.71\sqrt{\dfrac{E}{F_y}}\quad$ 或 $\dfrac{F_y}{F_e}\le 2.25$
- $F_{cr}=\left(0.658^{\,F_y/F_e}\right)F_y$
(b) 当： $\dfrac{L_c}{r} > 4.71\sqrt{\dfrac{E}{F_y}}\quad$ 或 $\dfrac{F_y}{F_e}> 2.25$
- $F_{cr}=0.877F_e$
A_g – 构件毛截面面积
E – 钢材弹性模量
$F_e=\dfrac{\pi^2 E}{\left(\dfrac{L_c}{r}\right)^2}$ - 弹性屈曲应力
F_y – 所用钢材规定最小屈服应力
$r=\sqrt{\dfrac{I}{A_s}}$ – 回转半径
$I=\dfrac{\pi d_s^4}{64}$ – 螺栓截面惯性矩

根据AISC 360-16第F11章的锚栓抗弯承载力

$M_n=\phi_{a,b}\, Z\, F_y\, \le 1.6\,\phi_{a,b}\, S_x\, F_y$

其中：

$Z=\dfrac{d_s^{3}}{6}$ – 螺栓塑性截面模量
$S_x=\dfrac{2I}{d_s}$ – 螺栓弹性截面模量

根据AISC 360-16第G章的锚栓抗剪承载力

$V_n=\phi_{a,v}\,0.6\,A_v\,F_y$

其中：

A_V = 0.844As – 受剪面积
A_s – 经螺纹折减的螺栓面积

锚栓与混凝土界面处的混凝土压碎

锚栓抗剪承载力还受锚栓与混凝土界面处混凝土压碎的限制。限值及其确定方法详见文章 - 钢筋混凝土中锚栓的剪切行为。一旦接触力达到该限值，停止准则即被触发，分析在承载力被超越之前终止。

带头锚栓的拔出验证（锚板和栓钉）

对于带头锚栓，额外实施了一个停止准则，用于验证锚头上方混凝土的承压（压碎）——即拔出。在分析过程中，监测通过锚头与混凝土接触传递的压力，并与ACI 318-19第17.6.3.2.2a条（带头紧固件拔出破坏）给出的限值进行比较。

$N_{pn} = \Phi \cdot \Psi_{c,p} \cdot 8 \cdot A_{brg} \cdot f'_c$

其中：

$\Phi$ 为强度折减系数 - 表17.5.3(c)
A_brg 为栓钉、锚栓或带头变形钢筋锚头的净承压面积（不含杆身面积）。
f'_c 为混凝土规定抗压强度
$\Psi_{c,p}$ 为按17.6.3.3条确定的拔出开裂系数，始终取1.0，即开裂混凝土的取值。这与Detail中采用的CSFM（协调应力场法）方法一致，该方法忽略混凝土抗拉强度，并假定混凝土受拉开裂。

一旦接触力达到该基于规范的限值，停止准则即被触发，分析在拔出承载力被超越之前终止。

锚固 - 粘结应力

粘结剪应力单独评估，为有限单元法分析计算所得粘结应力τ_b与粘结强度f_bu之比。

尽管ACI 318-19未明确定义粘结强度，但锚固长度的计算可见第25.4.2条。然而，由于粘结强度是确定锚固长度的基本输入参数（见R25.4.1.1及ACI委员会408 1966），粘结强度可按如下方式计算：

假设若将钢筋锚入混凝土块至锚固长度 l_d 或更大，拔出钢筋将导致钢筋断裂而非混凝土拔出。可用以下公式表达：

$\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} \cdot f_{bu}=f_{y}\cdot A_{s}$

其中：

d_b 为钢筋直径，_ld 为锚固长度，f_bu 为粘结强度，f_y 为钢筋屈服强度，A_s 为钢筋截面面积。

由此可方便地推导出粘结强度的计算公式：

$f_{bu}=\frac{f_{y}\cdot A_{s}}{\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} }$

锚固长度 l_d 按ACI 318-19表25.4.2.3确定如下：

$l_{d}=\left( \frac{f_{y}\cdot\psi_{t}\cdot\psi_{e}\cdot\psi_{g}}{C\cdot\lambda\sqrt{f'_{c}}} \right)\cdot d_{b}$

其中：

C = 25（公制为2.1）适用于6号及以下钢筋和变形钢丝，C = 20（公制为1.7）适用于7号及以上钢筋，λ = 1.0适用于普通重量混凝土，ψ_t、ψ_e, ψ_g 按ACI 318-19表25.4.2.3确定。

仅支持无涂层或镀锌（热镀锌）钢筋，因此 ψ_e = 1.0。ψ_g 根据钢筋等级自动确定，ψ_t 根据模型中钢筋位置及浇筑方向自动推导，浇筑方向可在软件中针对每个项目条目按如下方式设置。

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 45\qquad Direction of concreting}}}$

这些验证针对结构各部分的相应限值进行（即尽管混凝土和钢筋材料各自采用单一等级，但由于拉力刚化和压力软化效应，结构各部分的最终应力-应变图将有所不同）。

锚固 - 总力

总力 F_tot 与限制力 F_lim

总力 F_tot 为有限单元法分析的结果，可通过两种方式定义。

$F_{tot}=A_{s} \cdot f_{s}$

其中 A_s 为钢筋截面面积，f_s 为钢筋中的应力。

或表示为锚固力 F_a与粘结力 F_bond 之和。

$F_{tot}=F_{a}+F_{bond}$

其中 F_a 为锚固弹簧中的实际力，F_bond 为粘结力，可通过沿钢筋长度 l 对粘结应力 τ_b 积分求得。

$F_{bond}=C_{s} \cdot \int_{0}^{l}\tau_{b}\left( x \right)dx$

C_s 为钢筋周长。

限制力 F_lim 为钢筋单元中考虑钢筋强度及锚固条件（混凝土与钢筋之间的粘结以及锚固弯钩、环等）的最大力。

$F_{lim}=min\left( F_{lim,bond}+F_{au},F_{u} \right)$

$F_{u}=f_{y,lim}\cdot A_{s}$

$F_{au}=\beta\cdot f_{y,lim}\cdot A_{s}$

$F_{lim,bond}=C_{s}\cdot l \cdot f_{bu}$

其中 C_s 为钢筋周长，l 为从钢筋起点到所关注点的长度。

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 46\qquad Definition of the limit force Flim}}}$

$F_{lim,2}=F_{lim,1}+F_{lim,add}$

其中 F_lim,add 为由相邻单元夹角大小计算所得的附加力。F_lim,2 必须始终小于 F_u。

CSFM（协调应力场法）中可用的锚固类型包括直筋（即无锚端折减）、90度弯钩、180度弯钩、完全粘结和连续钢筋。所有这些类型及相应的锚固系数β均在图47中针对纵向钢筋进行了展示。所采用锚固系数的取值源自ACI 318-19第25.4.3.1条公式与ACI 318-19第25.4.2.3条公式的比较。需要指出的是，尽管有多种可选方式，CSFM（协调应力场法）将锚固端区分为三种类型：(i) 锚固长度无折减，(ii) 标准锚固情况下锚固长度折减30%，以及(iii) 完全粘结。

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 47\qquad Available anchorage types and respective anchorage coefficients for longitudinal reinforcing bars in CSFM:}}}$

$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) straight bar; (b) 90-degree hook; (c) 180-degree hook; (d) perfect bond; (e) continuous bar}}}$

箍筋的锚固系数始终取 - β = 1.0。

为符合ACI规范，计算中应使用锚固弹簧，锚固弹簧通过 β 系数进行修正，因此用户在定义钢筋起端和末端条件时必须选用一种可用的锚固类型。