In der Praxis stoßen Ingenieure auf verschiedene Arten von finiten Elementen (von einfachen 1D-Stabelementen bis hin zu komplizierteren 3D-Bausteinelementen), die in einer Vielzahl von Anwendungen für die Analyse und den Entwurf von Strukturelementen verwendet werden. Ein gemeinsames Merkmal der meisten Berechnungen in der Praxis ist das lineare Verhalten der Modelle, dessen Vorteile zweifellos in der Schnelligkeit, der Klarheit und einfach in der Tatsache liegen, dass diese Lösung für eine Vielzahl von Problemen völlig ausreichend ist.

Vor allem bei Betonkonstruktionen kommt es häufig vor, dass der lineare Ansatz nicht ausreicht, weil nach dem Auftreten der ersten Risse im belasteten Element die Spannungen umverteilt werden und das Problem deutlich nichtlinearer wird.

In diesen Fällen ist es notwendig, einen der anspruchsvolleren Ansätze zu wählen. Für 1D-Fälle gibt es oft analytische Methoden, die direkt in Normen definiert sind. Zum Beispiel können die beliebten Fachwerk-Modelle für ebene 2D-Elemente und Diskontinuitätsbereiche (D-Regionen) erstellt werden, oder die anspruchsvollere Spannungsfeldmethode, die in IDEA StatiCa Detail, CSFM, implementiert ist, kann verwendet werden.

Wenn der Ingenieur jedoch auf ein Problem stößt, das sich nicht auf planares Verhalten vereinfachen lässt, sind die Möglichkeiten sehr begrenzt. Natürlich kann ein 3D-Modell der Streben und Binder erstellt werden, oder es kann semiwissenschaftliche Software für eine genaue Analyse verwendet werden. Diese Verfahren sind oft zeitaufwändig, entsprechen nicht den Vorschriften und erfordern einen Ingenieur, der sich mit fortgeschrittenen Modellierungsmethoden auskennt.

Aus diesem Grund hat IDEA StatiCa die 3D CSFM (Compatible Stress Field Method) entwickelt und in der Detail-Anwendung implementiert. 3D CSFM erweitert die etablierte CSFM in eine dritte Dimension und bietet eine schnelle und normgerechte Lösung, die vor allem für den Alltagsingenieur anwendbar ist und ihm eine einzigartige neue Möglichkeit bietet, die komplexen Details von Betonstrukturen sicher zu bewältigen.

Hauptannahmen und Einschränkungen

3D CSFM definiert das Betonverhalten auf der Grundlage der modifizierten Mohr-Coulomb-Plastizitätstheorie für monotone Belastung. Die Methode berücksichtigt die Hauptdruckspannungen des Betons und die Bewehrungsspannungen (_σsr) an den Rissen und vernachlässigt die Zugfestigkeit des Betons (Zugabschaltung), mit Ausnahme der aussteifenden Wirkung auf die Bewehrung (Zugaussteifung).

_σc1r, _σc2r, _σc3r ≤ 0 MPa

Die Bewehrungsstäbe sind mit den finiten Elementen des Betonvolumens durch Verbundelemente verbunden, die ein Gleiten zwischen Beton und Bewehrung ermöglichen. Es ist zu beachten, dass die 3D-CSFM nicht für die Simulation von Normalbeton geeignet ist, da es keine Spannungen gibt, was zu irreführenden Verformungen und Modelldivergenzen führen kann. Im Allgemeinen umfasst die Mohr-Coulomb-Theorie zwei grundlegende Eigenschaften, die die Entwicklung der Plastizitätsfläche unter Druck und teilweise unter Zug bestimmen: den inneren Reibungswinkel φ und den Kohäsionsparameter c. 3D CSFM geht von einem inneren Reibungswinkel von Null aus (Abb. 1e), was zu einem konservativen Entwurf führt, da die Plastizitätsfläche dem Tresca-Modell ähnelt, das von der ersten Spannungsinvariante unabhängig ist.

\( \textsf{\textit{\footnotesize{Abb. 1\qquad Grundannahmen des 3D CSFM: (a) Hauptspannungen im Beton; (b) Spannungen in Bewehrungsrichtung;}}}) \( \textsf{\textit{\footnotesize{(c) Spannungs-Dehnungs-Diagramm des Betons in Form von maximalen Spannungen; (d) Spannungs-Dehnungs-Diagramm der Bewehrung}}}) \( \textsf{\textit{\footnotesize{in Form von Spannungen an Rissen und mittleren Dehnungen; (e) Mohrsche Kreise für Betonmodell in 3D CSFM; (f) Verbund Schubspannung-Schlupf}}) \( \textsf{\textit{\footnotesize{Beziehung für Verankerungslängennachweise.}}})

Beton

Das vorgestellte Materialmodell ist ein Mehrflächenplastizitätsmodell, das durch die Kombination des Mohr-Coloumb- und des Rankine-Modells für monotone Belastung gegeben ist. Es ist wichtig zu beachten, dass dieses Modell keine Entlastung berücksichtigt, daher werden keine Zustandsvariablen gespeichert, wie es bei klassischen Plastizitätsmodellen für zyklische Belastung der Fall wäre.

\Abb. 2: Mohr-Coulomb-Mehrflächenplastizitätsmodell für den Reibungswinkel 0 Grad}}}]

Wie bereits erwähnt, ist das Materialmodell für Anwendungen gedacht, die das Verhalten von bewehrtem Beton berechnen (nicht geeignet für Normalbeton). Dies ist auf den Ausschluss von Beton unter Zug zurückzuführen. Daher ist das Modell nicht einmal für Bauteile geeignet, bei denen die Bemessungsregeln für Stahlbeton, wie Mindestbewehrungsgrad, maximaler Stababstand usw., nicht erfüllt sind. Es sollte auch hinzugefügt werden, dass aus Gründen der numerischen Stabilität eine sehr kleine Zugkapazität im Modell definiert ist. Der Zugteil wird durch Ebenen begrenzt, die dem Rankine-Modell entsprechen.

3D CSFM in IDEA StatiCa Detail berücksichtigt kein explizites Versagenskriterium in Form von Dehnungen für Beton unter Druck (d.h. es wird ein unendlich plastischer Zweig nach Erreichen der Spitzenspannung betrachtet). Durch diese Vereinfachung kann die Verformungskapazität von Bauwerken, die auf Druck versagen, nicht überprüft werden. Ihre Tragfähigkeit wird jedoch korrekt vorhergesagt, wenn die Zunahme der Sprödigkeit des Betons bei steigender Festigkeit mit Hilfe des_{��𝑐-Reduktionsfaktors}berücksichtigt wird, der im fib Model Code 2010 wie folgt definiert ist:

\[f_{c,red} = \eta _{fc} \cdot f_{c}\]

\[{\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{f_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1\]

wobei:

_fc die charakteristische Festigkeit des Betonzylinders ist (in MPa für die Definition von \ ( \eta_{fc} \)).

fc_,red wird dann mit der äquivalenten Hauptspannung σc_,eq im Beton verglichen, die natürlich unter Berücksichtigung aller in den Normen vorgeschriebenen Sicherheitsfaktoren weiter definiert wird.

Eine detaillierte Beschreibung des Betonmodells finden Sie unter dem folgenden Link:

Betonmaterialmodell für 3D-Detail

Bewehrung

Das bilineare Spannungs-Dehnungs-Diagramm für Bewehrungsstäbe, wie es in den Bemessungsregeln definiert ist (Abb. 1d), stellt ein idealisiertes Modell dar. Dieses Modell setzt die Kenntnis der grundlegenden Eigenschaften der Bewehrung während der Bemessungsphase voraus, insbesondere der Festigkeits- und Duktilitätsklasse. Alternativ kann der Anwender auch eine individuelle Spannungs-Dehnungs-Beziehung definieren.

Die Zugversteifung wird berücksichtigt, indem die Spannungs-Dehnungs-Beziehung des nackten Bewehrungsstabs modifiziert wird, um die durchschnittliche Steifigkeit der im Beton eingebetteten Stäbe (_εm) zu erfassen (Abb. 1b).

Verankerung

Der Verbundschlupf zwischen der Bewehrung und dem Beton wird in das Finite-Elemente-Modell aufgenommen, indem die vereinfachte starr-perfektplastische Beziehung in (Abb. 1f) berücksichtigt wird, wobei _fbd der Bemessungswert (faktorisierter Wert) der Bruchspannung ist, der in der Bemessungsvorschrift für die spezifischen Verbundbedingungen angegeben ist.

Es handelt sich hierbei um ein vereinfachtes Modell, das ausschließlich dazu dient, die in den Bemessungsregeln vorgeschriebenen Verbundwerte (d. h. die Verankerung der Bewehrung) zu überprüfen. Die Reduzierung der Verankerungslänge bei der Verwendung von Haken, Schlaufen und ähnlichen Stabformen kann durch die Festlegung einer bestimmten Kapazität am Ende der Bewehrung berücksichtigt werden, wie weiter unten beschrieben wird.

Verankerungen

Das Ankerelement ist so definiert, dass es sowohl normale Zug- oder Druckkräfte als auch Querkräfte übertragen kann, wobei auch die Biegesteifigkeit berücksichtigt wird. Es wird jedoch nur die Normalspannung in den Ankern bewertet.

Es gibt zwei Arten von Dübeln:

Klebeanker
Eingegossene Bewehrung

Die Ortbetonbewehrung verhält sich wie die klassische Bewehrung (Verankerungsart, Verbund, usw.) Bei Klebeankern ist es möglich, den Bemessungswert Verbundfestigkeit direkt zu definieren. Dieser Wert sollte aus dem technischen Datenblatt des Herstellers entnommen werden.

Umsetzung der Mohr-Coulomb-Plastizitätstheorie in 3D CSFM

Im folgenden Kapitel wird dargestellt, wie die Mohr-Coulomb-Theorie in 3D CSFM umgesetzt wird. Wir erläutern, wie die Umschließungswirkung (dreiachsige Spannung) berücksichtigt wird und wie die äquivalente Hauptspannung σc_,eq berechnet wird, die zur Bestimmung der Tragfähigkeit aus Sicht des Betons verwendet wird.

Einführung in die Theorie

Die Mohr-Coulomb-Theorie ist ein mathematisches Modell, das die Reaktion von spröden Materialien auf Scher- und Normalspannungen beschreibt. Die meisten klassischen technischen Werkstoffe folgen dieser Regel zumindest in einem Teil ihres Scherbruchbereichs. Im Allgemeinen gilt die Theorie für Materialien, bei denen die Druckfestigkeit die Zugfestigkeit bei weitem übersteigt.

\Abb. 3: Mohr-Coulomb-Plastizitätsmodell]]

Im Bauwesen wird es zur Bestimmung der Bruchlast sowie des Bruchwinkels für die Verschiebung der Bruchfläche in Beton und ähnlichen Materialien verwendet.Mit Hilfe der Coulomb'schen Reibungshypothese wird die Kombination von Scher- und Normalspannung bestimmt, die einen Bruch des Materials verursacht, und mit Hilfe des Mohr'schen Kreises wird ermittelt, welche Hauptspannungen diese Kombination von Scher- und Normalspannung erzeugen und in welchem Winkel der Ebene dies geschieht. Nach dem Normalitätsprinzip steht die bei einem Bruch auftretende Spannung senkrecht zu der Linie, die den Bruchzustand beschreibt.

\Abb. 4\qquad Meridianebene und Spannungsschnitt}}}]

Es kann gezeigt werden, dass bei einem Material, das nach der Coulombschen Reibungshypothese versagt, die beim Versagen eingeleitete Verschiebung einen Winkel zur Bruchlinie bildet, der dem Reibungswinkel entspricht. Dadurch lässt sich die Festigkeit des Werkstoffs durch den Vergleich der durch die Verschiebung und die äußere Belastung eingebrachten äußeren mechanischen Arbeit mit der durch die Dehnung und die Spannung an der Bruchlinie eingebrachten inneren mechanischen Arbeit bestimmen. Aufgrund der Energieerhaltung muss die Summe dieser Arbeiten gleich Null sein, was die Berechnung der Bruchlast der Konstruktion ermöglicht.

Umsetzung in 3D CSFM

Im Allgemeinen können für einen gegebenen inneren Reibungswinkel des Betons, der in den Referenzen [1], [2], [3], [4] bei etwa φ = 30-40° liegt, die Zug- und Druckfestigkeiten der Mohr'schen Kreise des Betons wie in Abbildung 5 konstruiert werden.

\Abb. 5: Mohr'sche Kreise für Beton}}]

Dabei ist _fc die Druckfestigkeit des Betons, _fct die Zugfestigkeit des Betons, φ der Winkel der inneren Reibung und _σc1, _σc3 die Hauptspannungen des Betons unter dreiachsigem Druck.

Es ist festzustellen, dass mit zunehmender Hauptspannung _σc3 auch die maximal mögliche Differenz zwischen den Werten von _σc3 und _σc1, die wir als maximale σc_,eq definieren (siehe unten), zunimmt. Diese Differenz entspricht dem Doppelten der in der Literatur als Radius der Mohrschen Kreise definierten deviatorischen Spannung.

In der in IDEA StatiCa Detail implementierten 3D-CSFM wird der Winkel der inneren Reibung mit φ = 0° angenommen , wie in Abbildung 6 dargestellt.

\Abbildung 6: Mohr'sche Kreise für Beton, implementiert in IDEA StatiCa Detail}}}]

Die praktische Folge dieser Implementierung ist, dass die maximale Differenz zwischen _σc3 und _σc1 konstant ist, wenn _σc3 zunimmt.

Die äquivalente Hauptspannung drückt die äquivalente einachsige Spannung für einen allgemeinen triaxialen Spannungszustand aus.

\[\sigma_{c,eq} = \sigma_{c3} - \sigma_{c1}\]

Der σc_,eq-Wert kann daher direkt mit den Grenzwerten für die einachsige Festigkeit gemäß den Normen verglichen werden.

\[\frac{\sigma_{c,eq} }{ \sigma_{c,lim}} \le 1\]

Dabei ist _σc_,lim die bemessene (faktorisierte) einachsige Festigkeit des Betons _fc.

Vergleicht man Abbildung 5, in der der reale innere Reibungswinkel verwendet wird, mit Abbildung 6, die die Umsetzung der Mohr-Coulomb-Theorie mit einem inneren Reibungswinkel von Null zeigt, so wird deutlich, dass der für die Berechnungen im Detail gewählte Ansatz sehr konservativ für die Bewertung des dreiachsigen Spannungszustands ist.

Zum besseren Verständnis der von triaxialer Druckbeanspruchung betroffenen Bereiche wurde der IDEA StatiCa Detail-Anwendung der Ausdruck für den Anstieg der effektiven Materialfestigkeit infolge triaxialer Druckbeanspruchung als Verhältnis _σc3/σc_,lim hinzugefügt. Sie finden dieses Verhältnis in der Festigkeitskontrolle.

In den Hilfsergebnissen kann der Benutzer auch den κ-Faktor finden, der die Triaxialität auf andere Weise erklärt.

\[\kappa = \frac{ \sigma_{c3}}{ \sigma_{c,eq}}\]

Der Betonfestigkeitsnachweis kann dann umgeschrieben werden als:

\[\frac{\sigma_{c,eq} }{ \sigma_{c,lim}} = \frac{\sigma_{c,3} }{ \kappa \cdot \sigma_{c,lim}} \le 1\]

Daraus folgt, dass, wenn das Element unter hydrostatischer Spannung steht - _{σc3=σc2=σc1}, die äquivalente Hauptspannung σc_,eq den Wert Null hat und der Kappa-Faktor unendlich wird.

Mehr dazu finden Sie hier: Triaxiale Spannung - der aktive Begrenzungseffekt

Allgemeine Mechanik-Annahmen für 3D CSFM

Gleichgewichtsgleichungen

Die Theorie der kleinen Verformungen ermöglicht die Aufstellung der Gleichgewichtsgleichung auf der Grundlage des unverformten Volumens unter Verwendung eines Ansatzes erster Ordnung.

\Gleichgewichtsgleichungen und grafische Darstellung auf einem infinitesimalen Element}}}]

Kompatibilitätsgleichungen

Ein Festkörper besteht aus infinitesimalen Volumina oder Materialpunkten, die jeweils lückenlos und überlappungsfrei miteinander verbunden sind. Damit bei der Verformung eines Kontinuumskörpers keine Lücken oder Überlappungen entstehen, müssen mathematische Bedingungen eingehalten werden.

Konstitutive Gleichungen

Die konstitutiven Gleichungen, die das Verhalten von 3D-Elementen bestimmen, spielen eine zentrale Rolle bei der Analyse des Materialverhaltens in der Strukturmechanik. Diese Gleichungen sind so formuliert, dass sie das nichtlineare isotrope Verhalten berücksichtigen, das für massive Blockstäbe in IDEA StatiCa Detail gilt.

Bei einer 3D-Wand ist es wichtig, das orthotrope Verhalten über die gesamte Dicke zu berücksichtigen, wobei die Spannungen im Beton aufgrund der fehlenden Querbewehrung besonders zu beachten sind. Die Orthotropie wird dadurch verursacht, dass die Spannung im Beton in einer Richtung außerhalb der Ebene zugelassen wird. Die Materialeigenschaften wie die Modulelastizität und die Poissonzahl bleiben gleich.

\Abbildung 8: Lineare elastische isotrope Nachgiebigkeitsmatrix}}]

Analysemodell von IDEA StatiCa 3D Detail

Eine Einführung in die Implementierung der Finiten Elemente

3D CSFM berücksichtigt kontinuierliche Spannungsfelder im Beton (3D finite Elemente), die durch diskrete "Stab"-Elemente ergänzt werden, die die Bewehrung darstellen (1D finite Elemente). Daher ist die Bewehrung nicht diffus in die 3D-Finite-Elemente eingebettet, sondern explizit modelliert und mit ihnen verbunden.

\Abb. 9: Quadratur des Berechnungsmodells für Betonblock und außerebene Wand}}}]

Finite-Elemente-Typen

Das nichtlineare (unelastische) Finite-Elemente-Analysemodell besteht aus mehreren Arten von Finite-Elementen, die zur Modellierung des Betons, der Bewehrung und der Verbindung zwischen diesen Elementen verwendet werden. Die Beton- und Bewehrungselemente werden zunächst unabhängig voneinander vernetzt und dann mit Hilfe von Multi-Point-Constraints (MPC-Elementen) miteinander verbunden. Dadurch kann die Bewehrung jede beliebige Position einnehmen, die nicht auf die Knoten des tetraedrischen Netzes beschränkt ist. Um die Verankerungslänge, den Verbund und das Verankerungsende zu überprüfen, werden Federelemente zwischen der Bewehrung und den MPC-Elementen eingefügt.

\Abb. 10\qquad Finite-Elemente-Modell: Bewehrungselemente auf Betonnetz mit MPC- und Verbundelementen abgebildet}}]