Assessment of the structure using the CSFM is performed by two different analyses: one for serviceability and one for ultimate limit state load combinations. The serviceability analysis assumes that the ultimate behavior of the element is satisfactory, and the yield conditions of the material will not be reached at serviceability load levels. This approach enables the use of simplified constitutive models (with a linear branch of concrete stress-strain diagram) for serviceability analysis to enhance numerical stability and calculation speed. Therefore, it is recommended the use the workflow presented below, in which the ultimate limit state analysis is carried out as the first step.
Ultimate limit state analysis
The different verifications required by specific design codes are assessed based on the direct results provided by the model. ULS verifications are carried out for concrete strength, reinforcement strength, and anchorage (bond shear stresses).
To ensure a structural element has an efficient design, it is highly recommended to run a preliminary analysis which takes into account the following steps:
- Choose a selection of the most critical load combinations.
- Calculate only Ultimate Limit State (ULS) load combinations.
- Use a coarse mesh (by increasing the multiplier of the default mesh size in Setup (Fig. 19)).
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 19\qquad Mesh multiplier.}}}\]
Such a model will calculate very quickly, allowing designers to review the detailing of the structural element efficiently and re-run the analysis until all verification requirements are fulfilled for the most critical load combinations. Once all the verification requirements of this preliminary analysis are fulfilled, it is suggested that the complete ultimate load combinations be included and the use of fine mesh size (the mesh size recommended by the program). User can change mesh size by the multiplier, which can reach values from 0.5 to 5 (Fig. 19).
The basic results and verifications (stress, strain, and utilization (i.e., the calculated value/limit value from the code), as well as the direction of principal stresses in the case of concrete elements) are displayed by means of different plots where compression is generally presented in red and tension in blue. Global minimum and maximum values for the entire structure can be highlighted as well as minimum and maximum values for every user-defined part. In a separate tab of the program, advanced results such as tensor values, deformations of the structure, and reinforcement ratios (effective and geometric) used for computing the tension stiffening of reinforcing bars can be shown. Furthermore, loads and reactions for selected combinations or load cases can be presented.
Serviceability limit state analysis
SLS assessments are carried out for stress limitation, crack width, and deflection limits. Stresses are checked in concrete and reinforcement elements according to the applicable code in a similar manner to that specified for the ULS.
The serviceability analysis contains certain simplifications of the constitutive models which are used for ultimate limit state analysis. A perfect bond is assumed, i.e., the anchorage length is not verified at serviceability. Furthermore, the plastic branch of the stress-strain curve of concrete in compression is disregarded, while the elastic branch is linear and infinite. These simplifications enhance the numerical stability and calculation speed, and do not reduce the generality of the solution as long as the resultant material stress limits at serviceability are clearly below their yielding points (as required by standards). Therefore, the simplified models used for serviceability are only valid if all verification requirements are fulfilled.
Crack width calculation
There are two ways of computing crack widths - stabilized and non-stabilized cracking. According to the geometrical reinforcement ratio in each part of the structure is decided, which type of crack calculation model will be used (TCM for stabilized cracking and POM for non-stabilized cracking model).
\( \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 20 \qquad Crack width calculation: (a) considered crack kinematics; (b) projection of crack kinematics into the principal}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{directions of the reinforcing bar; (c) crack width in the direction of the reinforcing bar for stabilized cracking; (d) cases with}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{local non-stabilized cracking regardless of the reinforcement amount; (e) crack width in the direction of the reinforcing bar}}}\)\( \textsf{\textit{\footnotesize{for non-stabilized cracking.}}}\)
While the CSFM yields a direct result for most verifications (e.g., member capacity, deflections…), crack width results are calculated from the reinforcement strain results directly provided by FE analysis following the methodology described in Fig. 20. A crack kinematic without slip (pure crack opening) is considered (Fig. 20a), which is consistent with the main assumptions of the model. The principal directions of stresses and strains define the inclination of the cracks (θr = θs= θe). According to (Fig. 20b), the crack width (w) can be projected in the direction of the reinforcing bar (wb), leading to:
\[w = \frac{w_b}{\cos\left(θ_r + θ_b - \frac{π}{2}\right)}\]
where θb is the bar inclination.
The component wb is consistently calculated based on the tension stiffening models by integrating the reinforcement strains. For those regions with fully developed crack patterns, the calculated average strains (em) along the reinforcing bars are directly integrated along the crack spacing (sr), as indicated in (Fig. 20c). While this approach to calculating the crack directions does not correspond to the real position of the cracks, it still provides representative values that lead to crack width results that can be compared to code-required crack width values at the position of the reinforcing bar.
Special situations are observed at concave corners of the calculated structure. In this case, the corner predefines the position of a single crack that behaves in a non-stabilized fashion before additional adjacent cracks develop. These additional cracks generally develop after the serviceability range (Mata-Falcón 2015), which justifies calculating the crack widths in such a region as if they were non-stabilized (Fig. 21).
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 21\qquad Definition of the region at concave corners in which the crack width is computed as if it were non-stabilized.}}}\]
Tension stiffening
The implementation of tension stiffening distinguishes between cases of stabilized and non-stabilized crack patterns. In both cases, the concrete is considered fully cracked before loading by default.
\( \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 22\qquad Tension stiffening model: (a) tension chord element for stabilized cracking with distribution of bond shear,}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{steel and concrete stresses, and steel strains between cracks, considering average crack spacing); (b) pull-out assumption}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{for non-stabilized cracking with distribution of bond shear and steel stresses and strains around the crack; (c) resulting}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{tension chord behavior in terms of reinforcement stresses at the cracks and average strains for European B500B steel;}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{(d) detail of the initial branches of the tension chord response.}}}\)
Stabilized cracking
In fully developed crack patterns, tension stiffening is introduced using the Tension Chord Model (TCM) (Marti et al. 1998; Alvarez 1998) – Fig. 22a – which has been shown to yield excellent response predictions in spite of its simplicity (Burns 2012). The TCM assumes a stepped, rigid-perfectly plastic bond shear stress-slip relationship with τb = τb0 =2 fctm for σs ≤ fy and τb =τb1 = fctm for σs > fy. Treating every reinforcing bar as a tension chord – Fig. 22b and Fig. 22a – the distribution of bond shear, steel, and concrete stresses and hence the strain distribution between two cracks can be determined for any given value of the maximum steel stresses (or strains) at the cracks.
For sr = sr0, a new crack may or may not form because at the center between two cracks σc1 = fct. Consequently, the crack spacing may vary by a factor of two, i.e., sr = λsr0, with l = 0.5…1.0. Assuming a certain value for λ, the average strain of the chord (εm) can be expressed as a function of the maximum reinforcement stresses (i.e., stresses at the cracks, σsr). For the idealized bilinear stress-strain diagram for the reinforcing bare bars considered by default in the CSFM, the following closed-form analytical expressions are obtained (Marti et al. 1998):
\[\varepsilon_m = \frac{\sigma_{sr}}{E_s} - \frac{\tau_{b0}s_r}{E_s Ø}\]
\[\textrm{for}\qquad\qquad\sigma_{sr} \le f_y\]
\[{\varepsilon_m} = \frac{{{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}^2}Ø}}{{4{E_{sh}}{\tau _{b1}}{s_r}}}\left( {1 - \frac{{{E_{sh}}{\tau_{b0}}}}{{{E_s}{\tau_{b1}}}}} \right) + \frac{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}}{{{E_s}}}\frac{{{\tau_{b0}}}}{{{\tau_{b1}}}} + \left( {{\varepsilon_y} - \frac{{{\tau_{b0}}{s_r}}}{{{E_s}Ø}}} \right)\]
\[\textrm{for}\qquad\qquad{f_y} \le {\sigma _{sr}} \le \left( {{f_y} + \frac{{2{\tau _{b1}}{s_r}}}{Ø}} \right)\]
\[ \varepsilon_m = \frac{f_s}{E_s} + \frac{\sigma_{sr}-f_y}{E_{sh}} - \frac{\tau_{b1} s_r}{E_{sh} Ø}\]
\[\textrm{for}\qquad\qquad\left(f_y + \frac{2\tau_{b1}s_r}{Ø}\right) \le \sigma_{sr} \le f_t\]
where:
Esh the steel hardening modulus Esh = (ft – fy)/(εu – fy /Es) ,
Es modulus of elasticity of reinforcement,
Ø reinforcing bar diameter,
sr crack spacing,
σsr reinforcement stresses at the cracks,
σs actual reinforcement stresses,
fy yield strength of reinforcement.
The Idea StatiCa Detail implementation of the CSFM considers average crack spacing by default when performing computer-aided stress field analysis. The average crack spacing is considered to be 2/3 of the maximum crack spacing (λ = 0.67), which follows recommendations made on the basis of bending and tension tests (Broms 1965; Beeby 1979; Meier 1983). It should be noted that calculations of crack widths consider a maximum crack spacing (λ = 1.0) in order to obtain conservative values.
The application of the TCM depends on the reinforcement ratio, and hence the assignment of an appropriate concrete area acting in tension between the cracks to each reinforcing bar is crucial. An automatic numerical procedure has been developed to define the corresponding effective reinforcement ratio (ρeff = As/Ac,eff) for any configuration, including skewed reinforcement (Fig. 23).
\( \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 23\qquad Effective area of concrete in tension for stabilized cracking: (a) maximum concrete area that can be activated;}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{(b) cover and global symmetry condition; (c) resultant effective area.}}}\)
Non-stabilized cracking
Cracks existing in regions with geometric reinforcement ratios lower than ρcr, i.e., the minimum reinforcement amount for which the reinforcement is able to carry the cracking load without yielding, are generated by either non-mechanical actions (e.g. shrinkage) or the progression of cracks controlled by other reinforcement. The value of this minimum reinforcement is obtained as follows:
\[{\rho _{cr}} = \frac{{{f_{ct}}}}{{{f_y} - \left( {n - 1} \right){f_{ct}}}}\]
where:
fy reinforcement yield strength,
fct concrete tensile strength,
n modular ratio, n = Es / Ec .
For conventional concrete and reinforcing steel, ρcr amounts to approximately 0.6%.
For stirrups with reinforcement ratios below ρcr, cracking is considered to be non-stabilized and tension stiffening is implemented by means of the Pull-Out Model (POM) described in Fig. 22b. This model analyzes the behavior of a single crack considering no mechanical interaction between separate cracks, neglecting the deformability of concrete in tension and assuming the same stepped, rigid-perfectly plastic bond shear stress-slip relationship used by the TCM. This allows the reinforcement strain distribution (εs) in the vicinity of the crack to be obtained for any maximum steel stress at the crack (σsr) directly from equilibrium. Given the fact that the crack spacing is unknown for a non-fully developed crack pattern, the average strain (εm) is computed for any load level over the distance between points with zero slip when the reinforcing bar reaches its tensile strength (ft) at the crack (lε,avg in Fig. 22b), leading to the following relationships:
The proposed models allow the computation of the behavior of bonded reinforcement, which is finally considered in the analysis. This behavior (including tension stiffening) for the most common European reinforcing steel (B500B, with ft / fy = 1.08 and εu = 5%) is illustrated in Fig. 22c-d.
Die Bewertung der Struktur mit Hilfe des CSFM erfolgt durch zwei verschiedene Analysen: eine für die Gebrauchstauglichkeit und eine für die Grenzlastkombinationen im Grenzzustand der Tragfähigkeit. Bei der Gebrauchstauglichkeitsanalyse wird davon ausgegangen, dass das Tragverhalten des Elements zufriedenstellend ist und die Fließbedingungen des Materials bei den Gebrauchstauglichkeitslaststufen nicht erreicht werden. Dieser Ansatz ermöglicht die Verwendung vereinfachter konstitutiver Modelle (mit einem linearen Zweig des Betonspannungs-Dehnungs-Diagramms) für die Gebrauchstauglichkeitsanalyse, um die numerische Stabilität und die Berechnungsgeschwindigkeit zu erhöhen. Es wird daher empfohlen, den unten dargestellten Arbeitsablauf zu verwenden, bei dem die Analyse des Grenzzustands der Tragfähigkeit als erster Schritt durchgeführt wird.
Analyse des Grenzzustands der Tragfähigkeit
Die verschiedenen Nachweise, die von bestimmten Bemessungsnormen gefordert werden, werden auf der Grundlage der vom Modell gelieferten direkten Ergebnisse bewertet. ULS-Nachweise werden für die Betonfestigkeit, die Bewehrungsfestigkeit und die Verankerung (Verbundschubspannungen) geführt.
Um eine effiziente Bemessung eines Bauteils zu gewährleisten, wird dringend empfohlen, eine Voranalyse durchzuführen, die die folgenden Schritte berücksichtigt:
- Wählen Sie eine Auswahl der kritischsten Lastkombinationen.
- Berechnen Sie nur Lastkombinationen im Grenzzustand der Tragfähigkeit (ULS).
- Verwenden Sie ein grobes Netz (indem Sie den Multiplikator der Standardnetzgröße in Setup (Abb. 19) erhöhen).
\Abb. 19: Netzmultiplikator erhöhen]]
Ein solches Modell lässt sich sehr schnell berechnen, so dass die Konstrukteure die Detaillierung des Strukturelements effizient überprüfen und die Analyse erneut durchführen können, bis alle Nachweisanforderungen für die kritischsten Lastkombinationen erfüllt sind. Sobald alle Nachweisanforderungen dieser vorläufigen Analyse erfüllt sind, wird vorgeschlagen, die vollständigen Traglastkombinationen einzubeziehen und eine feine Maschenweite zu verwenden (die vom Programm empfohlene Maschenweite). Der Benutzer kann die Maschenweite mit Hilfe des Multiplikators ändern, der Werte von 0,5 bis 5 erreichen kann (Abb. 19).
Die grundlegenden Ergebnisse und Nachweise (Spannung, Dehnung und Ausnutzung (d.h. der berechnete Wert/Grenzwert aus dem Code) sowie die Richtung der Hauptspannungen im Falle von Betonelementen) werden mit Hilfe verschiedener Diagramme dargestellt, wobei Druck im Allgemeinen in rot und Zug in blau dargestellt wird. Globale Minimal- und Maximalwerte für die gesamte Struktur können ebenso hervorgehoben werden wie Minimal- und Maximalwerte für jedes benutzerdefinierte Teil. In einer separaten Registerkarte des Programms können erweiterte Ergebnisse wie Tensorwerte, Verformungen der Struktur und Bewehrungsgrade (effektiv und geometrisch), die zur Berechnung der Zugaussteifung von Bewehrungsstäben verwendet werden, angezeigt werden. Außerdem können Lasten und Reaktionen für ausgewählte Kombinationen oder Lastfälle dargestellt werden.
Analyse des Grenzzustands der Gebrauchstauglichkeit
SLS-Bewertungen werden für Spannungsbegrenzung, Rissbreite und Durchbiegungsgrenzen durchgeführt. Die Spannungen in Beton und Bewehrungselementen werden gemäß den geltenden Vorschriften in ähnlicher Weise wie bei der ULS nachgewiesen.
Die Gebrauchstauglichkeitsanalyse enthält bestimmte Vereinfachungen der konstitutiven Modelle, die für die Analyse des Grenzzustands der Tragfähigkeit verwendet werden. Es wird ein perfekter Verbund angenommen, d. h. die Verankerungslänge wird bei der Gebrauchstauglichkeit nicht nachgewiesen. Außerdem wird der plastische Zweig der Spannungs-Dehnungs-Kurve des Betons unter Druck vernachlässigt, während der elastische Zweig linear und unendlich ist. Diese Vereinfachungen erhöhen die numerische Stabilität und die Berechnungsgeschwindigkeit und verringern nicht die Allgemeinheit der Lösung, solange die resultierenden Materialspannungen bei der Gebrauchstauglichkeit deutlich unter ihren Fließgrenzen liegen (wie in den Normen gefordert). Daher sind die für die Gebrauchstauglichkeit verwendeten vereinfachten Modelle nur dann gültig, wenn alle Nachweisanforderungen erfüllt sind.
Rissbreitenberechnung
Es gibt zwei Arten der Rissbreitenberechnung - stabilisierte und nicht-stabilisierte Risse. Je nach dem geometrischen Bewehrungsverhältnis in jedem Teil der Struktur wird entschieden, welche Art von Rissberechnungsmodell verwendet wird (TCM für stabilisierte Risse und POM für nicht stabilisierte Risse).
\( \textsf{\textit{\footnotesize{Abb. 20 \qquad Rissbreitenberechnung: (a) betrachtete Risskinematik; (b) Projektion der Risskinematik in die Hauptrichtung}}) \( \textsf{\textit{\footnotesize{Richtungen des Bewehrungsstabs; (c) Rissbreite in Richtung des Bewehrungsstabs bei stabilisierter Rissbildung; (d) Fälle mit}}}) \(e) Rissbreite in Richtung des Bewehrungsstabs für nicht stabilisierte Rissbildung; (f) Rissbreite in Richtung des Bewehrungsstabs für nicht stabilisierte Rissbildung; (g) Rissbreite in Richtung des Bewehrungsstabs für nicht stabilisierte Rissbildung.
Während das CSFM für die meisten Nachweise (z. B. Tragfähigkeit, Durchbiegungen usw.) ein direktes Ergebnis liefert, werden die Rissbreitenergebnisse aus den Bewehrungsdehnungsergebnissen berechnet, die direkt von der FE-Analyse gemäß der in Abb. 20 beschriebenen Methodik geliefert werden. Es wird eine Risskinematik ohne Schlupf (reine Rissöffnung) betrachtet (Abb. 20a), die mit den Hauptannahmen des Modells übereinstimmt. Die Hauptrichtungen der Spannungen und Dehnungen definieren die Neigung der Risse (θr = θs=θe). Nach (Abb. 20b) kann die Rissbreite(w) in Richtung des Bewehrungsstabs(wb) projiziert werden, was zu folgenden Ergebnissen führt:
\[w = \frac{w_b}{\cos\left(θ_r + θ_b - \frac{π}{2}\right)}\]
wobei θb die Stabneigung ist.
Die Komponente wb wird konsequent auf der Grundlage der Zugversteifungsmodelle durch Integration der Bewehrungsdehnungen berechnet. Für die Bereiche mit voll entwickelten Rissmustern werden die berechneten mittleren Dehnungen (em) entlang der Bewehrungsstäbe direkt entlang des Rissabstands(sr) integriert, wie in Abb. 20c dargestellt. Dieser Ansatz zur Berechnung der Rissrichtungen entspricht zwar nicht der tatsächlichen Lage der Risse, liefert aber dennoch repräsentative Werte, die zu Rissbreitenergebnissen führen, die mit den in den Normen geforderten Rissbreitenwerten an der Position des Bewehrungsstabs verglichen werden können.
Besondere Situationen treten an konkaven Ecken der berechneten Struktur auf. In diesem Fall gibt die Ecke die Position eines einzelnen Risses vor, der sich nicht stabilisiert verhält, bevor sich weitere benachbarte Risse entwickeln. Diese zusätzlichen Risse entwickeln sich im Allgemeinen nach dem Gebrauchstauglichkeitsbereich (Mata-Falcón 2015), was es rechtfertigt, die Rissbreiten in einem solchen Bereich so zu berechnen, als ob sie nicht stabilisiert wären (Abb. 21).
\Definition des Bereichs an konkaven Ecken, in dem die Rissbreite so berechnet wird, als ob sie nicht stabilisiert wäre (Abb. 21)].
Zugversteifung
Bei der Anwendung der Spannungsaussteifung wird zwischen stabilisierten und nicht stabilisierten Rissmustern unterschieden. In beiden Fällen wird der Beton vor der Belastung standardmäßig als vollständig gerissen angesehen.
\( \textsf{\textit{\footnotesize{Abb. 22\qquad Spannungsaussteifungsmodell: (a) Zugsehnelement für stabilisierte Risse mit Verteilung der Verbundscherung,}}}) \( \textsf{\textit{\footnotesize{Stahl- und Betonspannungen und Stahldehnungen zwischen den Rissen, unter Berücksichtigung des mittleren Rissabstands); (b) Auszugsannahme}}}) \( \textsf{\textit{\footnotesize{für nicht stabilisierte Risse mit Verteilung der Verbundscher- und Stahlspannungen und -dehnungen um den Riss herum; (c) resultierend}}}) \{\( \textsf{\textit{\footnotesize{Zuggurtverhalten in Bezug auf die Bewehrungsspannungen an den Rissen und die durchschnittlichen Dehnungen für europäischen B500B-Stahl;}}}) \( \textsf{\textit{\footnotesize{(d) detail of the initial branches of the tension chord response.}}})
Stabilisierte Rissbildung
Bei voll entwickelten Rissmustern wird die Zugversteifung mit Hilfe des Zugsehnenmodells (TCM) (Marti et al. 1998; Alvarez 1998) eingeführt - Abb. 22a -, das trotz seiner Einfachheit nachweislich ausgezeichnete Antwortvorhersagen liefert (Burns 2012). Die TCM geht von einer gestuften, starr-vollkommen plastischen Verbund-Schubspannungs-Schlupf-Beziehung mit τb= τb0 =2 fctm für σs ≤ fy und τb =τb1 = fctm für σs> fy aus. Wenn man jeden Bewehrungsstab als Zuggurt behandelt - Abb. 22b und Abb. 22a - kann die Verteilung der Verbundschub-, Stahl- und Betonspannungen und damit die Dehnungsverteilung zwischen zwei Rissen für jeden beliebigen Wert der maximalen Stahlspannungen (oder Dehnungen) an den Rissen bestimmt werden.
Fürsr = sr0 kann sich ein neuer Riss bilden oder auch nicht, denn in der Mitte zwischen zwei Rissen ist σc1 = fct. Folglich kann der Rissabstand um den Faktor zwei variieren, d. h.sr = λsr0, mit l = 0,5...1,0. Unter der Annahme eines bestimmten Wertes für λ kann die mittlere Dehnung der Sehne (εm) als Funktion der maximalen Bewehrungsspannungen (d. h. der Spannungen an den Rissen, σsr) ausgedrückt werden. Für das idealisierte bilineare Spannungs-Dehnungs-Diagramm für die blanken Bewehrungsstäbe, die standardmäßig im CSFM berücksichtigt werden, erhält man die folgenden analytischen Ausdrücke in geschlossener Form (Marti et al. 1998):
\[\varepsilon_m = \frac{\sigma_{sr}}{E_s} - \frac{\tau_{b0}s_r}{E_s Ø}\]
\[\textrm{for}\qquad\qquad\sigma_{sr} \le f_y\]
\[{\varepsilon_m} = \frac{{{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}^2}Ø}}{{4{E_{sh}}{\tau _{b1}}{s_r}}}\left( {1 - \frac{{E_{sh}}{\tau_{b0}}}}{{E_s}{\tau_{b1}}}}} \right) + \frac{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}}{{{E_s}}}\frac{{{\tau_{b0}}}}{{\tau_{b1}}}} + \left( {{\varepsilon_y} - \frac{{{\tau_{b0}}{s_r}}{{{E_s}Ø}}} \right)\]
\[\textrm{for}\qquad\qquad{f_y} \le {\sigma _{sr}} \le \left( {{f_y} + \frac{{2{\tau _{b1}}{s_r}}}{Ø}} \right)\]
\[ \varepsilon_m = \frac{f_s}{E_s} + \frac{\sigma_{sr}-f_y}{E_{sh}} - \frac{\tau_{b1} s_r}{E_{sh} Ø}\]
\[\textrm{for}\qquad\qquad\left(f_y + \frac{2\tau_{b1}s_r}{Ø}\right) \le \sigma_{sr} \le f_t\]
wobei:Esh der StahlverfestigungsmodulEsh =(ft - fy)/(εu - fy /Es) ,
Es Elastizitätsmodul der Bewehrung,
Ø Durchmesser des Bewehrungsstabs,
sr Rissabstand ,
σsr Bewehrungsspannungen an den Rissen,
σs tatsächliche Bewehrungsspannungen,
fyStreckgrenze der Bewehrung.
Die Idea StatiCa Detail-Implementierung des CSFM berücksichtigt bei der computergestützten Spannungsfeldanalyse standardmäßig mittlere Rissabstände. Der mittlere Rissabstand wird mit 2/3 des maximalen Rissabstands (λ = 0,67) angenommen, was den Empfehlungen auf der Grundlage von Biege- und Zugversuchen entspricht (Broms 1965; Beeby 1979; Meier 1983). Es sei darauf hingewiesen, dass bei der Berechnung der Rissbreiten ein maximaler Rissabstand (λ = 1,0) berücksichtigt wird, um konservative Werte zu erhalten.
Die Anwendung des TCM hängt vom Bewehrungsgrad ab, und daher ist die Zuordnung einer geeigneten Betonfläche, die zwischen den Rissen auf Zug wirkt, zu jedem Bewehrungsstab entscheidend. Es wurde ein automatisches numerisches Verfahren entwickelt, um das entsprechende effektive Bewehrungsverhältnis (ρeff = As/Ac,eff) für jede beliebige Konfiguration, einschließlich schräger Bewehrung, zu bestimmen (Abb. 23).
\( \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 23\qquad Effektive Fläche des Betons unter Spannung für stabilisierte Risse: (a) maximale Betonfläche, die aktiviert werden kann;}}}) \( \textsf{\textit{\footnotesize{(b) Überdeckung und globale Symmetriebedingung; (c) resultierende wirksame Fläche.}}})
Nicht-stabilisierte Rissbildung
Risse in Bereichen mit geometrischen Bewehrungsgraden kleiner als ρcr, d.h. der Mindestbewehrungsmenge, bei der die Bewehrung die Risslast tragen kann, ohne nachzugeben, entstehen entweder durch nichtmechanische Einwirkungen (z.B. Schwinden) oder durch das Fortschreiten von Rissen, die durch andere Bewehrung kontrolliert werden. Der Wert dieser Mindestbewehrung ergibt sich wie folgt:
\[{\rho _{cr}} = \frac{{f_{ct}}}}{{f_y} - \left( {n - 1} \right){f_{ct}}}}\]
wobei:
fy Streckgrenze der Bewehrung,
fct Betonzugfestigkeit,
n Modulverhältnis, n =Es /Ec.
Für konventionellen Beton und Bewehrungsstahl beträgt ρcr etwa 0,6 %.
Für Bügel mit Bewehrungsgraden unter ρcr wird die Rissbildung als nicht stabilisiert angesehen und die Zugversteifung wird mit Hilfe des in Abb. 22b beschriebenen Pull-Out-Modells (POM) implementiert. Dieses Modell analysiert das Verhalten eines einzelnen Risses, wobei keine mechanische Interaktion zwischen den einzelnen Rissen berücksichtigt wird, die Verformbarkeit des Betons auf Zug vernachlässigt wird und dieselbe stufenförmige, starr-vollkommen plastische Scherspannungs-Schlupf-Beziehung wie beim TCM angenommen wird. Dadurch kann die Verteilung der Bewehrungsdehnung (εs) in der Nähe des Risses für jede maximale Stahlspannung am Riss (σsr) direkt aus dem Gleichgewicht ermittelt werden. Da der Rissabstand für ein nicht vollständig entwickeltes Rissmuster nicht bekannt ist, wird die mittlere Dehnung (εm) für jedes Lastniveau über den Abstand zwischen Punkten mit Nullschlupf berechnet, wenn der Bewehrungsstab seine Zugfestigkeit(ft) am Riss erreicht(lε,avg in Abb. 22b), was zu den folgenden Beziehungen führt:
Die vorgeschlagenen Modelle ermöglichen die Berechnung des Verhaltens der verklebten Bewehrung, die schließlich in der Analyse berücksichtigt wird. Dieses Verhalten (einschließlich der Zugversteifung) für den gebräuchlichsten europäischen Betonstahl (B500B, mitft / fy = 1,08 und εu = 5%) ist in Abb. 22c-d dargestellt.
Die Bewertung der Struktur mit Hilfe des CSFM erfolgt durch zwei verschiedene Analysen: eine für die Gebrauchstauglichkeit und eine für die Grenzlastkombinationen im Grenzzustand der Tragfähigkeit. Bei der Gebrauchstauglichkeitsanalyse wird davon ausgegangen, dass das Tragverhalten des Elements zufriedenstellend ist und die Fließbedingungen des Materials bei den Gebrauchstauglichkeitslaststufen nicht erreicht werden. Dieser Ansatz ermöglicht die Verwendung vereinfachter konstitutiver Modelle (mit einem linearen Zweig des Betonspannungs-Dehnungs-Diagramms) für die Gebrauchstauglichkeitsanalyse, um die numerische Stabilität und die Berechnungsgeschwindigkeit zu erhöhen. Es wird daher empfohlen, den unten dargestellten Arbeitsablauf zu verwenden, bei dem die Analyse des Grenzzustands der Tragfähigkeit als erster Schritt durchgeführt wird.
Analyse des Grenzzustands der Tragfähigkeit
Die verschiedenen Nachweise, die von bestimmten Bemessungsnormen gefordert werden, werden auf der Grundlage der vom Modell gelieferten direkten Ergebnisse bewertet. ULS-Nachweise werden für die Betonfestigkeit, die Bewehrungsfestigkeit und die Verankerung (Verbundschubspannungen) geführt.
Um eine effiziente Bemessung eines Bauteils zu gewährleisten, wird dringend empfohlen, eine Voranalyse durchzuführen, die die folgenden Schritte berücksichtigt:
- Wählen Sie eine Auswahl der kritischsten Lastkombinationen.
- Berechnen Sie nur Lastkombinationen im Grenzzustand der Tragfähigkeit (ULS).
- Verwenden Sie ein grobes Netz (indem Sie den Multiplikator der Standardnetzgröße in Setup (Abb. 19) erhöhen).
\Abb. 19: Netzmultiplikator erhöhen]]
Ein solches Modell lässt sich sehr schnell berechnen, so dass die Konstrukteure die Detaillierung des Strukturelements effizient überprüfen und die Analyse erneut durchführen können, bis alle Nachweisanforderungen für die kritischsten Lastkombinationen erfüllt sind. Sobald alle Nachweisanforderungen dieser vorläufigen Analyse erfüllt sind, wird vorgeschlagen, die vollständigen Traglastkombinationen einzubeziehen und eine feine Maschenweite zu verwenden (die vom Programm empfohlene Maschenweite). Der Benutzer kann die Maschenweite mit Hilfe des Multiplikators ändern, der Werte von 0,5 bis 5 erreichen kann (Abb. 19).
Die grundlegenden Ergebnisse und Nachweise (Spannung, Dehnung und Ausnutzung (d.h. der berechnete Wert/Grenzwert aus dem Code) sowie die Richtung der Hauptspannungen im Falle von Betonelementen) werden mit Hilfe verschiedener Diagramme dargestellt, wobei Druck im Allgemeinen in rot und Zug in blau dargestellt wird. Globale Minimal- und Maximalwerte für die gesamte Struktur können ebenso hervorgehoben werden wie Minimal- und Maximalwerte für jedes benutzerdefinierte Teil. In einer separaten Registerkarte des Programms können erweiterte Ergebnisse wie Tensorwerte, Verformungen der Struktur und Bewehrungsgrade (effektiv und geometrisch), die zur Berechnung der Zugaussteifung von Bewehrungsstäben verwendet werden, angezeigt werden. Außerdem können Lasten und Reaktionen für ausgewählte Kombinationen oder Lastfälle dargestellt werden.
Analyse des Grenzzustands der Gebrauchstauglichkeit
SLS-Bewertungen werden für Spannungsbegrenzung, Rissbreite und Durchbiegungsgrenzen durchgeführt. Die Spannungen in Beton und Bewehrungselementen werden gemäß den geltenden Vorschriften in ähnlicher Weise wie bei der ULS nachgewiesen.
Die Gebrauchstauglichkeitsanalyse enthält bestimmte Vereinfachungen der konstitutiven Modelle, die für die Analyse des Grenzzustands der Tragfähigkeit verwendet werden. Es wird ein perfekter Verbund angenommen, d. h. die Verankerungslänge wird bei der Gebrauchstauglichkeit nicht nachgewiesen. Außerdem wird der plastische Zweig der Spannungs-Dehnungs-Kurve des Betons unter Druck vernachlässigt, während der elastische Zweig linear und unendlich ist. Diese Vereinfachungen erhöhen die numerische Stabilität und die Berechnungsgeschwindigkeit und verringern nicht die Allgemeinheit der Lösung, solange die resultierenden Materialspannungen bei der Gebrauchstauglichkeit deutlich unter ihren Fließgrenzen liegen (wie in den Normen gefordert). Daher sind die für die Gebrauchstauglichkeit verwendeten vereinfachten Modelle nur dann gültig, wenn alle Nachweisanforderungen erfüllt sind.
Rissbreitenberechnung
Es gibt zwei Arten der Rissbreitenberechnung - stabilisierte und nicht-stabilisierte Risse. Je nach dem geometrischen Bewehrungsverhältnis in jedem Teil der Struktur wird entschieden, welche Art von Rissberechnungsmodell verwendet wird (TCM für stabilisierte Risse und POM für nicht stabilisierte Risse).
\( \textsf{\textit{\footnotesize{Abb. 20 \qquad Rissbreitenberechnung: (a) betrachtete Risskinematik; (b) Projektion der Risskinematik in die Hauptrichtung}}) \( \textsf{\textit{\footnotesize{Richtungen des Bewehrungsstabs; (c) Rissbreite in Richtung des Bewehrungsstabs bei stabilisierter Rissbildung; (d) Fälle mit}}}) \(e) Rissbreite in Richtung des Bewehrungsstabs für nicht stabilisierte Rissbildung; (f) Rissbreite in Richtung des Bewehrungsstabs für nicht stabilisierte Rissbildung; (g) Rissbreite in Richtung des Bewehrungsstabs für nicht stabilisierte Rissbildung.
Während das CSFM für die meisten Nachweise (z. B. Tragfähigkeit, Durchbiegungen usw.) ein direktes Ergebnis liefert, werden die Rissbreitenergebnisse aus den Bewehrungsdehnungsergebnissen berechnet, die direkt von der FE-Analyse gemäß der in Abb. 20 beschriebenen Methodik geliefert werden. Es wird eine Risskinematik ohne Schlupf (reine Rissöffnung) betrachtet (Abb. 20a), die mit den Hauptannahmen des Modells übereinstimmt. Die Hauptrichtungen der Spannungen und Dehnungen definieren die Neigung der Risse (θr = θs=θe). Nach (Abb. 20b) kann die Rissbreite(w) in Richtung des Bewehrungsstabs(wb) projiziert werden, was zu folgenden Ergebnissen führt:
\[w = \frac{w_b}{\cos\left(θ_r + θ_b - \frac{π}{2}\right)}\]
wobei θb die Stabneigung ist.
Die Komponente wb wird konsequent auf der Grundlage der Zugversteifungsmodelle durch Integration der Bewehrungsdehnungen berechnet. Für die Bereiche mit voll entwickelten Rissmustern werden die berechneten mittleren Dehnungen (em) entlang der Bewehrungsstäbe direkt entlang des Rissabstands(sr) integriert, wie in Abb. 20c dargestellt. Dieser Ansatz zur Berechnung der Rissrichtungen entspricht zwar nicht der tatsächlichen Lage der Risse, liefert aber dennoch repräsentative Werte, die zu Rissbreitenergebnissen führen, die mit den in den Normen geforderten Rissbreitenwerten an der Position des Bewehrungsstabs verglichen werden können.
Besondere Situationen treten an konkaven Ecken der berechneten Struktur auf. In diesem Fall gibt die Ecke die Position eines einzelnen Risses vor, der sich nicht stabilisiert verhält, bevor sich weitere benachbarte Risse entwickeln. Diese zusätzlichen Risse entwickeln sich im Allgemeinen nach dem Gebrauchstauglichkeitsbereich (Mata-Falcón 2015), was es rechtfertigt, die Rissbreiten in einem solchen Bereich so zu berechnen, als ob sie nicht stabilisiert wären (Abb. 21).
\Definition des Bereichs an konkaven Ecken, in dem die Rissbreite so berechnet wird, als ob sie nicht stabilisiert wäre (Abb. 21)].
Zugversteifung
Bei der Anwendung der Spannungsaussteifung wird zwischen stabilisierten und nicht stabilisierten Rissmustern unterschieden. In beiden Fällen wird der Beton vor der Belastung standardmäßig als vollständig gerissen angesehen.
\( \textsf{\textit{\footnotesize{Abb. 22\qquad Spannungsaussteifungsmodell: (a) Zugsehnelement für stabilisierte Risse mit Verteilung der Verbundscherung,}}}) \( \textsf{\textit{\footnotesize{Stahl- und Betonspannungen und Stahldehnungen zwischen den Rissen, unter Berücksichtigung des mittleren Rissabstands); (b) Auszugsannahme}}}) \( \textsf{\textit{\footnotesize{für nicht stabilisierte Risse mit Verteilung der Verbundscher- und Stahlspannungen und -dehnungen um den Riss herum; (c) resultierend}}}) \{\( \textsf{\textit{\footnotesize{Zuggurtverhalten in Bezug auf die Bewehrungsspannungen an den Rissen und die durchschnittlichen Dehnungen für europäischen B500B-Stahl;}}}) \( \textsf{\textit{\footnotesize{(d) detail of the initial branches of the tension chord response.}}})
Stabilisierte Rissbildung
Bei voll entwickelten Rissmustern wird die Zugversteifung mit Hilfe des Zugsehnenmodells (TCM) (Marti et al. 1998; Alvarez 1998) eingeführt - Abb. 22a -, das trotz seiner Einfachheit nachweislich ausgezeichnete Antwortvorhersagen liefert (Burns 2012). Die TCM geht von einer gestuften, starr-vollkommen plastischen Verbund-Schubspannungs-Schlupf-Beziehung mit τb= τb0 =2 fctm für σs ≤ fy und τb =τb1 = fctm für σs> fy aus. Wenn man jeden Bewehrungsstab als Zuggurt behandelt - Abb. 22b und Abb. 22a - kann die Verteilung der Verbundschub-, Stahl- und Betonspannungen und damit die Dehnungsverteilung zwischen zwei Rissen für jeden beliebigen Wert der maximalen Stahlspannungen (oder Dehnungen) an den Rissen bestimmt werden.
Fürsr = sr0 kann sich ein neuer Riss bilden oder auch nicht, denn in der Mitte zwischen zwei Rissen ist σc1 = fct. Folglich kann der Rissabstand um den Faktor zwei variieren, d. h.sr = λsr0, mit l = 0,5...1,0. Unter der Annahme eines bestimmten Wertes für λ kann die mittlere Dehnung der Sehne (εm) als Funktion der maximalen Bewehrungsspannungen (d. h. der Spannungen an den Rissen, σsr) ausgedrückt werden. Für das idealisierte bilineare Spannungs-Dehnungs-Diagramm für die blanken Bewehrungsstäbe, die standardmäßig im CSFM berücksichtigt werden, erhält man die folgenden analytischen Ausdrücke in geschlossener Form (Marti et al. 1998):
\[\varepsilon_m = \frac{\sigma_{sr}}{E_s} - \frac{\tau_{b0}s_r}{E_s Ø}\]
\[\textrm{for}\qquad\qquad\sigma_{sr} \le f_y\]
\[{\varepsilon_m} = \frac{{{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}^2}Ø}}{{4{E_{sh}}{\tau _{b1}}{s_r}}}\left( {1 - \frac{{E_{sh}}{\tau_{b0}}}}{{E_s}{\tau_{b1}}}}} \right) + \frac{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}}{{{E_s}}}\frac{{{\tau_{b0}}}}{{\tau_{b1}}}} + \left( {{\varepsilon_y} - \frac{{{\tau_{b0}}{s_r}}{{{E_s}Ø}}} \right)\]
\[\textrm{for}\qquad\qquad{f_y} \le {\sigma _{sr}} \le \left( {{f_y} + \frac{{2{\tau _{b1}}{s_r}}}{Ø}} \right)\]
\[ \varepsilon_m = \frac{f_s}{E_s} + \frac{\sigma_{sr}-f_y}{E_{sh}} - \frac{\tau_{b1} s_r}{E_{sh} Ø}\]
\[\textrm{for}\qquad\qquad\left(f_y + \frac{2\tau_{b1}s_r}{Ø}\right) \le \sigma_{sr} \le f_t\]
wobei:Esh der StahlverfestigungsmodulEsh =(ft - fy)/(εu - fy /Es) ,
Es Elastizitätsmodul der Bewehrung,
Ø Durchmesser des Bewehrungsstabs,
sr Rissabstand ,
σsr Bewehrungsspannungen an den Rissen,
σs tatsächliche Bewehrungsspannungen,
fyStreckgrenze der Bewehrung.
Die Idea StatiCa Detail-Implementierung des CSFM berücksichtigt bei der computergestützten Spannungsfeldanalyse standardmäßig mittlere Rissabstände. Der mittlere Rissabstand wird mit 2/3 des maximalen Rissabstands (λ = 0,67) angenommen, was den Empfehlungen auf der Grundlage von Biege- und Zugversuchen entspricht (Broms 1965; Beeby 1979; Meier 1983). Es sei darauf hingewiesen, dass bei der Berechnung der Rissbreiten ein maximaler Rissabstand (λ = 1,0) berücksichtigt wird, um konservative Werte zu erhalten.
Die Anwendung des TCM hängt vom Bewehrungsgrad ab, und daher ist die Zuordnung einer geeigneten Betonfläche, die zwischen den Rissen auf Zug wirkt, zu jedem Bewehrungsstab entscheidend. Es wurde ein automatisches numerisches Verfahren entwickelt, um das entsprechende effektive Bewehrungsverhältnis (ρeff = As/Ac,eff) für jede beliebige Konfiguration, einschließlich schräger Bewehrung, zu bestimmen (Abb. 23).
\( \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 23\qquad Effektive Fläche des Betons unter Spannung für stabilisierte Risse: (a) maximale Betonfläche, die aktiviert werden kann;}}}) \( \textsf{\textit{\footnotesize{(b) Überdeckung und globale Symmetriebedingung; (c) resultierende wirksame Fläche.}}})
Nicht-stabilisierte Rissbildung
Risse in Bereichen mit geometrischen Bewehrungsgraden kleiner als ρcr, d.h. der Mindestbewehrungsmenge, bei der die Bewehrung die Risslast tragen kann, ohne nachzugeben, entstehen entweder durch nichtmechanische Einwirkungen (z.B. Schwinden) oder durch das Fortschreiten von Rissen, die durch andere Bewehrung kontrolliert werden. Der Wert dieser Mindestbewehrung ergibt sich wie folgt:
\[{\rho _{cr}} = \frac{{f_{ct}}}}{{f_y} - \left( {n - 1} \right){f_{ct}}}}\]
wobei:
fy Streckgrenze der Bewehrung,
fct Betonzugfestigkeit,
n Modulverhältnis, n =Es /Ec.
Für konventionellen Beton und Bewehrungsstahl beträgt ρcr etwa 0,6 %.
Für Bügel mit Bewehrungsgraden unter ρcr wird die Rissbildung als nicht stabilisiert angesehen und die Zugversteifung wird mit Hilfe des in Abb. 22b beschriebenen Pull-Out-Modells (POM) implementiert. Dieses Modell analysiert das Verhalten eines einzelnen Risses, wobei keine mechanische Interaktion zwischen den einzelnen Rissen berücksichtigt wird, die Verformbarkeit des Betons auf Zug vernachlässigt wird und dieselbe stufenförmige, starr-vollkommen plastische Scherspannungs-Schlupf-Beziehung wie beim TCM angenommen wird. Dadurch kann die Verteilung der Bewehrungsdehnung (εs) in der Nähe des Risses für jede maximale Stahlspannung am Riss (σsr) direkt aus dem Gleichgewicht ermittelt werden. Da der Rissabstand für ein nicht vollständig entwickeltes Rissmuster nicht bekannt ist, wird die mittlere Dehnung (εm) für jedes Lastniveau über den Abstand zwischen Punkten mit Nullschlupf berechnet, wenn der Bewehrungsstab seine Zugfestigkeit(ft) am Riss erreicht(lε,avg in Abb. 22b), was zu den folgenden Beziehungen führt:
Die vorgeschlagenen Modelle ermöglichen die Berechnung des Verhaltens der verklebten Bewehrung, die schließlich in der Analyse berücksichtigt wird. Dieses Verhalten (einschließlich der Zugversteifung) für den gebräuchlichsten europäischen Betonstahl (B500B, mitft / fy = 1,08 und εu = 5%) ist in Abb. 22c-d dargestellt.