Fissuras

A formação de fissuras

Uma característica das estruturas de betão armado sujeitas a flexão ou tração é a ocorrência de rotura por fissuração nos pontos em que a tensão de tração no betão excede a resistência à tração do betão. Para a durabilidade da estrutura e também para a sua estética, é importante garantir que as fissuras resultantes sejam tão pequenas quanto possível. O cálculo das larguras de fissura, bem como as larguras máximas admissíveis para as diferentes classes de exposição, são fornecidos na EN 1992-1-1, Capítulo 7.3.

Na primeira etapa do cálculo, determina-se se a secção transversal está fissurada ou não. A largura de fissura em si é sempre calculada a partir da combinação de ações quase-permanente ou frequente (dependendo do anexo nacional), mas a formação de fissuras deve ser verificada a partir de todas as combinações SLS especificadas. Assim, podem ocorrer dois casos:

• A tensão de tração máxima nas fibras de betão não excede a resistência à tração do betão para nenhuma combinação de ações (quase-permanente M_E,qp, frequente M_E,fr, ou característica M_E,k), pelo que se considera a secção transversal sem fissuras.

$${{M}_{E,i}}\le {{M}_{cr}}={{f}_{ct,ef}}\frac{{I}_{I}}{h-{{a}_{I}}}$$

• Se se desenvolverem fissuras para qualquer das combinações (quase-permanente, frequente ou característica), ou seja, se o momento fletor desenvolvido pela combinação de ações considerada for superior ao momento crítico M_cr, a secção transversal está fissurada para essa combinação de ações, e as características da secção transversal fissurada e a largura de fissura têm de ser calculadas.

$${{M}_{E,i}}>{{M}_{cr}}={{f}_{ct,ef}}\frac{{I}_{I}}{h-{{a}_{I}}}$$

M_E,i   .   .   o momento fletor obtido de alguma combinação de ações SLS. Assim, pode ser M_E,qp, M_E,fr, ou M_E,k. 

f_ct,ef   .   .  a resistência à tração do betão no instante considerado. Se o betão tiver mais de 28 dias, considera-se uma resistência igual a f_ctm.

Cálculo da largura de fissura

Num elemento sujeito a flexão, a formação de fissuras divide-se em 2 fenómenos:

• Fase de formação de fissuras (fase número 2 na Fig. 1)
• Desenvolvimento estabilizado de fissuras (fase número 3 na Fig. 1)

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1  Stages of the behavior of the reinforced concrete cross-section during loading}}}$$

Fase de desenvolvimento de fissuras

Esta é a parte inicial do processo em que fissuras individuais ainda vão surgindo gradualmente até que toda a zona tracionada do elemento seja afetada por fissuras aproximadamente distribuídas de forma uniforme ao longo do comprimento do elemento. A primeira fissura forma-se quando a força na faixa tracionada excede o valor da força crítica N_r (força de tração crítica, ver abaixo), e novas fissuras desenvolvem-se até um nível de carga que exerce uma força na faixa tracionada igual a aproximadamente 1,3N_cr (fase número 2 na Fig. 1).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2  Strains of concrete and reinforcement at the moment of the first crack}}}$$

As fissuras em desenvolvimento dividem-se em 2 tipos — fissuras primárias e secundárias. As fissuras primárias ocorrem nas fibras tracionadas quando é atingida a resistência à tração efetiva do betão (f_ct,eff). As fissuras primárias representam o primeiro padrão de fissuração (Fig. 2). Fissuras secundárias mais curtas formam-se então entre as fissuras primárias (Fig. 3). Para tensões correspondentes a cerca de 1,2 a 1,5 σ_sr (normalmente considera-se um valor médio de 1,3 σ_sr, onde σ_sr é a tensão na armadura no momento da formação das fissuras primárias na zona tracionada do betão), o desenvolvimento das fissuras secundárias também fica concluído.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 3  Primary and secondary cracks}}}$$

A largura de fissura na fase de formação de fissuras pode ser calculada da seguinte forma:

$${{w}_{k}}=2{{l}_{s,\max }}\left( {{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}} \right)$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4  Characteristics of the transmission length for the first crack}}}$$

Fase de fissuração estabilizada

Após exceder aproximadamente 1,3 vezes a força crítica na zona tracionada, não se formam novas fissuras, o número de fissuras no elemento estabiliza-se, e apenas a largura das fissuras existentes aumenta com o carregamento adicional (fase número 3 na Fig. 1).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5  Strains of concrete and reinforcement at the stabilized cracking stage}}}$$

A largura de fissura durante o desenvolvimento estável pode ser calculada como:

$${{w}_{k}}={{s}_{r,\max }}\left( {{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}} \right)$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6  Stabilized cracking}}}$$

Força de tração crítica

O cálculo baseia-se no Modelo de Corda em Tração (TCM). A consideração fundamental consiste em calcular a capacidade última de uma faixa de betão armado formada por uma barra de armadura de área A_s,eff envolvida por uma área efetiva de betão tracionado A_c,eff, capaz de resistir à tensão de tração até que a resistência à tração f_ct,eff seja excedida (normalmente considera-se f_ctm). Assumindo uma aderência perfeita entre a armadura e o betão, pode considerar-se que, até à formação da primeira fissura, a deformação da armadura e do betão envolvente é idêntica. A força máxima na faixa tracionada imediatamente antes da primeira fissura N_r pode então ser determinada:

$${{N}_{r}}={{A}_{c,eff}}\cdot {{f}_{ctm}}+{{A}_{s,eff}}\cdot {{\sigma }_{s}}$$

Introduzindo a substituição

$${{\alpha }_{e}}={}^{{{E}_{s}}}/{}_{{{E}_{cm}}};{{\rho }_{p,eff}}={}^{{{A}_{s,eff}}}/{}_{{{A}_{c,eff}}}$$

obtém-se:

$${{N}_{r}}={{A}_{c,eff}}\cdot {{f}_{ctm}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)$$

Imediatamente após a formação da primeira fissura, toda a força N_r é transferida pela armadura, pelo que a tensão na armadura que atravessa a fissura recém-formada pode ser calculada como:

$${{\sigma }_{sr}}=\frac{{{f}_{ctm}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)\Rightarrow {{\varepsilon }_{sr}}=\frac{{{f}_{ctm}}}{{{E}_{s}}\cdot {{\rho }_{p,eff}}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)$$

Cálculo da largura de fissura segundo a EC 1992-1-1

A seguinte equação é utilizada para calcular a largura das fissuras em elementos de betão armado:

$${{w}_{k}}={{s}_{r,\max }}\left( {{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}} \right)$$

s_r,max   .   .   .   espaçamento máximo de fissuras

ε_sm  .   .   .   .   a deformação média da armadura para a combinação de ações, incluindo os efeitos do enrijecimento à tração.

ε_cm  .   .   .   .   deformação média do betão entre fissuras

Cálculo da diferença de deformações

A diferença na deformação da armadura e do betão entre fissuras pode ser obtida pela equação:

$${{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}}=\frac{{{\sigma }_{s}}-{{k}_{t}}\cdot \frac{{{f}_{ct,eff}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)\,}{{{E}_{s}}}\ge 0,6\frac{{{\sigma }_{s}}}{{{E}_{s}}}$$

σ_s      .   .   .   .   a tensão na armadura na fissura para a combinação de ações em consideração

k_t      .   .   .   .   um coeficiente empírico que tem em conta a deformação média, dependente da duração da carga. Pode tomar o valor de 0,6 para análise de curta duração. Para a análise de longa duração, é tida em conta a redução da rigidez do composto para cerca de 70%, pelo que o seu valor é 0,4, o que inclui a taxa de degradação da coesão entre a armadura e o betão ao longo do tempo.

α_e     .   .   .   . a razão efetiva dos módulos de elasticidade

$${{\alpha }_{e}}={}^{{{E}_{s}}}/{}_{{{E}_{cm}}}$$

ς_p,_eff  .   .   .   .   taxa de armadura efetiva

$${{\rho }_{p,eff}}={}^{\left( {{A}_{s,eff}}+{{\xi }^{2}_{1}}A_{p}^{\acute{\ }} \right)}/{}_{{{A}_{c,eff}}}$$

A_c,_eff .   .   .   .   a área efetiva do betão tracionado que envolve a armadura (determinação de A_c,eff abaixo)

A_s,_eff .   .   .   .   a área da armadura aderente localizada na área de A_c,_eff

A_p´    .   .   .   .   é a área dos tendões de pré ou pós-tensão dentro de A_c,_eff

ξ₁  .   .   .   .   .   é a razão ajustada da resistência de aderência, tendo em conta os diferentes diâmetros do aço de pré-esforço e da armadura:

$${{\xi }_{1}}=\sqrt{\xi \,\cdot \,\frac{{{\phi }_{s}}}{{{\phi }_{p}}}}$$

ξ  .   .   . a razão da resistência de aderência do aço de pré-esforço e da armadura (Tabela 6.2)

ϕ_s   .   .  maior diâmetro de barra da armadura

ϕ_p   .   .  o diâmetro ou diâmetro equivalente do aço de pré-esforço

Para feixes, A_p é a área da armadura no tendão

$${{\phi }_{p}}=1,6\sqrt{{{A}_{p}}}$$

Para cordoalhas individuais de sete fios onde φ_wire é o diâmetro do fio

$${{\phi }_{p}}=1,75\,\,{{\phi }_{wire}}$$

Para cordoalhas individuais de três fios onde φ_wire é o diâmetro do fio

$${{\phi }_{p}}=1,20\,\,{{\phi }_{wire}}$$

Se apenas armadura de pré-esforço for utilizada para prevenir a fissuração, deve então ser considerado o seguinte.

$${{\xi }_{1}}=\sqrt{\xi \,}$$

Em elementos pré-esforçados, não é necessária uma área mínima de armadura aderente desde que, sob a combinação característica de ações e o valor característico da força de pré-esforço, a tensão de tração em qualquer fibra não seja superior à resistência à tração do betão, f_ct,eff. (ver EN 1992-1-1 cap. 7.3.2 para mais detalhes)

A área efetiva do betão tracionado

Uma etapa importante, mas simultaneamente a mais complexa do cálculo, é a determinação da área efetiva do betão tracionado que envolve a armadura. Tanto o Eurocódigo como o Model Code consideram modos simples de carregamento, em que o elemento de betão armado é carregado por flexão uniaxial ou tração. O valor da altura efetiva é determinado como:

$${{h}_{c,eff}}=\min \left\{ 2,5\left( h-d \right);\frac{\left( h-x \right)}{3};{}^{h}/{}_{2} \right\}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6  Determination of Ac,eff for bent members (left) and members in tension (right)}}}$$

Normalmente, o valor h_c,eff = 2,5(h-d) é o condicionante. Para elementos tracionados, o limite superior é h/2, enquanto para elementos fletidos é (h-x)/3. No entanto, a área A_c,eff é também limitada pela largura determinada pela equação 5(c+ϕ/2). Se o espaçamento das armaduras for superior a 5(c+ϕ/2), considera-se para as barras individuais a área efetiva do betão tracionado de largura 5(c+ϕ/2).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 9  Determination of Ac,eff based on reinforcement spacing}}}$$

Distância máxima entre fissuras

No cálculo da distância máxima entre fissuras s_r,max, podem ocorrer dois casos:

• A distância axial da armadura aderente não excede uma distância de 5(c+ϕ/2) - Fig. 9a
• A distância axial das armaduras aderentes é superior a 5(c+ϕ/2) - Fig. 9b

O cálculo da distância máxima entre fissuras s_r,max para o caso em que as distâncias axiais das armaduras não excedem o valor 5(c+ϕ/2) é definido da seguinte forma:

$${{s}_{r,\max }}={{k}_{3}}c+{{k}_{1}}{{k}_{2}}{{k}_{4}}\frac{\phi }{{{\rho }_{p,eff}}}$$

c  .    .   .   .   .   valor do cobrimento do betão em mm. Uma vez que o valor do cobrimento pode ser diferente para a armadura de bordo relativamente às faces horizontal e vertical, recomenda-se considerar o valor máximo de cobrimento encontrado para a armadura em consideração.

ϕ     .   .   .   .   diâmetro da armadura aderente. No caso de diferentes diâmetros de armadura, o diâmetro equivalente deve ser calculado de acordo com a Equação 7.12 da EN 1992-1-1.

$${{\phi }_{eq}}=\frac{{{n}_{1}}\phi _{1}^{2}+{{n}_{2}}\phi _{2}^{2}}{{{n}_{1}}{{\phi }_{1}}+{{n}_{2}}{{\phi }_{2}}}$$

k₁ .   .   .   . é um coeficiente que tem em conta as propriedades de aderência da armadura aderente

• k₁ = 0,8 para barras de alta aderência
• k₁ = 1,6 para barras com superfície efetivamente lisa (por exemplo, tendões de pré-esforço)

k₂ .   .   .   . é um coeficiente que tem em conta a distribuição das deformações

• k₂ = 1,0 para flexão
• k₂ = 0,5 para tração pura

Para casos de tração excêntrica ou para zonas locais, devem ser utilizados valores intermédios de k₂, que podem ser calculados pela relação:

$${{k}_{2}}=\frac{{{\varepsilon }_{1}}+{{\varepsilon }_{2}}}{2{{\varepsilon }_{1}}}$$

k₃      .   .   .   .  coeficiente que exprime o comprimento da zona próxima de uma fissura onde a aderência entre o betão e a armadura está interrompida. O valor recomendado do EC base k₃ = 3,4 pode ser modificado pelo Anexo Nacional. 

k₄      .   .   .   .   coeficiente que exprime a relação entre a aderência e a resistência à tração do betão. O valor recomendado do EC base k4 = 0,425 pode ser ajustado pelo Anexo Nacional.

O cálculo da distância máxima entre fissuras s_r,max para o caso em que as distâncias axiais das armaduras excedem o valor 5(c+ϕ/2) é definido da seguinte forma:

$${{s}_{r,\max }}=1,3\left( h-x \right)$$

Os valores da distância máxima entre fissuras segundo a equação

$${{s}_{r,\max }}=1,3\left( h-x \right)$$

devem ser sempre superiores aos valores determinados pela equação

$${{s}_{r,\max }}={{k}_{3}}c+{{k}_{1}}{{k}_{2}}{{k}_{4}}{\phi }/{{{\rho }_{p,eff}}}\;$$

caso contrário, recomenda-se considerar a maior distância obtida pelas equações acima. A equação para a deformação no betão/armadura não é modificada para o caso de grande distância axial entre armaduras. Em zonas com larguras de fissura controladas, a distância axial entre armaduras individuais não deve ser superior a 5(c+ϕ/2).

Cálculo da largura de fissura implementado no RCS

Determinação da área efetiva A_c,eff

Uma vez que não é tão simples determinar qual a armadura que pode ser considerada como armadura longitudinal de resistência à fissuração, A_c,eff é determinada através do seguinte processo iterativo.

• De toda a armadura que atua em tração, determina-se o centro da força de tração C_g,s,1. A altura útil da armadura d é a distância entre C_g,s e a fibra de betão mais comprimida, calculada na direção do momento fletor resultante. Simultaneamente, determinam-se a posição do eixo neutro e a altura da zona comprimida x para a secção transversal fissurada. Isto permite determinar a altura efetiva h_c,eff:

$${{h}_{c,eff}}=\min \left\{ 2,5\left( h-d \right);\frac{\left( h-x \right)}{3};{}^{h}/{}_{2} \right\}$$

• Excluindo toda a armadura que se encontra fora de A_c,eff,1, determina-se o novo centro da armadura C_g,s,2, juntamente com a nova altura útil da armadura d; a altura efetiva h_c,eff é determinada da mesma forma que na etapa anterior, apenas com valores de entrada alterados.

Verifica-se novamente que toda a armadura tracionada em consideração se encontra em A_c,eff,2. Se esta condição for satisfeita, a iteração pode ser terminada e os valores de h_c,eff,2, A_c,eff,2 e A_s,eff,2 são apresentados como valores resultantes no IDEA StatiCa RCS.

Casos possíveis de cálculo da largura de fissura

Em geral, podem ocorrer três casos no cálculo das larguras de fissura:

• A armadura tracionada encontra-se na região A_c,eff, com a distância axial entre as armaduras individuais inferior a 5(c+ϕ/2). Neste caso, utilizam-se as seguintes definições para o cálculo:

$${{s}_{r,\max }}={{k}_{3}}c+{{k}_{1}}{{k}_{2}}{{k}_{4}}\frac{\phi }{{{\rho }_{p,eff}}}$$

$${{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}}=\frac{{{\sigma }_{s}}-{{k}_{t}}\,\cdot \,\frac{{{f}_{ct,eff}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\,\cdot \,\left( 1+\,{{\alpha }_{e}}\cdot \,{{\rho }_{p,eff}} \right)\,\,}{{{E}_{s}}}\ge 0,6\frac{{{\sigma }_{s}}}{{{E}_{s}}}$$

• A armadura tracionada encontra-se em A_c,eff, com a distância axial entre as armaduras individuais a exceder a distância 5(c+ϕ/2). Neste caso, utilizam-se as seguintes definições para o cálculo:

$${{s}_{r,\max }}=1,3\left( h-x \right)$$

$${{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}}=\frac{{{\sigma }_{s}}-{{k}_{t}}\,\cdot \,\frac{{{f}_{ct,eff}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\,\cdot \,\left( 1+\,{{\alpha }_{e}}\cdot \,{{\rho }_{p,eff}} \right)\,\,}{{{E}_{s}}}\ge 0,6\frac{{{\sigma }_{s}}}{{{E}_{s}}}$$

• A armadura tracionada não se encontra em A_c,eff (o que pode ser causado, por exemplo, por um cobrimento espesso). 

Neste caso não seria possível calcular a largura das fissuras. Por conseguinte, o cálculo da altura efetiva h_c,eff é modificado da seguinte forma:

$${{h}_{c,eff}}=\min \left\{ 2,5\left( h-d \right);h/2 \right\}$$

Simultaneamente, é apresentada a seguinte não conformidade:

A área efetiva do betão tracionado que envolve a armadura ou os tendões de pré-esforço de altura h_c,eff, onde h_c,eff é o menor de 2,5(h – d) ou h/2. Considerando o valor como (h – x)/3, a armadura encontra-se fora da área efetiva do betão tracionado, pelo que não seria possível calcular a largura de fissura de acordo com a cláusula 7.3.4.