Beton - Festigkeit
Das für Festigkeitsberechnungen in CSFM implementierte Betonmodell basiert auf der parabolisch-plastischen Spannungs-Dehnungs-Kurve für Beton, die auf der parabolischen Spannungs-Dehnungs-Kurve der Portland Cement Association beruht, welche in PCA's Notes on ACI 318-99 Building Code Requirements for Structural Concrete, Abbildung 6-8, beschrieben ist. Die Zugfestigkeit wird vernachlässigt, wie es bei der klassischen Stahlbetonbemessung üblich ist.
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Abb. 38\qquad Das Spannungs-Dehnungs-Diagramm von Beton für die Festigkeitsanalyse}}}\]
Die Implementierung von CSFM in IDEA StatiCa Detail berücksichtigt kein explizites Versagenskriterium in Bezug auf Dehnungen für Beton unter Druckbeanspruchung (d.h., nach Erreichen der Spitzenspannung wird ein plastischer Ast mit εc0 mit einem Maximalwert von 5% betrachtet, während ACI 318-19 Cl. 22.2.2.1 eine Grenzdehnung von weniger als 0,3% annimmt). Diese Vereinfachung erlaubt es nicht, die Verformungskapazität von Strukturen zu überprüfen, die unter Druckversagen leiden. Die Festigkeit wird jedoch korrekt vorhergesagt, wenn zusätzlich zum Faktor für gerissenen Beton (kc2 definiert in (Abb. 39)) die Zunahme der Sprödigkeit von Beton mit steigender Festigkeit durch den \(\eta_{fc}\) Reduktionsfaktor berücksichtigt wird, der im fib Model Code 2010 wie folgt definiert ist:
\[f'_{c,lim}=\alpha_{1}\cdot\phi_{c}\cdot k_{c}\cdot f'_{c}\]
\[k_{c}=\eta_{fc}\cdot k_{c2}\]
\[{\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f'_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1\]
wobei:
α1 ist der Reduktionsfaktor der Betondruckfestigkeit, definiert in ACI 318-19 Cl. 22.2.2.4.1. Bei Verwendung eines Parabel-Rechteck-Spannungs-Dehnungs-Diagramms ist es erforderlich, die maximale Druckspannung um diesen Faktor zu reduzieren. Dies mittelt die Spannungsverteilung in der Druckzone so, dass die resultierende Druckfestigkeit kleiner oder gleich der Druckfestigkeit ist, die mit einem Spannungs-Dehnungs-Diagramm mit abfallendem plastischem Ast berechnet wird.
Φc ist der Festigkeitsreduktionsfaktor für Beton. Der Standardwert wird gemäß ACI 318-19 Tabelle 24.2.1 (b)(f) festgelegt.
kc2 ist der Reduktionsfaktor aufgrund des Vorhandenseins von Querrissen.
f'c ist die Betonzylinderfestigkeit (in MPa für die Definition von \( \eta_{fc} \)).
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Abb. 39\qquad Das Druckentfestigungsgesetz.}}}\]
kc2 ist ein Reduktionsfaktor, der auf denselben Annahmen basiert wie der Knotenzonen-Koeffizient βn aus ACI 318-19 Tabelle 23.9.2, mit der Ausnahme, dass bei CSFM das Vorhandensein einer Hauptzugspannung senkrecht zur Hauptdruckspannung für jedes finite Element überprüft wird (nicht nur für Knoten des Fachwerk-Modells).
Beton – Gebrauchstauglichkeit
Die Gebrauchstauglichkeitsanalyse enthält bestimmte Vereinfachungen der konstitutiven Modelle, die für die Festigkeitsanalyse verwendet werden. Der plastische Ast der Spannungs-Dehnungs-Kurve von Beton unter Druck wird vernachlässigt, während der elastische Ast linear und unendlich ist. Das Druckentfestigungsgesetz wird nicht berücksichtigt. Diese Vereinfachungen verbessern die numerische Stabilität und Berechnungsgeschwindigkeit und reduzieren nicht die Allgemeinheit der Lösung, solange die resultierenden Materialspannungsgrenzen bei Gebrauchstauglichkeit deutlich unter ihren Fließpunkten liegen (wie von ACI gefordert). Daher sind die für die Gebrauchstauglichkeit verwendeten vereinfachten Modelle nur gültig, wenn alle Nachweisanforderungen erfüllt sind.
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Abb. 40\qquad Beton-Spannungs-Dehnungs-Diagramme implementiert für Gebrauchstauglichkeitsanalyse: kurz- und langfristige Nachweise.}}}\]
Langzeiteffekte
Das Langzeitverhalten der Struktur, wie langfristige Durchbiegungen oder die Berechnung von Rissbreiten verursacht durch Dauerlasten, wird durch Betonkriechen beeinflusst. Die ACI 318-19 definiert im Absatz 24.2.4.1.3 den zeitabhängigen Faktor für Dauerlasten – ξ, der den Kriecheffekt für eine spezifizierte Dauerlastdauer repräsentiert.
In der Detail-Anwendung wird der Elastizitätsmodul Ec angepasst, um das Langzeitverhalten der Struktur durch den Faktor ξ zu bestimmen.Der angepasste Elastizitätsmodul wird als Ec,eff bezeichnet – siehe Abbildung 40.
Unter der Annahme, dass die Verformung des Elements durch die Dehnung ausgedrückt wird, kann geschrieben werden:
\[\epsilon_{tot} = \epsilon_{0} + \epsilon_{creep} = \epsilon_{0} \cdot (1+\xi)\]
wobei:
ε0 eine kurzfristige Dehnung ist (ohne Kriecheinfluss) und εcreep eine durch Kriechen verursachte Dehnung ist.
Unter Verwendung des Hookeschen Gesetzes können wir schreiben:
\[E_{c,eff} = \frac{f_{c}}{\epsilon_{tot}}\]
Durch Einsetzen von \(\epsilon_{tot} = \epsilon_{0} \cdot (1+\xi)\) und \(\epsilon_{0} = f_{c} / E_{c}\) erhalten wir:
\[E_{c,eff} = \frac{E_{c}}{1+\xi}\]
Die Dauerlastdauer zur Bestimmung des Faktors ξ kann für jede langfristige Gebrauchslastkombination individuell festgelegt werden.
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Abb. 41\qquad Dauerlastdauer}}}\]
Die zeitabhängigen Durchbiegungen, Spannungen und Rissbreiten werden dann mit einem modifizierten Materialmodell berechnet, bei dem die Wirkung der Druckverfeinerung automatisch durch die Natur der FE-Analyse berücksichtigt wird. Es ist daher nicht notwendig, sie zusätzlich mit dem in 24.2.4.1.1 definierten Faktor zu multiplizieren.
Kurzfristige Effekte
Zur Durchführung kurzfristiger Nachweise wird eine weitere Berechnung durchgeführt, bei der alle Lasten ohne den zeitabhängigen Faktor für Dauerlasten berechnet werden. Beide Berechnungen für lang- und kurzfristige Nachweise sind in Abb. 40 dargestellt.
Bewehrung
Ein perfekt elasto-plastisches Spannungs-Dehnungs-Diagramm mit einem definierten Fließpunkt für die nicht vorgespannte Bewehrung wird betrachtet, siehe ACI 319-19 CL. 20.2.1. Die Definition dieses Diagramms erfordert nur die Kenntnis der Grundeigenschaften der Bewehrung – die Festigkeit und den Elastizitätsmodul.
Das Spannungs-Dehnungs-Diagramm der Bewehrung kann auch vom Benutzer definiert werden, aber in diesem Fall ist es unmöglich, den Zugversteifungseffekt anzunehmen (es ist unmöglich, die Rissbreite zu berechnen).
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Abb. 42 \qquad Spannungs-Dehnungs-Diagramm der Bewehrung}}}\]
wobei:
Φs ist der Festigkeitsreduktionsfaktor für die Bewehrung. Der Standardwert wird gemäß ACI 318-19 Tabelle 24.2.1 festgelegt.
fy ist die Streckgrenze der Bewehrung
Es Elastizitätsmodul der Bewehrung
10% wird als Grenzdehnung gewählt, bei der die Berechnung gestoppt wird. Dies gilt als sicher basierend auf ASTM A955/A955M-20c Artikel 7.
Zugversteifung (Abb. 43) wird automatisch berücksichtigt, indem die Eingabe-Spannungs-Dehnungs-Beziehung des blanken Bewehrungsstabes modifiziert wird, um die durchschnittliche Steifigkeit der im Beton eingebetteten Stäbe zu erfassen (εm).
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Abb. 43\qquad Schema der Zugversteifung.}}}\]