Statický návrh betonových 3D diskontinuit v IDEA StatiCa Detail (BETA)

Úvod do metody 3D CSFM

Obecný úvod do statického návrhu betonových 3D detailů
Hlavní předpoklady a omezení
Implementace Mohr-Coulombovy teorie plasticity ve 3D CSFM
Předpoklady obecné mechaniky pro 3D CSFM

Výpočtový model IDEA StatiCa 3D Detail

Úvod do implementace konečných prvků
Typy konečných prvků
Tvorba sítě ve 3D CSFM
Metoda řešení a algoritmus řízení zátěže pro 3D CSFM
Prezentace 3D výsledků

Ověření modelu

Mezní stavy

Posudky konstrukčních prvků podle Eurokódu

Materiálové modely ve 3D CSFM
Dílčí součinitele spolehlivosti
Posudek mezního stavu únosnosti

Úvod do metody 3D CSFM

Obecný úvod do konstrukčního návrhu betonových 3D detailů

V praxi se inženýři mohou setkat s různými typy konečných prvků (od jednoduchých 1D tyčových prvků až po složitější 3D cihlové prvky), které se používají v různých aplikacích pro analýzu a návrh konstrukčních prvků. Společným rysem většiny výpočtů v praxi bývá lineární chování modelů, jehož výhodou je bezesporu rychlost, přehlednost a jednoduše fakt, že pro širokou škálu problémů je toto řešení zcela dostačující.

Zejména ve světě betonových konstrukcí se často stává, že lineární přístup není dostatečný jednoduše proto, že po objevení se prvních trhlin v zatíženém prvku se napětí přerozdělí a problém se stává výrazně nelineárním.

Pro tyto případy je nutné zvolit některý ze sofistikovanějších přístupů. Pro 1D případy lze často nalézt analytické metody definované přímo v normách. Například oblíbené modely Příhelné a táhlové pruty mohou být vytvořeny pro 2D rovinné prvky a oblasti diskontinuit (D-oblasti), nebo lze použít sofistikovanější metodu napěťových polí implementovanou v IDEA StatiCa Detail, CSFM.

Pokud však statik narazí na problém, který nelze zjednodušit na rovinné chování, jsou možnosti velmi omezené. Samozřejmě lze vytvořit 3D model vzpěry a táhla nebo lze použít polovědecký software pro přesnou analýzu. Tyto postupy jsou často časově náročné, nejsou v souladu s normou a vyžadují inženýra znalého pokročilých metod modelování.

Z tohoto důvodu IDEA StatiCa vyvinula a implementovala 3D CSFM (Compatible Stress Field Method) do aplikace Detail. 3D CSFM rozšiřuje zavedený CSFM o třetí dimenzi a nabízí rychlé řešení v souladu s předpisy, které je primárně použitelné pro každodenní inženýry a dává jim jedinečnou novou schopnost bezpečně se vypořádat se složitými detaily betonových konstrukcí.

Hlavní předpoklady a omezení

3D CSFM definuje chování betonu na základě Mohr-Coulombovy teorie plasticity pro monotónní zatížení. Metoda uvažuje hlavní napětí v betonu v tlaku a napětí ve výztuži (σ_sr) na trhlinách, přičemž se zanedbává pevnost betonu v tahu (mezní hodnota v tahu), s výjimkou jejího výztužného účinku na výztuž (tahové vyztužení).

σ_c1r, σ_c2r, σ_c3r ≤ 0 MPa

Výztužné pruty jsou spojeny s betonovými objemovými konečnými prvky pomocí spojovacích prvků, což umožňuje skluz mezi betonem a výztuží. Je třeba poznamenat, že 3D CSFM není vhodný pro simulaci prostého betonu z důvodu absence tahu, což může mít za následek zavádějící deformaci a odchylku modelu. Obecně lze říci, že Mohr-Coulombova teorie zahrnuje dvě základní vlastnosti, které řídí vývoj plasticitního povrchu v tlaku a částečně v tahu: úhel vnitřního tření φ a parametr soudržnosti c. 3D CSFM předpokládá nulový úhel vnitřního tření (obr. 1e), což vede ke konzervativnímu návrhu kvůli plasticitnímu povrchu připomínajícímu model Tresca, který je nezávislý na prvním invariantu napětí.

\( \textsf{\textit{\footnotesize{Obr. 1\qquad Základní předpoklady 3D CSFM: (a) hlavní napětí v betonu; (b) napětí ve směru výztuže;}}} \) \( \textsf{\textit{\footnotesize{(c) pracovní diagram betonu z hlediska maximálních napětí; (d) pracovní diagram výztuže}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{z hlediska napětí na trhlinách a průměrných přetvoření; (e) Mohrovy kružnice pro konkrétní model ve 3D CSFM; (f) vazba smykové napětí-skluz}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{vztah pro ověření kotevní délky.}}} \)

Beton 

Prezentovaný materiálový model je víceplošný plasticitní model určený pro monotónní zatížení. Je důležité si uvědomit, že tento model neřeší uvolňování, proto se neukládají stavové proměnné, jako by tomu bylo v klasických modelech plasticity používaných pro cyklické zatížení.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Obr. 2\qquad Mohrův-Coulombův model plasticity více povrchů pro úhel tření 0 stupňů}}}\]

Jak již bylo zmíněno, materiálový model je určen pro použití v aplikacích, které počítají odezvu železobetonu (není vhodný pro prostý beton). To je způsobeno vyloučením betonu v tahu. Model proto není vhodný ani pro konstrukční prvky, kde nejsou splněna návrhová pravidla pro železobeton, jako je minimální stupeň vyztužení, maximální rozteč prutů atd. Je třeba také dodat, že z důvodů numerické stability je v modelu definována velmi malá tahová kapacita. Tahová část je omezena rovinami odpovídajícími Rankinovu modelu.

3D CSFM v IDEA StatiCa Detail nebere v úvahu explicitní kritérium selhání z hlediska přetvoření pro beton v tlaku (tj. uvažuje nekonečně plastickou větev po dosažení špičkového napětí). Toto zjednodušení neumožňuje ověřit deformační schopnost konstrukcí selhajících v tlaku. Jejich konečná kapacita je však správně předpovězena, když se zvýšení křehkosti betonu s rostoucí pevností zvažuje pomocí redukčního faktoru _{η fc} definovaného v kódu modelu fib 2010 takto:

\[f_{c,red} = \eta _{fc} \cdot f_{c}\]

\[{\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1\]

kde:

f_c je charakteristická pevnost betonového válce (v MPa pro definici \( \eta_{fc} \)).

Hodnota f_c,red se poté porovná s ekvivalentním hlavním napětím σ_c,eq v betonu, které bude samozřejmě dále definováno s přihlédnutím ke všem součinitelům bezpečnosti předepsaným normou.

Podrobný popis konkrétního modelu naleznete na následujícím odkazu:

• Materiálový model betonu pro 3D detail

Výztuž

Bilineární pracovní diagram pro výztužné pruty, jak je definován v návrhových normách (obr. 1d), představuje idealizovaný model. Tento model vyžaduje znalost základních vlastností výztuže ve fázi návrhu, konkrétně třídy pevnosti a tažnosti. Alternativně mají uživatelé možnost definovat vlastní vztah mezi napětím a namáháním.

Tahové vyztužení se uvažuje úpravou poměru mezi napětím a přetvořením holého výztužného prutu tak, aby byla zachycena průměrná tuhost prutů zapuštěných do betonu (ε_m) (obr. 1b).

Kotviště

Vazebný skluz mezi výztuží a betonem je v modelu konečných prvků zaveden zvážením zjednodušeného konstitutivního vztahu tuhá-dokonale plastický, který je znázorněn na (obr. 1f), přičemž f_bd je návrhová hodnota (faktorovaná hodnota) mezního napětí ve vazbě specifikovaného návrhovou normou pro specifické podmínky vazby.

Jedná se o zjednodušený model, jehož jediným účelem je ověření předpisů pro lepení podle návrhových norem (tj. ukotvení výztuže). Zkrácení kotevní délky při použití háků, smyček a podobných tvarů tyčí lze uvažovat tak, že se na konci výztuže stanoví určitá únosnost, jak bude popsáno dále.

Kotvy

V Beta verzi aplikace je prvek kotvy definován stejným způsobem jako klasická výztuž. To znamená, že kotva může přenášet pouze tahovou nebo tlakovou axiální sílu. Smyk může být přenášen pouze kontaktem betonové patní desky.

K dispozici jsou dva typy kotev:

• Lepicí kotva
• Monolitická výztuž

Chování monolitické výztuže je stejné jako u klasické výztuže (typ kotvení, spojení atd.) U adhezivních kotev je možné přímo definovat návrhovou hodnotu Pevnost spoje. Tato hodnota by měla být vyčtena z technického listu výrobce.

Implementace Mohr-Coulombovy teorie plasticity ve 3D CSFM

V následující kapitole se podíváme na to, jak je Mohr-Coulombova teorie implementována ve 3D CSFM. Vysvětlíme si, jak se uvažuje vliv omezení (triaxiální napětí) a jak se vypočítá ekvivalentní hlavní napětí_{σ c,eq} , které se použije k určení únosnosti z hlediska betonu.

Úvod do teorie

Mohr-Coulombova teorie je matematický model popisující odezvu křehkých materiálů na smykové a normálové napětí. Většina klasických strojírenských materiálů se tímto pravidlem řídí alespoň v části obálky porušení smykem. Obecně platí, že teorie platí pro materiály, u kterých pevnost v tlaku daleko převyšuje pevnost v tahu.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Obr. 3\qquad Model plasticity Mohr-Coulomb }}}\]

Ve stavebním inženýrství se používá ke stanovení poruchového zatížení a také úhlu lomu  pro posunutí lomové plochy v betonu a podobných materiálech. Coulombova hypotéza tření se používá k určení kombinace smykového a normálového napětí , které způsobí lom materiálu. Mohrova kružnice se používá k určení, která hlavní napětí vytvoří tuto kombinaci smyku a normálové napětí a úhel roviny, ve které k tomu dojde.  Podle principu normality bude napětí zavedené při porušení kolmé na přímku popisující stav lomu. 

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Obr. 4\qquad Rovina poledníku a mezní hodnota napětí}}}\]

Lze ukázat, že materiál selhává podle Coulombovy hypotézy tření, přičemž posun vzniklý při porušení svírá úhel k linii lomu rovný úhlu tření. Díky tomu je pevnost materiálu určovatelná porovnáním vnější mechanické práce vyvolané posunutím a vnějším zatížením s vnitřní mechanickou prací způsobenou napětím  a napětím na linii porušení. Při zachování energie musí být jejich součet nulový, což umožní vypočítat poruchové zatížení konstrukce.

Implementace ve 3D CSFM

Obecně platí, že pro daný úhel vnitřního tření betonu, který je v referenci [1], [2], [3], [4 ] přibližně φ = 30° , lze zkonstruovat tahové a tlakové pevnosti betonových Mohrových kružnic jako na obrázku 5.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Obr. 5\qquad Mohrovy kružnice pro beton}}}\]

Kde f_c je pevnost betonu v tlaku, f_ct je pevnost betonu v tahu, φ je úhel vnitřního tření a σ_c1, σ_c3 jsou hlavní napětí betonu při triaxiálním tlaku.

Všimněte si, že s rostoucím hlavním napětím σ_c3 se zvětšuje i maximální možný rozdíl mezi hodnotami σ_c3 a σ_c1, který definujeme jako maximální σ_c,eq (viz níže).

Ve 3D CSFM implementovaném v IDEA StatiCa Detail je úhel vnitřního tření uvažován jako φ = 0°, jak je znázorněno na obrázku 6.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Obr. 6\qquad Mohrovy kružnice pro beton implementované v IDEA StatiCa Detail}}}\]

Praktickým důsledkem této implementace je, že maximální rozdíl mezi σ_c3 a σ_c1 je konstantní, jak se zvyšuje_{σ c3} . 

Ekvivalentní hlavní napětí vyjadřuje ekvivalentní jednoosé napětí pro obecný stav tříosého napětí.

\[\sigma_{c,eq} = \sigma_{c3} - \sigma_{c1}\]

Hodnotu σ_c,eq lze tedy přímo porovnat s jednoosými pevnostními limity podle norem.

Porovnáním obrázku 5, kde je použit skutečný úhel vnitřního tření, a obrázku 6, který ukazuje implementaci Mohr-Coulombovy teorie s nulovým úhlem vnitřního tření, je vidět, že přístup zvolený pro výpočty v Detailu je pro stanovení stavu triaxiálního napětí velmi konzervativní.

Pro lepší pochopení oblastí ovlivněných tříosým tlakovým napětím bylo do aplikace IDEA StatiCa Detail přidáno vyjádření zvýšení efektivní pevnosti materiálu v důsledku tříosého tlaku jako κ faktor.

\[\kappa =   \frac{ \sigma_{c3}}{ \sigma_{c,eq}}\]

Předpoklady obecné mechaniky pro 3D CSFM

Rovnovážné rovnice

Teorie malých deformací umožňuje sestavit rovnici rovnováhy založenou na nedeformovaném objemu pomocí přístupu prvního řádu. 

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Obr. 7\qquad Rovnice rovnováhy a grafické znázornění na nekonečně malém prvku}}}\]

Rovnice kompatibility

Pevné těleso se skládá z nekonečně malých objemů nebo hmotných bodů, z nichž každý je vzájemně propojen bez mezer nebo překrývání. Musí být dodrženy matematické podmínky, aby se zabránilo vzniku mezer nebo překrývání při deformaci tělesa kontinua.

Konstitutivní rovnice

Konstitutivní rovnice, kterými se řídí chování 3D prvků, hrají klíčovou roli při analýze chování materiálů ve stavební mechanice. Tyto rovnice jsou formulovány tak, aby vyhovovaly nelineárnímu izotropnímu chování, které je platné pro objemové blokové prvky v IDEA StatiCa Detail. 

Při práci s 3D stěnou je nezbytné zohlednit ortotropní chování v celé její tloušťce, přičemž zvláštní pozornost je třeba věnovat napětí v betonu v důsledku absence příčné výztuže. Ortotropie je způsobena tím, že tah v betonu je povolen v nepřímém směru. Vlastnosti materiálu, jako je pružnost modulu a Poissonův součinitel, zůstávají stejné.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Obr. 8\qquad Lilineárně elastická izotropní matice poddajnosti}}}\]

Výpočtový model IDEA StatiCa 3D Detail

Úvod do implementace konečných prvků

3D CSFM uvažuje spojitá napěťová pole v betonu (3D konečné prvky), doplněná diskrétními "tyčovými" prvky představujícími výztuž (1D konečné prvky). Výztuž tedy není difúzně zapuštěna do betonových 3D konečných prvků, ale je s nimi explicitně modelována a připojena. 

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Obr. 9\qquad Vykreslení výpočtového modelu pro betonový blok a stěnu mimo rovinu}}}\]

Typy konečných prvků

Nelineární (nepružný) výpočtový model konečných prvků je tvořen několika typy konečných prvků používaných k modelování betonu, výztuže a vazby mezi nimi. Betonové a výztužné prvky jsou nejprve nezávisle na sobě vytvořeny a poté propojeny pomocí vícebodových vazeb (MPC prvky). To umožňuje, aby výztuž obsadila jakoukoli polohu, která není omezena na uzly čtyřstěnné sítě. Pro ověření kotevní délky se mezi výztuž a prvky MPC vkládají spojovací a kotevní koncové pružinové prvky.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Obr. 10\qquad Model konečných prvků: výztužné prvky mapované na betonovou síť pomocí MPC a vazebných prvků}}}\]

Beton

Beton se analyzuje pomocí smíšených tetraedrických prvků s uzlovými rotacemi. Tetraedrické prvky nám umožňují síťovat oblasti libovolné topologie, zatímco implementovaná formulace zaručuje přesné výsledky deformace (bez rušivého smykového napětí známého jako efekt smykového zámku), a to i pro hrubou síť, která by nebyla vhodná pro formulaci lineárních tetraedrických prvků. 

Je využita plná integrace. To znamená, že každý prvek je vybaven čtyřmi integračními body umístěnými v objemu. Taková integrace poskytuje přesné pole deformace a napětí, což umožňuje dostatečné vyhodnocení a prezentaci výsledků v celém objemu. Následně jsou stanovena kritéria zastavení na základě hodnoty v integračním bodě.

Výztuž

Výztuže jsou modelovány dvouuzlovými 1D "tyčovými" prvky (CROD), které mají pouze osovou tuhost. Tyto prvky jsou spojeny se speciálními "lepenými" prvky, které byly vyvinuty za účelem modelování smykového chování mezi výztužným prutem a okolním betonem. Tyto spojovací prvky jsou následně spojeny prvky MPC (vícebodové omezení) se sítí představující beton. Tento přístup umožňuje nezávislé síťování výztuže a betonu, přičemž jejich vzájemné propojení je zajištěno později.

Spojovací prvky

Délka kotvení se ověřuje implementací smykových napětí mezi betonovými prvky (3D) a výztužnými prvky (1D) v modelu konečných prvků. Za tímto účelem byl vyvinut typ "bond" s konečnými prvky.

Spojovací prvek je definován jako konečný prvek skořepiny, který je spojen s prvky představujícími výztuž první vrstvou a druhou vrstvou s betonovou sítí pomocí vícebodových vazeb (MPC prvky). Je třeba poznamenat, že prvek vazby je v tomto článku vždy zobrazen s nenulovou výškou, která je však v modelu definována jako nekonečně malá.

Chování tohoto prvku je popsáno vazebným napětím τ_b jako bilineární funkcí skluzu mezi horním a dolním uzlem, δu, viz (obr. 11).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Obr. 11\qquad (a) Konceptuální znázornění  deformace  vazebného   prvku;   (b) smykově-deformační funkce}}}\]

Modul pružnosti tuhosti vztahu mezi vazem a skluzem, Gb, je definován takto:

\[G_b = k_g \cdot \frac{E_c}{Ø}\]

součinitel k_g            v závislosti na povrchu výztužného prutu (standardně kg = 0,2)

E_c            modul pružnosti betonu (uvažuje se jako Ecm v případě EN)

Ø             průměr výztužné tyče

Pro ověření kotevní délky se použijí návrhové hodnoty (součinitelné hodnoty) mezního smykového napětí vazby, f_bd, uvedené v příslušných vybraných návrhových normách EN 1992-1-1 nebo ACI 318-19. Kalení plastové větve se standardně počítá jako Gb/105.

Kotevní pružina

Zajištění kotevních zakončení výztužných tyčí (tj. oblouků, háků, smyček...), které splňuje požadavky konstrukčních norem, umožňuje snížit základní kotevní délku tyčí (l_b,net) o určitý součinitel β (dále označovaný jako "součinitel kotevního stavu"). Návrhová hodnota délky ukotvení (lb) se pak vypočte následovně:

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Obr. 12\qquad Model pro redukci kotevní délky: a) Kotevní síla po délce kotvení }}}\] \[ \textsf{\textit{\footnotesize{výztužná vložka, b) konstitutivní zákon o prokluzu kotevního ukotvení}}}\]

Redukce kotevní délky je zahrnuta do modelu konečných prvků pomocí pružinového prvku na konci prutu (obr. 12a), který je definován konstitutivním modelem znázorněným na (obr. 12b). Maximální síla přenášená touto pružinou (F_au) je:

\[F_{au} = \beta \cdot A_s \cdot f_{yd}\]

kde:

            β součinitel ukotvení na základě typu kotvení

A_s            průřez výztužné tyče

f_yd           návrhová hodnota (výpočtová hodnota) meze kluzu výztuže

Tvorba sítě ve 3D CSFM

Konečné prvky jsou implementovány interně a výpočtový model je generován automaticky bez nutnosti odborné interakce uživatele. Důležitou součástí tohoto procesu je síťování.

Beton

Všechny betonové prvky jsou propojeny dohromady. Doporučená velikost prvku je automaticky vypočítána aplikací na základě velikosti a tvaru konstrukce a s přihlédnutím k průměru největšího výztužného prutu. Doporučená velikost prvků navíc zaručuje, že v tenkých částech konstrukce, jako jsou štíhlé sloupy nebo tenké stěny, jsou generovány minimálně čtyři prvky, aby byly zajištěny spolehlivé výsledky v těchto oblastech. Projektanti mohou vždy vybrat uživatelem definovanou velikost betonového prvku úpravou násobitele výchozí velikosti sítě.

Výztuž

Výztuž je rozdělena na prvky s přibližně stejnou délkou, jako je velikost betonového prvku. Jakmile jsou výztužné a betonové sítě vytvořeny, jsou vzájemně propojeny spojovacími prvky, jak je znázorněno na obr. 9.

Metoda řešení a algoritmus řízení zátěže pro 3D CSFM

Standardní plný Newtonův-Raphsonův (NR) algoritmus je použit k nalezení řešení nelineárního MKP problému. 

Obecně platí, že algoritmus NR často nekonverguje, když je plné zatížení aplikováno v jednom kroku. Obvyklý přístup, který se zde také používá, spočívá v tom, že se zatížení aplikuje postupně ve více přírůstcích a výsledek z předchozího přírůstku zatížení se použije k zahájení Newtonova řešení následujícího. Za tímto účelem byl na vrcholu Newton-Raphsonova algoritmu implementován algoritmus řízení zátěže. V případě, že iterace NR nekonvergují, aktuální přírůstek zatížení se sníží na polovinu své hodnoty a iterace NR se opakují.

Druhým účelem algoritmu řízení zatížení je najít kritické zatížení, které odpovídá určitým "kritériím zastavení" – konkrétně maximálnímu přetvoření v betonu, maximálnímu prokluzu v lepených prvcích, maximálnímu posunutí v kotevních prvcích a maximálnímu přetvoření ve výztužných prutech. Kritické zatížení se zjistí pomocí metody půlení. V případě, že je kdekoli v modelu překročeno kritérium zastavení, výsledky posledního přírůstku zatížení se zahodí a vypočítá se nový přírůstek o polovinu velikosti předchozího. Tento proces se opakuje, dokud není nalezeno kritické zatížení s určitou tolerancí chyb.

Pro beton bylo kritérium zastavení nastaveno na 5% přetvoření v tlaku (tj. přibližně o řád větší než je skutečné přetvoření při porušení betonu) a 7 % v tahu v integračních bodech skořepinových prvků. V tahu byla hodnota nastavena tak, aby bylo možné nejprve dosáhnout mezního přetvoření ve výztuži, které se obvykle pohybuje kolem 5 % bez zohlednění tahového vyztužení. V kompresi byla hodnota vybrána z několika alternativ takovou, která je dostatečně velká, aby se ve výsledcích projevily účinky drcení, ale dostatečně malá, aby nezpůsobila příliš mnoho problémů s numerickou stabilitou.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Obr. 13\qquad Konstitutivní zákon vazby a kotevních prvků použitých pro ověření délky kotvení: a) Smykové napětí vazby}}}\] \[ \textsf{\textit{\footnotesize{odezva vazebného prvku na skluzu, b) silová odezva kotevního prvku}}}\]

U výztuže je kritérium zastavení definováno pomocí napětí. Vzhledem k tomu, že se modelují napětí na trhlině, odpovídá kritérium v tahu pevnosti výztuže v tahu zohledňující koeficient bezpečnosti. Stejná hodnota se použije pro kritérium v kompresi.

Kritérium zastavení u lepených prvků a kotevních pružin je α·δ_umax, kde_{δ umax} je maximální prokluz použitý při normových posudcích a α = 10.

Prezentace 3D výsledků

Výsledky jsou prezentovány samostatně pro beton a pro výztužné prvky. Hodnoty napětí a přetvoření v betonu se počítají v integračních bodech objemových prvků. Protože však není praktické prezentovat data tímto způsobem, jsou výsledky standardně prezentovány v uzlech, jako je maximální hodnota tlakového napětí ze sousedních Gaussových integračních bodů v připojených prvcích. Je třeba poznamenat, že toto zobrazení může lokálně podhodnocovat výsledky na stlačených hranách prutů v případě, že velikost konečného prvku je podobná hloubce tlačené zóny.

Výsledky pro konečné prvky výztuže jsou buď konstantní pro každý prvek (jedna hodnota – např. pro napětí v oceli) nebo lineární (dvě hodnoty – pro výsledky spoje). U pomocných prvků, jako jsou prvky nosných desek, jsou uvedeny pouze deformace.

Ověření modelu

Mezní stavy

Mezní stav únosnosti

Různá ověření vyžadovaná konkrétními návrhovými normami jsou posuzována na základě přímých výsledků poskytovaných modelem. Ověření MSÚ se provádí pro pevnost betonu, pevnost výztuže a ukotvení (smyková napětí ve vazbě).

Aby bylo zajištěno, že konstrukční prvek má efektivní návrh, důrazně se doporučuje provést předběžnou analýzu, která bere v úvahu následující kroky:

• Vyberte si výběr nejkritičtějších kombinací zatížení.
• Vypočítejte pouze kombinace zatížení mezního stavu únosnosti (MSÚ).
• Chcete-li urychlit výpočet a vyřešit případné problémy, zvažte použití hrubé sítě zvýšením násobitele výchozí velikosti sítě v nastavení (obr. 14). Pokud si model vede dobře, vraťte násobitel zpět na faktor 1.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Obr. 14\qquad Násobitel sítě}}}\]

Takový model se vypočítá velmi rychle, což projektantům umožní efektivně zkontrolovat detaily konstrukčního prvku a znovu spustit analýzu, dokud nebudou splněny všechny požadavky na ověření pro nejkritičtější kombinace zatížení. Jakmile jsou splněny všechny požadavky na ověření z této předběžné analýzy, doporučuje se zahrnout kompletní kombinace mezního zatížení a použít jemnou velikost sítě (velikost sítě doporučenou programem). Uživatelé mohou měnit velikost ok pomocí multiplikátoru, který může dosáhnout hodnot od 0,5 do 5 (obr. 14).

Základní výsledky a ověření (napětí, přetvoření a využití (tj. vypočtená hodnota/mezní hodnota z normy)) a také směr hlavních napětí v případě betonových prvků) jsou zobrazeny pomocí různých grafů, kde tlak je obecně znázorněn červeně a tah modře. Globální minimální a maximální hodnoty pro celou konstrukci lze zvýraznit, stejně jako minimální a maximální hodnoty pro každý uživatelem definovaný díl. V samostatné záložce programu lze zobrazit pokročilé výsledky, jako jsou hodnoty tenzoru, deformace konstrukce a stupně vyztužení (efektivní a geometrické), které se používají pro výpočet tahového vyztužení výztužných prutů. Kromě toho lze zobrazit zatížení a reakce pro vybrané kombinace nebo zatěžovací stavy.

Posudky konstrukčních prvků podle Eurokódu

Materiálové modely ve 3D CSFM (EN)

Beton - MSÚ

Betonový model implementovaný ve 3D CSFM je založen na jednoosých konstitutivních zákonech pro tlak, které jsou předepsány v EN 1992-1-1 pro návrh průřezů, které závisí pouze na pevnosti v tlaku. Ve 3D CSFM se standardně používá diagram parabola-obdélník uvedený v EN 1992-1-1 , čl. 3.1.7 (1) (obr. 15a), ale konstruktéři mohou zvolit i zjednodušený elastický ideální plastický vztah podle EN 1992-1-1 , čl. 3.1.7 (2) (obr. 15b). Pevnost v tahu je zanedbána, stejně jako v klasickém železobetonovém provedení.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Obr. 15\qquad Pracovní diagramy betonu  pro MSÚ: a) diagram parabola-obdélník ;   b) bilineární diagram}}}\]

Implementace 3D CSFM v IDEA StatiCa Detail nebere v úvahu explicitní kritérium selhání z hlediska přetvoření pro beton v tlaku (tj. po dosažení špičkového napětí se uvažuje plastická větev s ε_cu2 (ε_cu3) v hodnotě 5 %, zatímco EN 1992-1-1 předpokládá mezní přetvoření menší než 0,35 %). Toto zjednodušení neumožňuje ověřit deformační schopnost konstrukcí selhajících v tlaku. Jejich mezní únosnost f_cd podle EN 1992-1-1 3.1.3 je však správně předpovězena, pokud se nárůst křehkosti betonu s rostoucí pevností zohlední pomocí redukčního faktoru \(\eta_{fc}\) definovaného v kódu modelu fib 2010 takto:

\[f_{cd}={\alpha_{cc}} \cdot \frac{f_{ck,red}}{γ_c} = {\alpha_{cc}} \cdot \frac{\eta _{fc} \cdot f_{ck}}{γ_c}\]

\[{\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f_{ck}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1\]

kde:

α_cc je koeficient, který zohledňuje dlouhodobé účinky na pevnost v tlaku a nepříznivé účinky vyplývající ze způsobu působení zatížení. Je v souladu s EN 1992-1-1, čl. 3.1.6 (1). Výchozí hodnota je 1,0.

f_ck je charakteristická pevnost betonového válce (v MPa pro definici \( \eta_{fc} \)).

Výztuž

Standardně se uvažuje idealizovaný bilineární pracovní diagram pro holé výztužné pruty definovaný v EN 1992-1-1, čl. 3.2.7 (obr. 16). Definice tohoto diagramu vyžaduje, aby byly ve fázi návrhu známy pouze základní vlastnosti výztuže (třída pevnosti a tažnosti). Kdykoli je znám, lze uvažovat skutečný vztah mezi napětím a deformací výztuže (válcované za tepla, tvářené za studena, kalené a samopopouštěné, ...). Pracovní diagram výztuže může definovat uživatel, ale v tomto případě není možné předpokládat účinek tahového vyztužení (není možné vypočítat šířku trhlin). Použití pracovního diagramu s vodorovnou horní větví neumožňuje ověřit odolnost konstrukce. Proto je nutné ruční ověření standardních požadavků na tažnost.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Obr. 16 \qquad Pracovní diagram výztuže: a) bilineární diagram se šikmou horní větví; b) bilineární diagram}}}\] \[ \textsf{\textit{\footnotesize{s vodorovnou horní větví.}}} \]

Tahové vyztužení (obr. 17) se zohlední automaticky úpravou vstupního poměru mezi napětím a přetvořením holého výztužného prutu tak, aby byla zachycena průměrná tuhost prutů zapuštěných do betonu (ε_m).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Obr. 17\qquad Schéma tahového vyztužení.}}} \]

Dílčí součinitele spolehlivosti

Metoda kompatibilního napěťového pole je v souladu s moderními konstrukčními normami. Vzhledem k tomu, že výpočtové modely používají pouze standardní vlastnosti materiálu, lze bez úprav použít formát dílčího součinitele spolehlivosti předepsaný v návrhových normách. Tímto způsobem se zohlední vstupní zatížení a charakteristické vlastnosti materiálu se sníží pomocí příslušných koeficientů bezpečnosti předepsaných v normách, přesně jako při konvenční analýze betonu. Hodnoty součinitelů bezpečnosti materiálu předepsané v EN 1992-1-1 kap. 2.4.2.4 jsou standardně nastaveny, ale uživatel může změnit součinitele bezpečnosti v nastavení normy a výpočtu (obr. 18).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Obr. 18\qquad Nastavení součinitelů  bezpečnosti materiálu v Idea StatiCa Detail.}}} \]

Součinitele bezpečnosti zatížení musí být definovány uživatelem v kombinačních pravidlech pro každou nelineární kombinaci zatěžovacích stavů (obr. 19). U všech šablon implementovaných v aplikaci Idea StatiCa Detail jsou již předdefinovány dílčí součinitele spolehlivosti.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Obr. 19\qquad Nastavení dílčích součinitelů  zatížení v Idea StatiCa Detail.}}} \]

Použitím vhodných uživatelsky definovaných kombinací dílčích součinitelů spolehlivosti mohou uživatelé také počítat s 3D CSFM pomocí metody globálního součinitele odporu (Navrátil, et al. 2017), ale tento přístup se v návrhové praxi téměř nepoužívá. Některé pokyny doporučují použít pro nelineární analýzu metodu globálního součinitele odporu. U zjednodušených nelineárních analýz (jako je 3D CSFM), které vyžadují pouze ty vlastnosti materiálu, které se používají v konvenčních ručních výpočtech, je však stále vhodnější použít formát částečné bezpečnosti.

Posudek mezního stavu únosnosti

Různá ověření vyžadovaná normou EN 1992-1-1 jsou posouzena na základě přímých výsledků poskytnutých modelem. Ověření MSÚ se provádí pro pevnost betonu, pevnost výztuže a ukotvení (smyková napětí ve vazbě).

Pevnost betonu v tlaku se vyhodnotí jako poměr mezi maximálním ekvivalentním hlavním napětím_{σ c,eq} získaným z analýzy konečných prvků a mezní hodnotou σ_c,lim = f_cd.

Ekvivalentní hlavní napětí vyjadřuje ekvivalentní jednoosé napětí pro obecný stav tříosého napětí.

\[\sigma_{c,eq} = \sigma_{c3} - \sigma_{c1}\]

Hodnotu σ_c,eq lze tedy přímo porovnat s jednoosými pevnostními limity podle 1992-1-1 Cl. 3.1.7 (1).

Tento výraz je odvozen z implementace Mohr-Coulombovy teorie plasticity, která konzervativně předpokládá úhel vnitřního tření φ = 0°.

Pevnost výztuže se vyhodnocuje jak v tahu, tak v tlaku jako poměr mezi napětím ve výztuži na trhlinách σ_sr a stanovenou mezní hodnotou_{σ s,lim}:

\(σ_{s,lim} = \frac{k \cdot f_{yk}}{γ_s}\qquad\qquad\textsf{\small{pro bilineární diagram se šikmou horní větví}}\)

\(σ_{s,lim} = \frac{f_{yk}}{γ_s}\qquad\qquad\,\,\,\,\,\,\textsf{\small{pro bilineární diagram s vodorovnou horní větví}}\)

kde:

f_yk        je mez kluzu výztuže podle EN 1992-1-1 čl. 3.2.3,

k          je poměr pevnosti v tahu f_tk k meze kluzu,
            \(k = \frac{f_{tk}}{f_{yk}}\)

γ_s             je částečný součinitel spolehlivosti pro výztuž.

Smykové napětí vazby se vyhodnotí nezávisle jako poměr mezi napětím vazby τ_b vypočítaným analýzou konečných prvků a mezí pevnosti vazby f_{bd podle EN} 1992-1-1, kap. 8.4.2:

\[\frac{τ_{b}}{f_{bd}}\le 1\]

\[f_{bd} = 2,25 \cdot η_1\cdot η_2\cdot f_{ctd}\]

kde:

f_ctd      je návrhová hodnota pevnosti betonu v tahu podle EN 1992-1-1, čl. 3.1.6 (2). Vzhledem ke zvyšující se křehkosti betonu s vyšší pevností je hodnota f_ctk,0,05 omezena na hodnotu pro C60/75 podle EN 1992-1-1 čl. 8.4.2 (2)

η₁       je součinitel související s kvalitou stavu spoje a polohou tyče při betonáži (obr. 31).

η₁ = 1,0, jsou-li získány "dobré" podmínky a

η₁ = 0,7 pro všechny ostatní případy a pro tyče v konstrukčních prvcích konstruovaných s kluznými tvary, pokud nelze prokázat, že existují "dobré" podmínky vazby

η₂        souvisí s průměrem tyče:

            η₂ = 1,0 pro Ø ≤ 32 mm

            η₂ = (132 - Ø)/100 pro Ø > 32 mm

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Obr. 20\qquad EN 1992-1-1 Obrázek 8.2 - Popis podmínek vazby.}}} \]

V aplikaci IDEA StatiCa Detail jsou podmínky vazby zohledněny podle obr. 20 c) a d). Směr betonáže lze v aplikaci nastavit pro každou položku projektu následovně:

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Obr. 21\qquad Směr vytváření}}}\]

Tato ověření se provádějí s ohledem na příslušné mezní hodnoty pro příslušné části konstrukce (tj. i když existuje jedna třída jak pro beton, tak pro výztužný materiál, konečné pracovní diagramy se budou v každé části konstrukce lišit v důsledku účinků tahového zpevnění a změkčení tlakem).

Celková síla F_tot a Mezní síla F_lim

Celková síla F_tot je výsledkem analýzy metodou konečných prvků a lze ji definovat dvěma způsoby.

\[F_{tot}=A_{s}\cdot \sigma_{s}\]

kde A_s je plocha výztužného prutu a σ_s je napětí v prutu.

Nebo jako součet kotevní síly F_{a a vazebné} síly F.

\[F_{tot}=F_{a}+F_{pouto}\]

kde F_a je skutečná síla v kotevní pružině a _vazba F je vazebná síla, kterou lze získat integrací vazebného napětí τ_b po délce výztužné tyče l.

\[F_{bond}=C_{s} \cdot \int_{0}^{l}\tau_{b}\left( x \right)dx\]

C_s je obvod výztužného prutu.

Mezní síla F_lim je maximální síla v prvku výztuže s ohledem na mez pevnosti výztuže a také na podmínky kotvení (spojení mezi betonem a výztuží a kotevní háky, smyčky atd.).

\[F_{lim}=min\left( F_{lim,bond}+F_{au},F_{u} \right)\]

\[F_{u}=k\cdot f_{yd}\cdot A_{s}\]

\[F_{au}=\beta\cdot k\cdot f_{yd}\cdot A_{s}\]

\[F_{lim,bond}=C_{s}\cdot l \cdot f_{bd}\]

kde C_s je obvod výztužné tyče a l je délka od začátku výztuže k bodu zájmu.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Obr. 22\qquad Definice mezní síly Flim}}}\]

\[F_{lim,2}=F_{lim,1}+F_{lim,add}\]

kde F_lim,add je přídavná síla vypočítaná z velikosti úhlu mezi sousedními prvky. F_lim,2 musí být vždy nižší než F_u.

Dostupné typy ukotvení ve 3D CSFM zahrnují rovnou tyč (tj. bez redukce konce kotvy), ohyb, hák, smyčku, svařovanou příčnou tyč, dokonalé spojení a průběžnou tyč. Všechny tyto typy spolu s příslušnými součiniteli ukotvení β jsou znázorněny na obr. 23 pro podélnou výztuž a na obr. 24 pro třmínky. Hodnoty převzatých součinitelů kotevního úchytu jsou v souladu s EN 1992-1-1, čl. 8.4.4, tab. 8.2. Je třeba poznamenat, že navzdory různým dostupným možnostem rozlišuje 3D CSFM tři typy konců kotvení: (i) žádné zkrácení délky kotevního úchytu, (ii) snížení o 30 % délky kotvení v případě normalizovaného ukotvení a (iii) dokonalé spojení.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Obr. 23\qquad  Dostupné typy ukotvení a příslušné součinitele ukotvení pro podélné výztužné pruty ve 3D CSFM:}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(a) rovný pruh; b) ohyb; c) háček; d) smyčka; e) svařovaná příčná tyč; (f) dokonalá vazba; g) průběžná lišta.}}} \]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Obr. 24\qquad  Dostupné typy ukotvení a příslušné kotevní koeficienty pro třmínky.}}} \]

\[ \textsf{\textit{\velikost poznámky pod čarou{Zavřené třmeny: (a) háček; b) ohyb; c) překrývání. Otevřené třmeny: (d) háček; (e) průběžná lišta.}}} \]

Aby bylo možné vyhovět normě EN 1992-1-1, musí být výztuž vždy modelována s přímými konci a musí být použita kotevní vlastnost (musí být použita kotevní pružina). Modelování kotevního háku přímou úpravou geometrie výztuže není v souladu s EN 1992-1-1.

Ověřování a validace

Jednotkový test: Ukotvení

Jednotková zkouška: Jednoduchá zkouška ohybem na konzolách

Jednotková zkouška: Smykové zkoušky v nosnících s malým počtem třmínků

Odkazy

1. Wu, D.; Wang, Y.; Qiu, Y.; Zhang, J.; Wan, Y.-K. Stanovení Mohrových–Coulombových parametrů z nelineárních pevnostních kritérií pro 3D svahy.  2019, 6927654.
2. Lelovič, S.; Vašovič, D.; Stojic, D. Stanovení Mohr-Coulombových materiálových parametrů pro beton při nepřímé tahové zkoušce. Tech. Gaz. 2019, 26, 412–419.
3. Galic, M.; Marovič, P.; Nikolic, Ž. Modifikovaný Mohrův-Coulombův—Rankinův materiálový model pro beton.  2011, 28, 853–887.
4. Fanoušek, Q.; Gu, S.C.; Wang, B.N.; Huang, R.B. Dvouparametrové parabolické Mohrovo pevnostní kritérium použité k analýze výsledků brazilského testu. Appl. Mech. Mater. 2014, 624, 630–634.