本验证示例由 Mark D. Denavit 和 Kayla Truman-Jarrell 在 田纳西大学 与 IDEA StatiCa 的联合项目中编制。
1 简介
本研究对基于组件的有限元模型（CBFEM）与美国实践中用于临时拼接节点设计的传统计算方法进行了比较（图 1 和图 2）。该节点旨在在上下柱之间的永久焊接拼接节点施工期间，临时支撑上柱。柱为组合箱形构件，外部尺寸为 32 英寸正方形，壁厚 2.5 英寸。在上下柱各角附近分别角焊缝焊接耳板，然后用两块连接板通过螺栓连接每对（上下）耳板。所有钢板均为 ASTM A572 Gr. 50，所有螺栓均为 7/8 英寸直径 A325 标准孔螺栓（螺纹不排除在剪切面之外），所有焊接材料为 E70XX。上柱所受荷载包括轴向压力、两个方向的剪力、双轴弯矩和扭矩的组合作用。
图 1 本研究所分析柱及临时拼接节点的示意平面图
图 2 本研究所分析临时耳板拼接节点的示意详图
该节点目前尚无成熟的传统计算方法。本研究的目的是描述结构工程师如何利用传统计算方法处理该问题、传统计算方法的局限性，以及如何利用传统计算结果建立对 CBFEM 结果的信心。
本研究中的传统计算基于 AISC 规范（2016）中荷载与抗力系数设计法（LRFD）的要求。CBFEM 结果由 IDEA StatiCa 21.1 版本获得。节点模型如图 3 所示。上下柱之间的接触承压被忽略，上柱的切角在 IDEA StatiCa 中未建模。
图 3 在 IDEA StatiCa 中建模的临时拼接节点。
该节点的传力路径从上柱开始。荷载通过上部角焊缝传递至上耳板，再通过上部螺栓群传递至连接板，再通过下部螺栓群传递至下耳板，最后通过下部角焊缝传递至下柱。本研究假设柱具有足够的承载力，因此对该节点的评估包括对以下各组件的规范校核：
- 上部角焊缝
- 上耳板
- 上部螺栓群
- 连接板
- 下部螺栓群
- 下耳板
- 下部角焊缝
荷载工况决定了各组件适用的极限状态。施加于上柱的复杂组合荷载使得传统计算方法的评估较为困难。IDEA StatiCa 可以无障碍地处理一般荷载工况，而简化荷载工况将作为比较基准，以便更好地理解节点行为并建立对分析结果的信心。
对于每种荷载类型，首先进行传统计算，实质上是对节点行为和承载力形成假设。然后通过 IDEA StatiCa 分析对该假设进行验证。传统计算与 IDEA StatiCa 结果的吻合证实了假设，并增强了对两种方法的信心。若两者存在差异，则需进一步研究。
2 轴向荷载
为了通过手算方法评估该节点，必须建立一个可进行手算的简化模型。在轴向压力作用下，每个耳板拼接节点可合理简化为如图 4 所示的二维梁模型。模型在距柱面"x"处设置铰接，使模型成为静定结构。
图 4 轴向荷载作用下耳板拼接节点的简化模型
利用该模型，可计算各组件的需求强度并进行设计校核，从焊缝、焊缝附近耳板材料及螺栓开始。焊缝和螺栓群均承受偏心荷载。焊缝强度可利用 AISC 手册（AISC 2017）表 8-4 作为 x 的函数确定。焊缝附近耳板材料的强度由剪切和弯曲屈服控制，可采用基于 Drucker（1956）的以下相关方程进行评估。
其中，Vu 为耳板的需求剪切强度，等于上柱所受压力的四分之一；ϕVn 为耳板的设计剪切强度，等于 480 kips；Mu 为耳板的需求弯曲强度，等于 Vux；ϕMn 为耳板的设计弯曲强度，等于 2,880 kip-in。
螺栓群的强度可利用 AISC 手册（AISC 2017）表 7-10 和表 7-11 作为 x 的函数确定。由于螺栓水平间距为 4 英寸，需在两表之间进行插值。注意，该节点中单个螺栓的设计剪切强度为 48.7 kips，控制极限状态为螺栓剪切断裂（承压和撕裂不控制该节点）。各极限状态下每个耳板允许的最大竖向荷载如图 5 所示。
图 5 各选定极限状态的设计强度随铰接位置的变化关系
铰接的"实际"位置未知，需进行假设。根据极限分析的下限定理，若能在节点内找到一种与外荷载平衡且满足各极限状态的内力分布，则外荷载小于或至多等于导致节点破坏的荷载（Tamboli 2016）。因此，任何铰接位置的假设均可得到安全的设计。最优假设位置约为 x = 5 英寸，此时焊缝和螺栓群的强度均约为 360 kips。为完成设计，还需对其他极限状态进行评估，包括耳板的剪切断裂以及与连接板相关的极限状态。然而，这些极限状态均不控制，因此柱的最大允许轴向压力为 4×360 kips = 1,440 kips。
在建立轴向荷载作用下节点行为和承载力的假设后，可使用 IDEA StatiCa 对节点进行分析以验证该假设。IDEA StatiCa 给出的最大允许轴向压力为 1,324 kips。该值通过迭代方式确定，即调整输入荷载至程序判定为安全的值，若再增加少量荷载（如 1 kip），程序则判定为不安全。IDEA StatiCa 中焊缝和螺栓的承载比均达到 100%，为控制因素。
IDEA StatiCa 结果所反映的节点行为与传统计算中假设的行为一致。变形图和塑性应变结果（图 6）显示耳板拼接节点和焊缝群发生平面内弯曲。螺栓力（图 7）显示螺栓群发生平面内弯曲。IDEA StatiCa 给出的强度比传统计算估算值低 8%，两者较为接近，与偏心受载螺栓群和焊缝群的既往研究结果一致。
图 6 施加 1324 kips 压力时的塑性应变（变形放大系数 = 10）
图 7 施加 1324 kips 压力时连接板中的螺栓力
传统计算与 IDEA StatiCa 结果的高度吻合增强了对两种结果的信心。然而，进一步探索 IDEA StatiCa 结果可带来额外的信心。可进行屈曲分析以确认忽略几何非线性（即 P-Δ 效应）的合理性。该节点在最大允许轴向压力下的屈曲系数为 19.56。屈曲系数是弹性屈曲荷载与施加荷载之比，如此高的值表明几何非线性可忽略不计。最大允许轴向拉力与压力几乎相等，证实了对称行为，这与传统计算所用模型的预期一致。
3 弯矩
当上部构件承受弯矩时，预期每个单独耳板拼接节点的行为和强度与轴向荷载工况相似。因此，在传统计算中，绕构件 z 轴弯曲的弯矩强度可计算为单个耳板拼接节点轴向强度的两倍乘以耳板对之间的力臂（即 2×360 kips×29 in. = 20,880 kip-in.）。类似地，绕构件 y 轴弯曲的弯矩强度可计算为单个耳板拼接节点轴向强度的两倍乘以假设铰接位置之间的力臂（即 2×360 kips×39 in. = 28,080 kip-in.）。
利用轴向压力的 IDEA StatiCa 结果，绕 z 轴弯曲的弯矩强度为 2×(1,324 kips/4)×29 in. = 19,200 kip-in.，绕 y 轴弯曲的弯矩强度为 2×(1,324 kips/4)×39 in. = 25,800 kip-in.。IDEA StatiCa 给出的绕 z 轴和 y 轴弯曲的最大允许弯矩分别为 18,810 kip-in. 和 25,065 kip-in.。这些值通过前述迭代方法确定。传统计算与 IDEA StatiCa 结果再次高度吻合，表明假设的行为是准确的。
为进一步探索和验证轴向荷载与弯矩之间的假设关系，使用 IDEA StatiCa 评估相关强度。根据假设行为，相关关系应为线性，即每增加一定轴向荷载，弯矩强度减少恒定量。IDEA StatiCa 给出的相关强度如图 8 所示。如预期，轴向荷载与绕 z 轴弯曲之间的相关关系为线性。轴向荷载与绕 y 轴弯曲之间的相关关系接近线性。绕 y 轴弯曲相关关系中的微小非线性偏差可进一步研究，但简化假设行为与 IDEA StatiCa 结果之间存在一定差异是可以预期的。
图 8 轴向压力与弯矩的相关强度
4 沿 z 轴方向的剪力
评估节点在沿 z 轴方向剪力作用下的性能需要采用不同的简化行为模型。图 9 所示的二维梁模型将用于本次评估。在连接板中间高度处设置铰接，代表零弯矩点。
图 9 沿 z 轴方向剪力作用下耳板拼接节点的简化模型
与轴向荷载评估相同，首先评估焊缝、焊缝附近耳板材料及螺栓群。焊缝可利用 AISC 手册（2017）表 8-5 进行评估。采用插值得到的 C 值，单个耳板拼接的最大剪力确定为 218 kips。
焊缝附近耳板材料的强度由轴向和弯曲屈服控制，可采用基于塑性应力分布的以下相关方程进行评估。
其中，Pu 为耳板的需求轴向强度，等于上柱所受剪力的四分之一；ϕPn 为耳板的设计轴向强度，等于 720 kips；Mu 为耳板的需求弯曲强度，等于 Pu×(10 in.)；ϕMn 为耳板的设计弯曲强度，等于 2,880 kip-in.。对焊缝强度（即 Pu = 218 kips）代入相关方程，结果小于 1，表明焊缝附近耳板材料的强度不控制。
螺栓群的强度可利用 AISC 手册表 7-11 确定。采用插值得到的 C 值，单个耳板拼接的最大剪力计算为 186 kips，在目前评估的极限状态中为控制值。为完成设计，还需对其他极限状态进行评估，包括耳板的拉伸断裂以及与连接板相关的极限状态。这些极限状态均不控制，因此沿柱 z 轴方向的最大允许剪力为 4×186 kips = 744 kips。
IDEA StatiCa 给出的沿 z 轴方向的最大允许剪力为 694 kips。该值通过前述迭代方法确定。注意，剪力施加方式使零弯矩点位于上下柱之间。IDEA StatiCa 中螺栓强度为控制因素。
与前述相同，IDEA StatiCa 结果所反映的节点行为与传统计算中假设的行为一致。变形图、塑性应变结果及螺栓力（图 10 和图 11）显示耳板拼接节点、焊缝群和螺栓群发生平面内弯曲，与简化行为模型（图 9）一致。IDEA StatiCa 给出的强度比传统计算估算值低 7%。这些结果证实了传统计算所形成的假设。
图 10 施加 694 kips 沿 z 轴方向剪力时的塑性应变（变形放大系数 = 10）
图 11 施加 694 kips 沿 z 轴方向剪力时连接板中的螺栓力
5 沿 y 轴方向的剪力
评估节点在沿 y 轴方向剪力作用下的性能需要另一种简化行为模型。然而，该行为模型比其他模型更为复杂。图 9 所示的梁模型将用于本次评估，但荷载垂直于耳板节点施加，导致耳板产生平面外弯矩、平面外剪力和扭矩。AISC 规范（2016）对这种复杂荷载工况的规定较少。将采用 Dowswell（2019）提出的建议来初步了解节点的强度。Dowswell 给出了以下相关方程。
其中，Tu、Vu 和 Mu 分别为需求扭矩、剪切和弯曲强度，ϕTn、ϕVn、ϕMn 分别为设计扭矩、剪切和弯曲强度。根据图 9 所示模型并假设铰接处两个方向均无弯矩，Vu 等于上柱所受剪力的四分之一，Tu = Vu×(10 in.)，Mu = Vu×(8 in.)。假设 ϕ = 0.9，ϕTn 可按 Dowswell 推荐公式计算为
其中，Fy 为耳板的屈服强度（50 ksi），d 为耳板的高度（16 in.），t 为耳板的厚度（1 in.），L 为耳板的长度（按图 9 所示模型为 8 in.）。代入上述数值，ϕTn = 396 kip-in.。按 AISC 规范（2016）中的标准公式，ϕVn = 480 kips，ϕMn = 180 kip-in.。利用这些设计强度，满足相关方程的 Vu 最大值为 Vu = 17.9 kips。假设耳板屈服为控制因素，沿柱 z 轴方向的最大允许剪力为 4×17.9 kips = 71.6 kips。
该强度是假设的一部分，将通过 IDEA StatiCa 结果进行验证。然而，结构工程师对该预期强度的信心应低于其他荷载工况。评估的潜在控制极限状态较少，图 9 对耳板拼接节点平面外行为的近似可能不够准确，且在计算耳板强度时做出了若干假设。尽管如此，事先形成假设仍有帮助。此外，假设不仅包括强度结果，还包括预期行为，即耳板将为控制因素，且将承受扭矩、平面外剪力和平面外弯矩的组合作用。虽然对各组件刚度和强度的显式建模将克服传统计算的不确定性并得出不同的强度结果，但整体行为应保持一致。
IDEA StatiCa 给出的沿 y 轴方向的最大允许剪力为 249 kips。该值通过前述迭代方法确定。注意，剪力施加方式使零弯矩点位于上下柱之间。IDEA StatiCa 给出的强度显著大于传统计算的估算值。对节点变形图（图 12）的检查揭示了这一差异的原因。连接板刚度较大，意味着耳板的大部分扭转和平面外弯曲发生在比节点简化梁模型（图 9）中假设的长度短得多的范围内。尽管如此，节点强度仍由耳板的塑性应变控制，耳板所受荷载类型与假设行为一致。
在传统计算中采用长度 L = 2 in. 而非 L = 8 in. 重新计算耳板强度，得到沿柱 z 轴方向的最大允许剪力为 227 kips，与 IDEA StatiCa 结果更为接近。然而，事先得出该值并对其有信心是较为困难的。
图 12 施加 249 kips 沿 y 轴方向剪力时的塑性应变（变形放大系数 = 10）
6 扭矩
预期对上柱施加扭矩时，每个单独耳板拼接节点所受的荷载与上柱承受沿 y 轴方向剪力时相似。因此，与节点的弯矩强度类似，扭矩强度可由单个耳板的强度和截面几何尺寸估算。例如，扭矩强度可估算为 4 倍单个耳板强度乘以柱形心至各耳板的距离。然而，这可能是过于简化的近似。耳板位于柱角附近而非面的中心，因此柱的扭转除平面外荷载外还会对耳板施加平面内荷载。此外，每个力臂应在耳板的哪个位置量取也不明确。若不通过更详细的分析对节点行为有更好的理解和表征，可能无法得出准确且可信的扭矩强度结果。
IDEA StatiCa 给出的最大允许扭矩为 9,045 kip-in.。该值通过前述迭代方法确定。焊缝承载比控制强度。如图 13 所示，当柱承受沿 y 轴方向剪力时（图 12），每个耳板拼接节点的变形形态相似。然而，行为存在差异，最显著的是扭矩工况由焊缝承载比控制，而剪力工况由耳板塑性应变极限控制。虽然该荷载工况可进行的比较较少，但与其他荷载工况的比较已证明模型定义合理，能够提供与传统方法一致的结果。
图 13 施加 9,045 kip-in. 扭矩时的塑性应变（变形放大系数 = 10）
7 总结
结构节点的设计或评估需要良好的工程判断力。良好的工程判断力要求理解节点的行为方式。建立这种理解是评估尚无成熟设计程序的新型节点过程的一部分。在许多情况下，可通过逻辑推理建立简化行为模型，并以此为基础进行传统计算。然而，这种方法存在局限性。更先进的工具，如 CBFEM（基于组件的有限元模型），不受同样的限制，可用于更好地理解并进而设计各种类型的节点。但在定义模型和执行分析时必须谨慎，以确保结果有意义。与简化行为模型和传统计算的比较（如本研究所示）有助于确认模型定义合理且分析执行正确。
8 参考文献
AISC. (2016). Specification for Structural Steel Buildings. American Institute of Steel Construction, Chicago, Illinois.
AISC. (2017). Steel Construction Manual, 15th Edition. American Institute of Steel Construction, Chicago, Illinois.
Dowswell, B. (2019). "Torsion of Rectangular Connection Elements." Engineering Journal, AISC, 56(2), 63–87.
Drucker, D. C. (1956). "The Effect of Shear on the Plastic Bending of Beams." Journal of Applied Mechanics, 23(4), 509–514.
Tamboli, A. (2016). Handbook of Structural Steel Connection Design and Details, Third Edition. McGraw Hill, New York, NY.