长预应力混凝土梁的吊装是施工阶段中第一个可能因侧扭屈曲机制而丧失稳定性的工况。在设计方面，构件通常针对已建成结构进行侧向稳定性验算，而这并不总是控制工况，尤其是因为梁往往通过横向构件、楼板或屋面本身得到稳定。施工过程中的稳定性问题通常留给制造商和承包商处理。许多教科书中的侧向屈曲公式通用性不足，无法满足现代制造商的需求，而制造商正面临着时间和材料价格方面的压力。
在本验证报告中，我们将 IDEA StatiCa Beam 及其横向稳定性计算模块的结果与 Robert F. Mast 1989 [1] 和 Robert F. Mast 1993 [2] 所阐述的解析计算进行比较。在正文第一部分，我们简要介绍解析方法，并针对一个荷载工况给出完整的示例计算，包括所有公式和中间计算过程。随后将其与软件计算结果进行比较，最后对若干设计工况进行汇总。
滚转平衡基本理论
当梁悬挂于柔性支承（如吊环）时，可自由滚转。旋转中心为柔性支承与刚体连接的点。通过各支承处旋转中心的连线构成滚转轴。初始偏心距 ei 及铰点偏移将始终使重心略微偏离滚转轴，从而导致梁绕滚转轴倾斜一个小角度 θi。
\[\theta_{i}=tan\left(\frac{e_{i}}{y_{r}}\right)≈\frac{e_{i}}{y_{r}}\]
这一微小倾斜使梁自重分量 W sinθi 沿弱轴方向作用。梁随之发生弯曲，进一步使梁质量的重心发生偏移，导致滚转角 θ 增大，从而使横向荷载和挠度均增大。此过程持续进行，直至在略大于 θi 的角度 θ 处达到平衡，或横向挠度足以导致梁破坏为止。
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1\qquad Beam free to roll and deflect laterally – perspective}}}\]
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2\qquad Beam free to roll and deflect laterally – end view and equilibrium diagram}}}\]
沿弱轴作用的自重分量 W sinθi 引起重心产生附加横向挠度 z。为求平衡角 θ，需先求 z，但 z 由自重分量 W sinθ 决定，而后者本身又依赖于 θ。
该问题可通过以下方法求解：首先计算全部自重沿弱轴作用时重心的理论（虚拟）挠度 z0。由于弱轴分量为 W sinθ，因此 z 可表示为 z=z0 sinθ。均布荷载简支梁跨中挠度可采用如下常用公式计算：
\[\beta_{y}=\frac{5}{384}\frac{wl^{4}}{EI_{y}}\]
但 βy 是梁弧线的最大挠度，而我们需要的是 z0，即梁挠曲弧线重心的距离。z0 约为 βy 的 2/3，更精确地：
\[z_{0}=\frac{1}{120}\frac{wl^{4}}{EI_{y}}=0.64\beta_{y}\]
该公式的推导见 [1] 附录 F。平衡方程可改写为：
\[tan\theta=\frac{z_{0}sin\theta+e_{i}}{y_{r}}\]
现在唯一的未知量为 θ，可通过逐次逼近法求解。对于角度 θ < 0.2 rad，可采用近似 θ ≈ sinθ ≈ tanθ。平衡方程简化为：
\[\theta=\frac{e_{i}}{y_{r}-z_{0}}\]
吊点位置的影响
将吊点从端部移入哪怕很小的距离，也能显著改善侧向弯曲稳定性。这不仅使挠度减小（约与净跨的四次方成比例），而且由于悬挑端的自重位于滚转轴的另一侧，z0 也得到进一步改善。
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 3\qquad Computation of z0 including overhanging ends}}}\]
z0 的计算公式通过对挠曲线形状进行积分以求其形心得到。
\[z_{0}=\frac{w}{12EI_{y}l}\left( \frac{1}{10}l_{1}^{5}-a^{2}l_{1}^{3}+3a^{4}l_{1}+\frac{6}{5}a^{5} \right)\]
对比算例
本文旨在验证 IDEA StatiCa Beam 中梁吊装工况横向稳定性计算的正确性。值得注意的是，所有设计工况均采用相同的几何和材料双重非线性求解器，仅边界条件或初始条件有所不同。为与上述解析方法进行结果比较，选取一根工字形截面等截面梁作为算例，该梁施加轴心预应力，使法向力约为 Np = 1600 kN。梁还配置了如图所示的 B500B 混凝土钢筋，混凝土强度等级为 C40/50。预应力的选取保证在所有验算工况下均不出现开裂。
软件分析采用双线性应力-应变设计图，其中弹性段弹性模量可简单确定为 Ecd=fcd/εc3。
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4\qquad Perspective view of the beam under examination}}}\]
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5\qquad Geometry and reinforcement}}}\]
请注意，图 5 中的轴标注与前述理论介绍中的标注不同，前述理论介绍中的标注依据 [1] 和 [2]。
梁将通过高度为 hh = 150 mm 的吊钩悬挂。即 yr = 0.5h + hh = 600 + 150 = 750 mm。
解析计算
计算原理已在本文开头介绍。现在我们将详细分析其中一个设计工况，并与软件计算结果进行比较。铰点设置在 a = 1.0 m 处，初始偏心距取 eig = 350 mm。这是变形梁的几何初始偏心距，即弧线的最大挠度。因此，这并非上述手算中所用的重心相对于滚转轴的初始偏心距 ei。出于实用考虑，eig 值作为 IDEA StatiCa Beam 软件的输入参数。对于所有考虑的工况，均通过 CAD 软件中的图解法将 eig 值转换为 ei 值。
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6\qquad Non-iterative approach}}}\]
由于所得角度 θ > 0.2 rad，我们将在不使用上述近似 θ ≈ sinθ ≈ tanθ 的情况下验证结果的正确性。此时需进行迭代计算，首先计算初始滚转角 θi，然后迭代至计算收敛。
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 7\qquad Iterative approach}}}\]
现在，让我们来看看 IDEA StatiCa Beam 及其侧向稳定性模块是如何计算同一问题的。计算输入值如图 8 所示，动力系数及其他组合系数均设为 1.0。
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 8\qquad Lateral stability data input}}}\]
IDEA StatiCa Beam 计算结果
为进行验证，我们比较梁的转角值，因为该值是求解器的基本输出量。其他输出量（如变形和内力）均直接依赖于梁的转角。首先，我们查看初始转角 θinit = 220.4 mrad，该值应与解析计算中的 θi = 227 mrad 相对应。
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 9\qquad Initial rotation}}}\]
最后，我们可以比较梁整体转角的计算结果，如图 10 所示，其中标注了梁端和跨中处的数值。由此可以观察到梁抗扭刚度的影响，而这一影响在解析计算中未予考虑。
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 10\qquad Final rotation}}}\]
全部算例
本章给出了所研究梁在不同初始缺陷与吊点位置组合下的全部验算工况。
θinit 为软件计算所得初始转角值，应与解析计算中的 θi 进行比较。θinc 为软件计算所得转角增量，由自重引起的横向变形所产生的附加转角引起；θtot 为最终转角，应与解析计算中的 θ 值进行比较。
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 11\qquad Design situation 1}}}\]
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 12\qquad Design situation 2}}}\]
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 12\qquad Design situation 3}}}\]
结论
本文将依据 [1] 和 [2] 对梁吊装设计工况进行横向稳定性解析计算的结果，与在 IDEA StatiCa Beam 中进行的完全材料和几何非线性有限元分析结果进行了比较。结果表明，更为精细的分析方法具有很高的准确性、可靠性和足够的精度。由于其通用性，该方法还可在无需简化和繁琐手算的情况下覆盖更大范围的设计工况。此外，我们还可以观察到铰点在何位置时梁达到平衡状态而不发生转动。在该状态下，悬挑端产生的稳定力矩等于梁挠曲引起的失稳力矩。
参考文献
[1] Mast, R. F. (1989). "Lateral Stability of Long Prestressed Concrete Beams, Part 1." PCI J. 34(1), 34–53.
[2] Mast, R. F. (1993). "Lateral Stability of Long Prestressed Concrete Beams, Part 2." PCI J., 38(1), 70–88.