3.1 Trạng thái giới hạn và tính toán bề rộng vết nứt

Tính toán bề rộng vết nứt

Có hai cách tính bề rộng vết nứt - nứt ổn định và nứt chưa ổn định. Theo tỷ lệ cốt thép hình học trong từng phần của kết cấu, mô hình tính toán vết nứt phù hợp sẽ được lựa chọn (TCM cho nứt ổn định và POM cho mô hình nứt chưa ổn định).

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 20 \qquad Crack width calculation: (a) considered crack kinematics; (b) projection of crack kinematics into the principal}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{directions of the reinforcing bar; (c) crack width in the direction of the reinforcing bar for stabilized cracking; (d) cases with}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{local non-stabilized cracking regardless of the reinforcement amount; (e) crack width in the direction of the reinforcing bar}}}$$\textsf{\textit{\footnotesize{for non-stabilized cracking.}}}$

Trong khi CSFM (phương pháp trường ứng suất tương thích) cho kết quả trực tiếp cho hầu hết các kiểm tra (ví dụ: khả năng chịu lực của cấu kiện, độ võng…), kết quả bề rộng vết nứt được tính từ kết quả biến dạng cốt thép do phân tích phần tử hữu hạn cung cấp trực tiếp theo phương pháp mô tả trong Hình 20. Động học vết nứt không có trượt (mở vết nứt thuần túy) được xem xét (Hình 20a), phù hợp với các giả định chính của mô hình. Các phương chính của ứng suất và biến dạng xác định độ nghiêng của vết nứt (θ_r = θ_s= θ_e). Theo (Hình 20b), bề rộng vết nứt (w) có thể được chiếu theo phương của thanh cốt thép (w_b), dẫn đến:

$$w = \frac{w_b}{\cos\left(θ_r + θ_b - \frac{π}{2}\right)}$$

trong đó θ_b là độ nghiêng của thanh cốt thép.

Lưu ý rằng chương trình hiển thị các giá trị θ_r và θ_b < π/2. Điều này có nghĩa là phương trình trước hoạt động cho các trường hợp mà cốt thép và vết nứt đi qua các góc phần tư khác nhau của hệ tọa độ Descartes như thể hiện trong Hình 20, trong đó cốt thép đi qua góc phần tư I và III, còn vết nứt đi qua góc phần tư II và IV. Đối với các trường hợp mà cốt thép và vết nứt đi qua cùng một góc phần tư, phương trình phải được điều chỉnh như sau:

$$w = \frac{w_b}{\cos\left(-θ_r + θ_b + \frac{π}{2}\right)}$$

Thành phần w_b được tính toán nhất quán dựa trên các mô hình tăng cứng do kéo bằng cách tích phân biến dạng cốt thép. Đối với những vùng có hình thái vết nứt phát triển đầy đủ, biến dạng trung bình tính toán (e_m) dọc theo các thanh cốt thép được tích phân trực tiếp theo khoảng cách vết nứt (s_r), như chỉ ra trong (Hình 20c). Mặc dù cách tiếp cận tính toán phương của vết nứt này không tương ứng với vị trí thực tế của vết nứt, nhưng nó vẫn cung cấp các giá trị đại diện dẫn đến kết quả bề rộng vết nứt có thể so sánh với các giá trị bề rộng vết nứt yêu cầu theo tiêu chuẩn tại vị trí của thanh cốt thép.

Các tình huống đặc biệt được quan sát tại các góc lõm của kết cấu được tính toán. Trong trường hợp này, góc lõm xác định trước vị trí của một vết nứt đơn lẻ có hành vi chưa ổn định trước khi các vết nứt lân cận bổ sung phát triển. Các vết nứt bổ sung này thường phát triển sau phạm vi trạng thái giới hạn sử dụng (Mata-Falcón 2015), điều này biện minh cho việc tính toán bề rộng vết nứt trong vùng đó như thể chúng là vết nứt chưa ổn định (Hình 21).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 21\qquad Definition of the region at concave corners in which the crack width is computed as if it were non-stabilized.}}}$$

Tăng cứng do kéo

Việc triển khai tăng cứng do kéo phân biệt giữa các trường hợp hình thái vết nứt ổn định và chưa ổn định. Trong cả hai trường hợp, bê tông được coi là đã nứt hoàn toàn trước khi chịu tải theo mặc định.

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 22\qquad Tension stiffening model: (a) tension chord element for stabilized cracking with distribution of bond shear,}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{steel and concrete stresses, and steel strains between cracks, considering average crack spacing); (b) pull-out assumption}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{for non-stabilized cracking with distribution of bond shear and steel stresses and strains around the crack; (c) resulting}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{tension chord behavior in terms of reinforcement stresses at the cracks and average strains for European B500B steel;}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{(d) detail of the initial branches of the tension chord response.}}}$

Nứt ổn định

Trong các hình thái vết nứt phát triển đầy đủ, tăng cứng do kéo được đưa vào bằng cách sử dụng Mô hình dây chịu kéo (TCM) (Marti et al. 1998; Alvarez 1998) – Hình 22a – đã được chứng minh là cho kết quả dự đoán phản ứng xuất sắc mặc dù đơn giản (Burns 2012). TCM giả định quan hệ ứng suất cắt liên kết - trượt dạng bậc thang, cứng - dẻo hoàn toàn với τ_b = τ_b0 =2 f_ctm khi σ_s ≤ f_y và τ_b =τ_b1 = f_ctm khi σ_s > f_y. Coi mỗi thanh cốt thép là một dây chịu kéo ­– Hình 22b và Hình 22a – sự phân bố ứng suất cắt liên kết, ứng suất thép và bê tông, và do đó phân bố biến dạng giữa hai vết nứt có thể được xác định cho bất kỳ giá trị nào của ứng suất thép tối đa (hoặc biến dạng) tại các vết nứt.

Với s_r = s_r0, một vết nứt mới có thể hình thành hoặc không vì tại điểm giữa hai vết nứt σ_c1 = f_ct. Do đó, khoảng cách vết nứt có thể thay đổi theo hệ số hai, tức là s_r = λs_r0, với l = 0,5…1,0. Giả định một giá trị nhất định cho λ, biến dạng trung bình của dây (ε_m) có thể được biểu diễn như một hàm của ứng suất cốt thép tối đa (tức là ứng suất tại các vết nứt, σ_sr). Đối với biểu đồ ứng suất - biến dạng hai đường tuyến tính lý tưởng hóa cho các thanh cốt thép trần được xem xét theo mặc định trong CSFM (phương pháp trường ứng suất tương thích), các biểu thức giải tích dạng đóng sau đây được thu được (Marti et al. 1998):

$$\varepsilon_m = \frac{\sigma_{sr}}{E_s} - \frac{\tau_{b0}s_r}{E_s Ø}$$

$$\textrm{for}\qquad\qquad\sigma_{sr} \le f_y$$

$${\varepsilon_m} = \frac{{{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}^2}Ø}}{{4{E_{sh}}{\tau _{b1}}{s_r}}}\left( {1 - \frac{{{E_{sh}}{\tau_{b0}}}}{{{E_s}{\tau_{b1}}}}} \right) + \frac{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}}{{{E_s}}}\frac{{{\tau_{b0}}}}{{{\tau_{b1}}}} + \left( {{\varepsilon_y} - \frac{{{\tau_{b0}}{s_r}}}{{{E_s}Ø}}} \right)$$

$$\textrm{for}\qquad\qquad{f_y} \le {\sigma _{sr}} \le \left( {{f_y} + \frac{{2{\tau _{b1}}{s_r}}}{Ø}} \right)$$

$$\varepsilon_m = \frac{f_s}{E_s} + \frac{\sigma_{sr}-f_y}{E_{sh}} - \frac{\tau_{b1} s_r}{E_{sh} Ø}$$

$$\textrm{for}\qquad\qquad\left(f_y + \frac{2\tau_{b1}s_r}{Ø}\right) \le \sigma_{sr} \le f_t$$

trong đó:
E_sh           mô đun hóa bền của thép E_sh = (f_t – f_y)/(ε_u – f_y /E_s) ,

E_s            mô đun đàn hồi của cốt thép,

Ø            đường kính thanh cốt thép,

s_r                khoảng cách vết nứt,

σ_sr           ứng suất cốt thép tại các vết nứt,

σ_s            ứng suất cốt thép thực tế,

f_y                giới hạn chảy của cốt thép.

Việc triển khai CSFM (phương pháp trường ứng suất tương thích) trong IDEA StatiCa Detail xem xét khoảng cách vết nứt trung bình theo mặc định khi thực hiện phân tích trường ứng suất có hỗ trợ máy tính. Khoảng cách vết nứt trung bình được coi là 2/3 khoảng cách vết nứt tối đa (λ = 0,67), theo các khuyến nghị được đưa ra dựa trên các thí nghiệm uốn và kéo (Broms 1965; Beeby 1979; Meier 1983). Cần lưu ý rằng các tính toán bề rộng vết nứt xem xét khoảng cách vết nứt tối đa (λ = 1,0) để thu được các giá trị thiên về an toàn.

Việc áp dụng TCM phụ thuộc vào tỷ lệ cốt thép, và do đó việc gán diện tích bê tông chịu kéo phù hợp giữa các vết nứt cho mỗi thanh cốt thép là rất quan trọng. Một quy trình số tự động đã được phát triển để xác định tỷ lệ cốt thép hiệu quả tương ứng (ρ_eff = A_s/A_c,eff) cho bất kỳ cấu hình nào, kể cả cốt thép xiên (Hình 23).

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 23\qquad Effective area of concrete in tension for stabilized cracking: (a) maximum concrete area that can be activated;}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{(b) cover and global symmetry condition; (c) resultant effective area.}}}$

Nứt chưa ổn định

Các vết nứt tồn tại trong các vùng có tỷ lệ cốt thép hình học thấp hơn ρ_cr, tức là lượng cốt thép tối thiểu mà cốt thép có thể chịu tải trọng gây nứt mà không bị chảy dẻo, được tạo ra bởi các tác động phi cơ học (ví dụ: co ngót) hoặc sự lan truyền của các vết nứt được kiểm soát bởi cốt thép khác. Giá trị cốt thép tối thiểu này được xác định như sau:

$${\rho _{cr}} = \frac{{{f_{ct}}}}{{{f_y} - \left( {n - 1} \right){f_{ct}}}}$$

trong đó:

f_y              giới hạn chảy của cốt thép,

f_ct             cường độ chịu kéo của bê tông,

n              tỷ số mô đun, n = E_s / E_c .

Đối với bê tông và cốt thép thông thường, ρ_cr xấp xỉ 0,6%.

Đối với đai thép có tỷ lệ cốt thép thấp hơn ρ_cr, nứt được coi là chưa ổn định và tăng cứng do kéo được triển khai bằng Mô hình kéo nhổ (POM) mô tả trong Hình 22b. Mô hình này phân tích hành vi của một vết nứt đơn lẻ không xét tương tác cơ học giữa các vết nứt riêng biệt, bỏ qua khả năng biến dạng của bê tông chịu kéo và giả định quan hệ ứng suất cắt liên kết - trượt dạng bậc thang, cứng - dẻo hoàn toàn giống như TCM. Điều này cho phép xác định phân bố biến dạng cốt thép (ε_s) trong vùng lân cận vết nứt cho bất kỳ ứng suất thép tối đa nào tại vết nứt (σ_sr) trực tiếp từ điều kiện cân bằng. Do khoảng cách vết nứt chưa xác định đối với hình thái vết nứt chưa phát triển đầy đủ, biến dạng trung bình (ε_m) được tính cho bất kỳ mức tải nào trên khoảng cách giữa các điểm có trượt bằng không khi thanh cốt thép đạt cường độ chịu kéo (f_t) tại vết nứt (l_ε,avg trong Hình 22b), dẫn đến các quan hệ sau:

Các mô hình đề xuất cho phép tính toán hành vi của cốt thép có liên kết dính, cuối cùng được xem xét trong phân tích. Hành vi này (bao gồm tăng cứng do kéo) đối với loại cốt thép châu Âu phổ biến nhất (B500B, với f_t / f_y = 1,08 và ε_u = 5%) được minh họa trong Hình 22c-d.