In de praktijk worden de Strut-and-Tie (S&T) en Stress Fields Methods standaard gebruikt om discontinuïteitsgebieden in gewapende en voorgespannen betonconstructies te ontwerpen. De Compatible Stress Field Method (CSFM) is ontwikkeld door deze klassieke theorieën uit te breiden, waardoor een hoge mate van automatisering mogelijk is en consistent met de ontwerpstandaard. Ondanks de eenvoud geeft de methode een zeer realistische beschrijving van de respons van een betonconstructie, zowel in de uiterste grenstoestand (ULS) als in de bruikbaarheidsgrenstoestand (SLS). De CSFM is geïmplementeerd in IDEA StatiCa Detail.
Fig. 1 a) Wand met openingen b) Schuifwand c) Ligger met afgeschuinde uiteinden en openingen d) Brugpijler e) Brugdiafragma
Standaardprocedures voor het ontwerpen van doorsneden van betonconstructies zijn van toepassing op delen waar de Bernoulli-Navier hypothese van vlakke spanningsverdeling van toepassing is (regio B). De plaatsen waar deze hypothese niet van toepassing is, worden discontinuïteitsgebieden (D-gebieden) genoemd. Dit zijn delen van constructies waar geconcentreerde belastingen optreden of waar er een plotselinge verandering in de doorsnede is, zoals afgeschuinde uiteinden (Fig. 1c), diepe liggers, wanden met openingen (Fig. 1a, 1b), of kraagstenen en paalkappen. Op het gebied van bruggenbouw zijn dit bijvoorbeeld piercaps (Fig. 1d), diafragma (Fig. 1e), deviatoren, enz.
1. Methode met stutten en verbindingen
De basisaanname bij het definiëren van een W&T-model is dat de treksterkte van beton wordt verwaarloosd. Een eenvoudig vakwerkmodel bestaat uit elementen die in druk en trek werken en ULS gedrag weergeven. In het algemeen is dit geen complex probleem en het definiëren van een basis W&T-model (fig. 2a) zou geen probleem moeten zijn voor een ervaren ingenieur. Maar zelfs voor deze basistaak kan de juiste beoordeling van het model in overeenstemming met de ontwerpnorm een vervelend, handmatig en iteratief proces zijn.
Fig. 2 a) W&T-model optie 1 b) W&T-model optie 2 c) W&T-model optie
Verbindingen, knooppuntgebieden en dwarse trekspanning in stutten moeten worden beoordeeld. Als het model de controle niet doorstaat, moet een W&T-geometrie worden aangepast of moet een ander W&T-model worden gekozen (fig. 2b, 2c). Dit leidt er vaak toe dat de constructeur de geometrie van het W&T-model maar één keer kiest en alleen de wapening beoordeelt. Dit kan tot een aanzienlijke fout leiden. De keuze van het model is altijd een kwestie van ervaring. Voor complexere constructiedetails kan het kiezen van een W&T die voldoende overeenkomt met het werkelijke gedrag van de constructie niet zo eenvoudig zijn als in het bovenstaande geval. Bovendien is de S&T alleen een methode voor het ontwerpen van uiterste grenstoestanden. Het is niet mogelijk om de uiterste gebruikstoestanden (vervorming, scheurvorming) te ontwerpen, die kritieke criteria zijn, vooral in constructies van significant belang, omdat ze een directe invloed hebben op de levensduur van de constructie.
2. Compatibele spanningsveldmethode - CSFM
CSFM is een moderne niet-lineaire methode voor de analyse van D-gebieden en elementen waarvan het gedrag kan worden vereenvoudigd tot vlakke spanning, d.w.z. een 2D-model. Het is echter nog steeds gebaseerd op een fundamentele en veilige aanname van de normen: beton werkt niet op trek en alle spanning moet worden overgebracht door wapening. De Compatibele Spanningsveld Methode (CSFM) is een evolutie van de W&T- en spanningsveldmethoden, waarbij hun belangrijkste hierboven genoemde nadelen worden weggenomen: onzekerheden in modelselectie, moeilijkheid in automatisering en onvermogen om bruikbaarheidslimiettoestanden te beoordelen.
Fig. 3 a) Gewone spanning b) Hoofdspanning c) CSFM
Het principe van CSFM kan worden uitgelegd aan de hand van de hoofdspanning van het basisvlakelement van een gewapende betonconstructie. Fig. 3a toont het 2D basiselement in gewone spanning zoals we die kennen uit alle leerboeken over elasticiteit en sterkte. Dit is de spanning op één punt in de constructie, bijvoorbeeld verkregen door lineaire elastische analyse met de eindige-elementenmethode (FEM). Het element wordt onderworpen aan een horizontale normaalspanning σx, een verticale normaalspanning σz en een schuifspanning τxz. Uit deze spanningen kunnen de zogenaamde hoofdspanningen en hun richting bepaald door de hoek θ worden bepaald (Fig. 3b). Het element wordt dan onderworpen aan de hoofdtrekspanning σ1 en de hoofddrukspanning σ2.
Hoe ziet de rek van hetzelfde element geanalyseerd met CSFM eruit? De rek wordt getoond in Figuur 3c. Het samengedrukte beton verschijnt in de richting van de hoofddrukspanning σ2. En een spanningsveld met spanning σc2 wordt gegenereerd. Zoals hierboven vermeld, is de basisaanname dat het beton niet op trek werkt. Daarom zal de dwarse hoofdtrekspanning σ1 niet worden overgedragen door het beton en zal zich een scheur vormen loodrecht op de richting. De spanning σc1r moet daarom nul zijn. Om het falen van ons 2D element te voorkomen, moet alle trekspanning worden overgedragen door de wapening (aangegeven in blauw in Fig. 3c), die deel moet uitmaken van het rekenmodel.
Als deze spanningsanalyse met CSFM continu wordt uitgevoerd over het gehele 2D-gebied dat moet worden opgelost, is het resultaat een continu drukveld in beton plus trek- en drukspanningen in de wapening. Een vereenvoudigde grafische weergave van het CSFM-spanningsveld wordt getoond in afbeelding 4. Naast het beton- en wapeningsgebruik geeft de figuur ook de variërende richtingen van de berekende spanningen σc2 langs de regio's weer.
Fig. 4 Algemene resultaten van IDEA StatiCa Detail
De analyse van een detail of constructie met CSFM is gebaseerd op de eindige-elementenmethode. Het beton wordt gemodelleerd met 2D-wandelementen en de wapening met 1D-elementen (fig. 7). De analyse wordt niet in één stap uitgevoerd omdat het een niet-lineair probleem is. Belastingen worden in stappen aangebracht tijdens de berekening en de oplossing van het niet-lineaire stelsel van vergelijkingen wordt gevonden met behulp van de Newton-Raphson methode.
De fictieve uitgesmeerde scheuren (ε1 is de gemiddelde waarde) worden "gevormd" loodrecht op de richting van de hoofdspanningen, die tijdens de niet-lineaire berekening kunnen veranderen als het element "progressief scheurt" door elke belastingsstap. Samengevat wordt een fictieve spanningsvrije roterende scheur beschouwd.
Het resultaat van de FEM-oplossing met CSFM is een compatibel spanningsveld (d.w.z. het beton breekt niet in individuele onafhankelijk werkende stutten in het model) en de spanningstoestand, die continu zijn in het hele 2D-domein dat wordt opgelost. Dit is een groot voordeel ten opzichte van klassieke W&T-benaderingen en maakt het mogelijk om het rekenmodel te automatiseren en te verfijnen, zoals beschreven in de volgende paragrafen.
Fig. 5 Principe van betonverzachting
De eenvoudige formulering van het CSFM maakt het mogelijk om het standaard eenassig parabolisch-rechthoekig spanning-rekdiagram te gebruiken voor beton in druk volgens de ontwerpnorm. Zoals bekend neemt de druksterkte van beton af wanneer het beton beschadigd raakt door dwarsscheuren (fig. 5). Dit zogenaamde compressieverzachtende effect is in de methode opgenomen door automatisch rekening te houden met de effectieve druksterkte van het beton.
Gebaseerd op het niveau van de dwarse trekspanningen ε1, wordt de reductiefactor kc bepaald en wordt het spanning-rek diagram van het beton aangepast (Fig. 5). Omdat het spanningsveld in de hele constructie bekend is, kan de effectieve druksterkte van het beton automatisch worden berekend in individuele doorsneden, afhankelijk van het lokale niveau van de dwarstrekspanningen ε1.
Fig. 6 Principe van trekverstijving
Bovendien houdt de CSFM rekening met het verstijvingseffect van het trekbeton tussen de scheuren op de wapening, de zogenaamde trekverstijving. In het rekenmodel wordt de gemiddelde wapeningsverhouding εm gebruikt. Vervolgens wordt het spanning-rekdiagram van de wapening aangepast (Fig. 6). Dit maakt een realistische weergave mogelijk van de stijfheid van een gewapende betonconstructie die beschadigd is door scheuren. Het is echter nog steeds zo dat de treksterkte van beton niet bijdraagt aan de uiteindelijke capaciteit. De maximale spanning in de wapening σsr in de scheuren is kritisch voor het ontwerp (Fig. 6).
CSFM gebruikt gebruikelijke eenassige materiaalmodellen (spanning-rekdiagrammen) die zijn gedefinieerd in ontwerpnormen. De standaardmethode, de partiële veiligheidsfactor methode, wordt dan gebruikt om de ULS te bepalen. De eenvoud van de methode maakt deze geschikt voor de engineeringpraktijk en is consistent met de ontwerpnormen.
Hoewel het een niet-lineaire FEA-analyse is, hoeft de constructeur geen extra materiaaleigenschappen en betoneigenschappen in de berekening in te voeren die misschien niet eens beschikbaar zijn in het ontwerpstadium en die wel nodig zijn, bijvoorbeeld niet-lineaire FEA-analyses gebaseerd op breukmechanica. Zoals reeds aangegeven, is een groot voordeel van CSFM-analyse, naast de uiterste grenstoestanden, de mogelijkheid om bruikbaarheidsgrenstoestanden te beoordelen : doorbuigingen, spanningsbeperkingen en in het bijzonder scheurwijdte.
Fig. 7 Voorbeeld van eindige elementen modelweergave in IDEA StatiCa Detail
(Fig. 7) Het FEM-model in CSFM is opgebouwd uit verschillende typen eindige elementen:
- 1-D element met axiale stijfheid voor wapening
- 2-D isoparametrisch element voor beton
- Eindveren voor het wapeningsverankeringsmodel met eindbehandeling
- Speciaal 2-D element om de cohesie tussen wapening en beton te modelleren
- Starre en interpolerende beperkingen (MPC) tussen cohesie-elementen en beton
Als de ontworpen wapening bros bezwijken van het element voorkomt, blijkt de CSFM zeer goede voorspellingen te geven van de respons en de uiteindelijke capaciteit van de constructie ondanks de eenvoud van de formulering. Met andere woorden, de methode is niet geschikt voor bijvoorbeeld het ontwerp van liggers zonder dwarskrachtwapening die mogelijk bros gedrag vertonen. Verificaties van de methode, inclusief experimenten, worden gegeven in [1]. Een meer gedetailleerde beschrijving van de methode valt buiten het bestek van dit artikel en kan ook worden gevonden in Theoretische achtergrond.
Het is duidelijk dat de principes van CSFM algemeen zijn en dat de toepassing dus niet beperkt is tot D-regio's, maar gebruikt kan worden om hele elementen te modelleren, zoals prefab liggers, en waarbij het element vereenvoudigd kan worden tot een vlak 2D-model. De methode en de implementatie ervan in software (IDEA StatiCa Detail) zijn ook uitgebreid met de mogelijkheid om voorgespannen en nagespannen wapening te specificeren.
3. Voorbeeld van het ontwerp van piercaps
De praktische toepassing van CSFM wordt getoond in het ontwerp van de brugpijerkap in afbeelding 8. Dit is de tweede pijler van een doorlopende brug. Dit is de tweede pier van een doorlopende brug met drie overspanningen van 30,0 m, 42,0 m en 30,0 m. De kop van de gewapend betonnen pier is ontworpen in C40/50 beton en de dikte (in de lengterichting van de brug) is 2,0 m.
Fig. 8 Pierkap: a) Samenvattend ontwerp; b) Drukspanning in beton in ULS; c) Trekspanning in wapening in ULS; d) Scheurwijdte in SLS
Aan de bovenkant van de pier is eerst een dwarsbalk van B500 wapening 20xϕ28+20xϕ25 - de bovenste vier lagen - ontworpen. Afbeelding 8a toont een beknopt ontwerp bij de uiterste grenstoestand, met de drukspanningen in het beton, de richtingen van de drukspanningen en de spanningen in de wapening. Meer gedetailleerde spanningsverdelingen in het beton en de wapening zijn vervolgens weergegeven in afbeelding 8b en 8c. De dwarswapening ligt net onder de vloeigrens en ook de spanningen in het beton (en de relatieve spanningen) zijn voldoende bij ULS. Het resultaat van de scheurwijdteberekening (Fig. 8d) toont echter dat het ontwerp niet voldoet in SLS: wmax = 0,36 mm > wlim = 0,3 mm.Om aan de grenswaarde voor scheurwijdte te voldoen, is het noodzakelijk om de wapening van de dwarsbalkte verhogen naar 20xϕ32+20xϕ28. In het geval van wlim = 0,2 mm (b.v. een pier in de buurt van een weg die zoutsproeinevel genereert, omgevingsinvloedsniveau XF2), zou de wapening van de dwarsbalk zelfs verhoogd moeten worden tot 24xϕ32+24xϕ28.
Conclusie
CSFM is geschikt voor de engineeringpraktijk omdat het eenvoudige materiaalmodellen gebruikt die gedefinieerd zijn in een ontwerpnorm. Naast de uiterste grenstoestanden kunnen ook de bruikbaarheidsgrenstoestanden worden ontworpen. De beoordeling hiervan was voorheen moeilijk voor te stellen bij het gebruik van W&T-modellen. Door de methode in IDAStatiCa Detail te implementeren, is het mogelijk om de respons van de constructie realistisch vast te leggen en om discontinuïteitsgebieden en grotere samenstellingen efficiënt en veilig te ontwerpen en te beoordelen.
De CSFM is voornamelijk ontwikkeld door het werk van professor Walter Kaufmann, hoofd van de leerstoel Structural Engineering aan het Swiss Federal Institute of Technology (ETH) Zürich. Hij en zijn team hebben ook de methode en de software-implementatie geverifieerd.
Literatuur
[1] KAUFMANN, Walter, et al: Compatible stress field design of structural concrete, ETH Zürich, 2020, ISBN 978-3-906916-95-8,
[2] KAUFMANN, W., MARTI, P.: Structureel beton: Cracked Membrane Model. Journal of Structural Engineering 124 (12): 1467-75, 1998 https://doi.org/10.1061/(ASCE)0733-9445(1998)124:12(1467)
[3] KRAUS, M., M. WEBER, W. KAUFMANN, W, BOBEK, L.: Numerieke analyse van experimenteel geteste kozijnhoeken met openingsmomenten met behulp van de Compatible Stress Field Method (CSFM). In: Computational Modelling of Concrete and Concrete Structures, pp. 694-03. CRC Press, 2022 https://doi.org/10.1201/9781003316404
Auteur
Ing. Pavel Kaláb, Ph.D.
IDEA StatiCa s.r.o.