Die Eingabe von Schnittgrößen
Die Eingabe der Schnittgrößen von 2D-Teilen hängt von der Art des 2D-Elements ab:
- Schalenplatte – Membrankräfte (nx, ny und nxy), Biegemomente (mx, my und mxy) und Querkräfte (vx und vy) können eingegeben werden
- Schalen-Wand-Membrankräfte (nx, ny und nxy), Biegemomente (mx, my und mxy) und Querkräfte (vx und vy) können eingegeben werden
- Platte – es können nur Biegemomente (mx, my und mxy) und Querkräfte (vx und vy) eingegeben werden
- Wand – es können nur Membrankräfte (nx, ny und nxy) eingegeben werden
- Schalen – es können nur Membrankräfte (nx, ny und nxy) eingegeben werden
| Beschreibung | |
| mx(y) | Biegemoment in Richtung der x(y)-Achse. Ein positiver Wert verursacht Spannungen an der Unterseite eines 2D-Elements. |
| mxy(yx) | Torsionsmoment um die y (x)-Achse, die auf die Kante parallel zur Achse x (y) wirkt. Ein positiver Wert verursacht eine Zugschubspannung an der Unterseite eines 2D-Elements. Da in jedem Punkt des 2D-Elementsatzes die Gleichheit der horizontalen Schubspannungen gültig ist, sind die Torsionsmomente mxy = myx auch in jedem Punkt des 2D-Elements gleich. Daher wird nur der Wert von mxy in das Programm eingegeben. |
| nx(y) | Normalkraft in Richtung der x(y)-Achse. Der positive Wert wirkt in Richtung der x(y)-Achse und verursacht Spannungen im Schnitt. |
| nxy(yx) | Normalkraft, die in der Mittelebene in Richtung der y(x)-Achse auf der Kante parallel zur x(y)-Achse wirkt. Der positive Wert wirkt in Richtung der x(y)-Achse. Da in jedem Punkt des 2D-Elementsatzes die Gleichheit der horizontalen Schubspannungen gültig ist, sind die Normalkräfte nxy = nyx auch in jedem Punkt des 2D-Elements gleich. Daher wird nur der Wert von nxy in das Programm eingetragen. |
| vx(y) | Querkraft, die senkrecht zur Mittelebene auf der Kante parallel zur x(y)-Achse wirkt. Der positive Wert wirkt in Richtung der z-Achse. |
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Vorzeichenkonvention der Schnittgröße}}}\]
Für die Nachweise müssen folgende Arten von Kombinationen definiert werden:
- Grenzzustand der Tragfähigkeit – Schnittgrößenkomponenten, die für diese Art von Kombinationen definiert sind, werden für GZT-Nachweise von 2D-Elementen verwendet:
- Kapazität N-M-M
- Antwort N-M-M
- Wechselwirkung
und die Überprüfung der Detailbestimmungen
- Selten – Schnittgrößenkomponenten, die für diese Art von Kombination definiert sind, werden für den Nachweis der Spannungsbegrenzung (GZG) verwendet
- Quasi-permanent – Schnittgrößenkomponenten, die für diese Art von Kombination definiert sind, werden zum Nachweis der Rissbreite (GZG) verwendet
| Bemerkung: |
| Die Schnittgrößenkomponenten vx und vy müssen für die Kombinationsarten Selten und Quasi-permanent nicht eingegeben werden, da diese Werte nicht in Nachweisen verwendet werden. |
Bestimmen der Richtung der Prüfung
Die Richtung der Nachweise muss für die ordnungsgemäße Überprüfung des 2D-Elements festgelegt werden. Die Richtung der Nachweise kann für jede Kombinationsart separat eingegeben werden, indem die folgenden beiden Methoden verwendet werden:
- Benutzerdefinierte Richtung – Der Benutzer definiert die Nachweisrichtung als Winkel relativ zur x-Achse in der Ebene des 2D-Elements. Diese Option ist als Standard für den Kombinationstyp GZT festgelegt, und der vordefinierte Wert des Winkels ist 0 Grad. Die Nachweise werden in folgende Richtungen durchgeführt:
- Definierte Richtung
- Richtung senkrecht zur definierten Richtung
- Richtung der Druckdiagonale an der Oberseite
- Richtung der Druckdiagonale an der Unterseite
- Richtung der Hauptspannungen – die Nachweisrichtung wird automatisch als Richtung der Hauptspannungen an der oberen und unteren Fläche des 2D-Elements berechnet. Diese Option ist als Standard für die Kombinationstypen Selten und Quasi-permanent eingestellt. Die Nachweise werden in folgende Richtungen durchgeführt:
- Richtung der Hauptspannungen an der Unterseite
- Richtung senkrecht zur Richtung der Hauptspannungen an der Unterseite
- Richtung der Druckdiagonale an der Unterseite
- Richtung der Hauptspannungen an der Oberseite
- Richtung senkrecht zur Richtung der Hauptspannungen an der Oberseite
- Richtung der Druckdiagonale an der Oberseite
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Neuberechnete Schnittgrößen in Eingangsrichtung nach der Theorie von Baumann}}}\]
Analyse der Nachweisrichtung für den Grenzzustand der Tragfähigkeit
Analyse 1
Für ein 2D-Element, das nur durch Biegemomente belastet wird (mx = 20 kNm/m, my = 10 kNm/m, mxy = 5 kNm/m ), wobei der Bewehrungswinkel und der Nachweiswinkel für den Grenzzustand der Tragfähigkeit geändert wurden, sind die Ergebnisse in der folgenden Grafik dargestellt:
Die Analyse impliziert:
- Wenn Bewehrungsstäbe senkrecht zueinander stehen, sind die Nachweisergebnisse für verschiedene Nachweisrichtungswinkel ähnlich, sie sind nicht vom definierten Bewehrungswinkel abhängig und der Maximalwert des Nachweises wird für die Winkel 0, 45 und 90 Grad ermittelt. Somit kann diese Prüfung für eine vordefinierte Richtung eines Prüfwinkels von 0 Grad durchgeführt werden.
- Wenn Bewehrungsstäbe nicht senkrecht zueinander stehen, unterscheiden sich die Ergebnisse der Nachweise erheblich und der maximale Nachweiswert wird ungefähr in der Richtung erreicht, die der Richtung der durchschnittlichen Bewehrung entspricht. Daher wird empfohlen, die vordefinierte Nachweisrichtung zu ändern oder Nachweise in mehrere Richtungen durchzuführen, wenn die Bewehrungsstäbe nicht senkrecht zueinander stehen.
Analyse 2
Für die orthogonale Bewehrung wurden die Werte der Biegemomente und des Winkels für den GZT-Normnachweis geändert. Die Ergebnisse sind in der Grafik dargestellt:
Die Analyse impliziert, dass auch für unterschiedliche Werte von Biegemomenten der Maximalwert der Tragfähigkeitsnachweis für die Prüfrichtungen 0,45 und 90 Grad ermittelt wird. Somit kann der Nachweis für einen vordefinierten Prüfwinkel von 0 Grad durchgeführt werden. Eine ähnliche Schlussfolgerung gilt für 2D-Elemente, die nur durch Normalkraft oder durch Normalkraft in Kombination mit Biegemomenten belastet werden.
Umrechnung der Schnittgrößen in Nachweisrichtungen
Die definierten Schnittgrößen werden mit Hilfe der Baumann-Transformationsformel, beschrieben in Baumann, Th., "Zur Frage der Netzbewehrung von Flächentragwerken" auf die Nachweisrichtungen umgerechnet. In: Der Bauingenieur 47 (1972), Berlin 1975. Das Berechnungsverfahren ist wie folgt:
- Berechnung der Normalkräfte an beiden Flächen des 2D-Elements
- Berechnung der Hauptkräfte an beiden Flächen des 2D-Elements
- Berechnung der neu berechneten Kräfte für jede Fläche in der definierten Nachweisrichtung
- Berechnung der neu berechneten Kräfte für jede Fläche zur Mitte
- Neuberechnung der Querkräfte in die definierte Nachweisrichtung
Berechnung der Normalkräfte an beiden Flächen des 2D-Elements
Definierte Schnittgrößen werden mit den folgenden Formeln für beide Flächen neu berechnet:
\[{{n}_{x,low\left( upp \right)}}=\frac{{{n}_{x}}}{2}+\left( - \right)\frac{{{m}_{x}}}{z}\]
\[{{n}_{y,low\left( upp \right)}}=\frac{{{n}_{y}}}{2}+\left( - \right)\frac{{{m}_{y}}}{z}\]
\[~~~~~{{n}_{xy,low\left( upp \right)}}=\frac{{{n}_{xy}}}{2}+\left( - \right)\frac{{{m}_{xy}}}{z}\]
Für die Umrechnung der Schnittgrößen ist der Hebelarm der Schnittgrößen (z) zu bestimmen. Der Hebelarm der Schnittgrößen wird aus der Methode der Grenzdehnung bei Belastung durch das Hauptbiegemoment in Richtung der Hauptmomente m1 an beiden Flächen bestimmt. Sind die Hauptmomente gleich Null oder wird das Gleichgewicht in Richtung der Hauptmomente nicht gefunden, wird der Hebelarm der Schnittgrößen nach folgender Formel bestimmt:
\[z=x\cdot d\]
| Beschreibung | |
| x | Der Koeffizient für die Berechnung des Schnittgrößenarms ist in der nationalen Normeinrichtung definiert. |
| d | Die effektive Höhe des Querschnitts wird getrennt für die Ober- und Unterseite des 2D-Elements berechnet. Für die Unterseite ist es ein Abstand vom Schwerpunkt der Bewehrungsstäbe an der Unterseite bis zur Oberkante des Querschnitts. Für die Oberseite ist es ein Abstand vom Schwerpunkt der Bewehrungsstäbe an der Oberseite zur Unterkante des Querschnitts. |
| Bemerkung: |
| Der Arm der Schnittgrößen kann im Response N-M-M-Nachweis nachgewiesen werden. Es müssen nur die Biegemomente eingegeben werden und die Prüfrichtung muss mit der Richtung des Hauptmoments übereinstimmen. |
Im folgenden Diagramm ist ein Nachweis der Schnittgrößen Hebelarm für Biegemomente mx = 20 kNm/m, my = 10 kNm/m, mxy = 5 kNm/m dargestellt. Die Richtung der Hauptmomente wurde als αm1 = 22,5 Grad berechnet und die Querschnittsreaktion wurde berechnet, um die Schnittgrößen des Hebelarms zu bestimmen.
| Bemerkung: |
| Schnittgrößenhebelarme für die Umrechnung von Schnittgrößen in Nachweisrichtung und Schnittgrößenhebelarme für Nachweise können unterschiedlich sein, da der Schnittkörperhebelarm für die Nachrechnung auf einem Querschnitt ermittelt wird, der durch Hauptmomente in Richtung der Hauptmomente belastet ist, und der Schnittgrößenhebelarm für den Nachweis auf einem Querschnitt, der durch Biegemomente und Normalkräfte in Richtung des Nachweises belastet wird. Die Werte der Schnittgrößenhebelarme für alle Kombinationsarten werden in der Tabelle Neu berechnete Kräfte im Navigator Schnittgrößen im Schnitt angezeigt. |
Berechnung der Schnittgrößen an beiden Flächen
Die Hauptkräfte an beiden Flächen des 2D-Elements werden nach folgender Formel berechnet:
\[{{n}_{1,bot\left( top \right)}}=\frac{{{n}_{x,low\left( upp \right)+}}{{n}_{y,low\left( upp \right)}}}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{{{\left( {{n}_{x,low\left( upp \right)-}}{{n}_{y,low\left( upp \right)}} \right)}^{2}}+4\cdot {{n}_{xy,low\left( upp \right)}}}\]
\[{{n}_{2,bot\left( top \right)}}=\frac{{{n}_{x,low\left( upp \right)+}}{{n}_{y,low\left( upp \right)}}}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{{{\left( {{n}_{x,low\left( upp \right)-}}{{n}_{y,low\left( upp \right)}} \right)}^{2}}+4\cdot {{n}_{xy,low\left( upp \right)}}}\]
Und die Richtung der Hauptkräfte wird mit der Formel berechnet:
\[{{\alpha }_{n1,low\left( upp \right)}}=0,5\cdot {{\tan }^{-1}}\left( \frac{2\cdot {{n}_{xy,low\left( upp \right)}}}{{{n}_{x,low\left( upp \right)}}-{{n}_{y,low\left( upp \right)}}} \right)\]
| Bemerkung: |
| Die Hauptkräfte und die Richtung der Hauptkräfte für beide Flächen des 2D-Elements werden für alle Kombinationsarten in der Tabelle Neu berechnete Kräfte im Navigator Schnittgrößen angezeigt. |
Berechnung von neu berechneten Schnittgrößen an Flächen zur definierten Prüfrichtung
Die Neuberechnung der Hauptkräfte zu den Nachweisrichtungen erfolgt für jede Fläche separat mit der Baumann-Transformationsformel:
\[{{n}_{surface,i,low\left( upp \right)}}=\frac{{{n}_{1,low\left( upp \right)}}\cdot \sin \left( {{\alpha }_{j,low\left( upp \right)}} \right)\cdot \sin \left( {{\alpha }_{k,low\left( upp \right)}} \right)+{{n}_{2,low\left( upp \right)}}\cdot \cos \left( {{\alpha }_{j,low\left( upp \right)}} \right)\cdot \cos \left( {{\alpha }_{k,low\left( upp \right)}} \right)}{\sin \left( {{\alpha }_{j, low\left( upp \right)}}-{{\alpha }_{i,low\left( upp \right)}} \right)\cdot \sin \left( {{\alpha }_{k,low\left( upp \right)}}-{{\alpha }_{i,low\left( upp \right)}} \right)}\]
| Beschreibung | |
| i, j, k, i | Index der Nachweisrichtung (Schnittgrößen-Nachberechnungsrichtung) i, j, k, i = 1, 2, 3, 1 . Z. B. Für die untere Fläche und die Berechnung der Kraft in j-Richtung (Winkel α2) lautet die Formel: \[{{n}_{surface,2,low}}=\frac{{{n}_{1,low}}\cdot \sin {{\alpha }_{3,low}}\cdot \sin {{\alpha }_{1,low}}+{{n}_{2,low}}\cdot \cos {{\alpha }_{3,low}}\cdot \cos {{\alpha }_{1,low}}}{\sin \left( {{\alpha }_{3,low}}-{{\alpha }_{2,low}} \right)\cdot \sin \left( {{\alpha }_{1,low}}-{{\alpha }_{2,low}} \right)}\] |
| \[{{\alpha }_{i,j,k,low\left( upp \right)}}\] | Der Winkel zwischen der definierten Prüfrichtung oder der Richtung der Druckstrebe und der Richtung der Hauptkräfte an der Unter- oder Oberseite des 2D-Elements. Definierte Prüfrichtung α1, niedrig(upp) = α1 – α niedrig(upp) Richtrichtung senkrecht zur definierten Richtung α2, niedrig(upp) = α2 – α tief(upp) Die Nachweisrichtung für Druckstreben α3, niedrig (upp) = α3 – α niedrig (upp) |
| α1 | Definierte Prüfrichtung für die jeweilige Kombination |
| α2 | Die Richtung senkrecht zur definierten Richtung, α2 = α1 + 90 Grad |
| α3 | Überprüfen Sie die Richtung in Richtung der Druckstrebe in der Ebene des 2D-Elements. Diese Richtung ist optimiert, um die Kraft in diese Richtung zu minimieren. |
| Bemerkung: |
Wenn die Nachweisrichtung mit der Hauptspannungsrichtung identisch ist, sind die Kräfte in der Druckstrebe Null, daher wird diese Richtung im Nachweis vernachlässigt Die Richtung der Druckstrebe für alle Spannungszustände außer dem hyperbolischen Spannungszustand (n1,low(upp) > 0 und n1,low(upp) < 0) kann nach folgender Formel berechnet werden: α3 = 0,5(α1 + α2) Neu berechnete Schnittgrößen für beide Flächen des 2D-Elements und alle Nachweisrichtungen einschließlich der Richtung der Druckstrebe werden in der Tabelle Neu berechnete Kräfte angezeigt |
Transformation der neu berechneten Schnittgrößen in den Schwerpunkt des Querschnitts
Für den Nachweis des 2D-Elements müssen die Flächenkräfte in einer bestimmten Richtung auf den Schwerpunkt des Querschnitts umgerechnet werden. Das Ergebnis ist die Normalkraft nd,i und das Biegemoment md,I, die im Schwerpunkt des 2D-Elementquerschnitts wirken.
md,i =n unter,i·zs,niedrig + noben,i·zs,upp
nd,i = nunten,i + noben,i
| Beschreibung | |
| nniedriger,i | Neu berechnete Flächenkräfte an der unteren Fläche in deri-ten Prüfrichtung, wenn nniedriger,i = nFläche,niedrig,i. |
| nober,i | Umgerechnete Schnittgrößen an der oberen Fläche in deri-ten Prüfrichtung, wenn nobere,i = nFläche,upp,i. |
| zs,niedrig (UPP) | Abstand des Schwerpunkts von Druckbeton oder Schwerpunkt der Bewehrung an der unteren (oberen) Oberfläche, wenn z = zs,niedrig + zs,upp |
| Bemerkung: |
| Wenn die Richtungen der Druckstreben an der unteren und der oberen Oberfläche unterschiedlich sind, ist es für die Neuberechnung der Kräfte auf den Schwerpunkt erforderlich, virtuelle Kräfte an der Unterseite in Richtung der Druckstrebe an der Oberseite und umgekehrt zu berechnen. |
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Neu berechnete Bemessungskräfte}}}\]
Neuberechnung der Querkräfte in die definierte Nachweisrichtung
Querkräfte werden nach der folgenden Formel in Richtung des Nachweises neu berechnet:
\[{{v}_{d,i}}={{v}_{x}}\cdot \cos ({{\alpha }_{i}})+{{v}_{y}}\cdot \sin ({{\alpha }_{i}})\]
und die maximale Scherkraft beträgt:
\[{{v}_{d,max~}}=\sqrt{{{v}_{x}}^{2}+{{v}_{y}}^{2}}\]
und es wirkt in die Richtung
\[\beta ={{\tan }^{-1}}\left( \frac{{{v}_{y}}}{{{v}_{x}}} \right)\]
| Beschreibung | |
| αi | Überprüfen Sie den Winkel in deri-ten Richtung |
| Bemerkung: |
| Beim Nachweis eines 2D-Elements mit relativ großen Querkräften ist es geeignet, das 2D-Element in Richtung der maximalen Querkraft zu überprüfen, d.h. der definierte Richtungsnachweis entspricht dem Winkel β |
Vergleich der Schnittgrößenneuberechnung mit verschiedenen Methoden
Neuberechnung der Kräfte nach EN 1992-1-1
Das in der EN 1992-1-1 beschriebene Verfahren wird in mehreren Programmen und in der Praxis zur Berechnung von Bemessungsschnittgrößen verwendet. Die EN 1992-1-1 berücksichtigt nur senkrechte Bewehrungsrichtungen. Die Berechnung der Bemaßungskräfte unter Einfluss des Torsionsmoments ist im folgenden Flussdiagramm beschrieben, wobei my³ mx. Ein ähnliches Diagramm kann für die Momente my < mx erstellt werden
| Beschreibung | |
| mxd+, mxd- | Dimensionierung des Biegemoments in x-Achsenrichtung für die Bemessung und den Nachweis der Bewehrung an der unteren (-) oder der oberen (+) Fläche |
myd+ myd- | Dimensionierung des Biegemoments in y-Achsenrichtung für die Bemessung und den Nachweis der Bewehrung an der unteren (-) oder der oberen (+) Fläche |
| mcd+, mcd- | Dimensionierung des Biegemoments in der Druckbetonstrebe an der unteren (-) oder der oberen (+) Fläche, das vom Beton getragen werden muss |
Die Werte der neu berechneten Bemaßungskräfte für den Stabtyp = Decke, berechnet nach dem in EN beschriebenen Verfahren, sind in der folgenden Tabelle aufgeführt:
In IDEA StatiCa RCS werden die Werte der Momente an der oberen und unteren Fläche nicht angezeigt, sondern die Werte der Normalkräfte an beiden Flächen und die Werte der Momente, die auf den Schwerpunkt des Querschnitts umgerechnet wurden.
Die Momente an der unteren und oberen Fläche können mit Hilfe von Flächenkräften, die in der numerischen Ausgabe angezeigt werden, mit der Formel berechnet werden:
\[{{m}_{oberfläche,i,dlow\left( upp \rechts)}}={{n}_{oberfläche,i,niedrig\links( upp \rechts)}}\cdot z\]
Die Werte der Flächenkräfte und der neu berechneten Momente werden in den folgenden Tabellen angezeigt:
Die Tabellen zeigen, dass die in IDEA Concrete berechneten und nach dem in EN beschriebenen Verfahren berechneten Momente an Deckenoberflächen nur einer Fläche entsprechen. Dieser Unterschied wird durch unterschiedliche Optimierungen der Betonstrebe verursacht. Die in IDEA StatiCa RCS verwendete Methode sucht nach dem Winkel der Druckstrebe bei der minimalen Kraft in der Strebe. Das in EN beschriebene Verfahren sucht nach einer minimalen Summe negativer Kräfte aus allen Richtungen.
Vergleich der Schnittgrößenberechnung mit den Programmen RFEM und SCIA Engineer
Um die Ergebnisse der neu berechneten Schnittgrößen in den Programmen IDEA Concrete, RFEM und SCIA Engineer (SEN) zu vergleichen, wurde ein einfaches Modell einer Platte mit den Abmessungen 6 m x 4 m und der Dicke 200 mm erstellt. Die Platte wird an den Rändern mit einer Linienstütze abgestützt und mit einer gleichmäßigen Last von 10 kN/m2 belastet.
Zur Vereinfachung der Darstellung werden nur die Werte der neu berechneten Schnittgrößen in einem Längsschnitt angezeigt. Der Querschnittsabstand von der Deckenkante beträgt 1,5 m. Die im Programm RFEM berechneten Schnittgrößen wurden als Eingabewerte für IDEA Concrete verwendet.
Die Tabelle zeigt eine gute Übereinstimmung der in bestimmten Programmen berechneten Kräfte.