Der theoretische Hintergrund basiert auf der KOMPATIBLEN SPANNUNGSFELDBEMESSUNG VON BETONBAUTEILEN (Kaufmann et al., 2020)

Konstruktive Bemessung von Betondiskontinuitäten in IDEA StatiCa Detail

Allgemeine Einführung für die konstruktive Bemessung von Betondetails
Hauptannahmen und Einschränkungen
Bewehrungsbemessung
Finite Elemente Implementierung in IDEA StatiCa Detail
   - Lagerungen und Komponenten zur Lastübertragung
   - Lastübertragung an geschnittenen Trägerenden
   - Geometrische Bearbeitung von Querschnitten
   - Finite Elemente Typen
   - Vernetzung
   - Lösungsmethode und Algorithmus zur Lastkontrolle
   - Darstellung der Ergebnisse
Verifizierung von Strukturelementen in IDEA StatiCa Detail
Verifizierung der Struktur-Betonelemente (EN)
   - Materialmodelle
   - Sicherheitsfaktoren
   - Analyse des Grenzzustands der Tragfähigkeit
   - Teilbelastete Bereiche (TBB)
  - Analyse des Grenzzustands der Gebrauchstauglichkeit

Allgemeine Einleitung zur statischen Bemessung von Betonteilen

Die Bemessung von Betonbauteilen erfolgt in der Regel durch Stabelemente (1D-Elemente). Dieses Verfahren ist in allen Normen zur Tragwerksplanung beschrieben, z.B. in DIN EN 1992-1-1, und wird in der täglichen Baupraxis angewendet. Es ist jedoch nicht immer bekannt oder wird nicht beachtet, dass das Verfahren nur in den Bereichen akzeptabel ist, in denen die Bernoulli-Navier-Hypothese der ebenen Dehnungsverteilung gilt (als B-Bereiche bezeichnet). Die Stellen, an denen diese Hypothese nicht zutrifft, werden als Diskontinuitätsbereiche (D-Bereiche) bezeichnet. Beispiele für B- und D-Bereiche sind in (Abb. 1) dargestellt. Dies sind z. B. Lagerbereiche, Bereiche, in denen konzentrierte Lasten aufgebracht werden, Stellen, an denen eine abrupte Änderung des Querschnitts auftritt, Öffnungen usw. Bei der Bemessung von Betonbauwerken treffen wir auf viele andere D-Bereiche wie Wände, Konsolen, usw.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Abb. 1\qquad Diskontinuitätsbereiche (Navrátil et al. 2017)}}}\]

In der Vergangenheit wurden semi-empirische Bemessungsregeln für die Dimensionierung von Diskontinuitätsbereichen verwendet. Glücklicherweise wurden diese Regeln in den letzten Jahrzehnten weitgehend durch Fachwerkmodelle (Schlaich et al., 1987) und Spannungsfelder (Marti 1985) ersetzt, die in den aktuellen Bemessungsvorschriften enthalten sind und von den Bemessenden heute häufig verwendet werden. 

Trotz der Entwicklung von Berechnungswerkzeugen in den letzten Jahrzehnten werden Fachwerkmodelle im Wesentlichen immer noch als Handberechnungen verwendet. Ihre Anwendung ist oft mühsam und zeitaufwändig, da mehrere Lastfälle berücksichtigt werden müssen. Außerdem eignet sich diese Methode nicht für den Nachweis von Gebrauchstauglichkeitskriterien (Verformungen, Rissbreiten usw.).

Das Interesse von Tragwerksplanern an einem zuverlässigen und schnellen Werkzeug zur Bemessung von D-Bereichen führte zu der Entscheidung, die neue Compatible Stress Field Method zu entwickeln, eine Methode zur computergestützten Spannungsfeldbemessung, die die automatische Bemessung von Bauteilen aus Beton unter ebener Belastung ermöglicht.

Die Compatible Stress Field Method ist eine kontinuierliche FE-basierte Spannungsfeldanalysemethode, bei der klassische Spannungsfeldlösungen durch kinematische Betrachtungen ergänzt werden. Somit kann die effektive Druckfestigkeit von Beton automatisch auf der Grundlage des Querdehnungszustands berechnet werden (Vecchio und Collins 1986; Kaufmann und Marti 1998) und der EPSF-Methode (Fernández Ruiz und Muttoni 2007). Darüber hinaus berücksichtigt das CSFM die Mitwirkung des Betons zwischen den Rissen (tension stiffening), was den Elementen realistische Steifigkeiten verleiht, und deckt alle Vorschriften der Bemessungsregeln ab (einschließlich der Aspekte der Gebrauchstauglichkeit und der Verformungskapazität), die von den bisherigen Ansätzen nicht konsequent berücksichtigt werden. Das CSFM verwendet allgemeine einachsige konstitutive Gesetze, die in den Bemessungsnormen für Beton und Bewehrung enthalten sind. Daher müssen die Planer keine zusätzlichen, oft willkürlichen Materialeigenschaften angeben, wodurch sich die Methode perfekt für die Ingenieurpraxis eignet.

Um den Einsatz von computergestützten Spannungsfeldern durch Bauingenieure zu fördern, sollten diese Methoden in benutzerfreundliche Softwareumgebungen implementiert werden. Zu diesem Zweck wurde das CSFM in IDEA StatiCa Detail implementiert, einer neuen benutzerfreundlichen kommerziellen Software, die gemeinsam von der ETH Zürich und dem Softwareunternehmen IDEA StatiCa im Rahmen des Projekts DR-Design Eurostars-10571 entwickelt wurde.

Hauptannahmen und Einschränkungen für CSFM

CSFM berücksichtigt die maximale Betonhauptdruckspannung (_σc2r) und die Bewehrungsspannungen (_σsr) an den Rissen und vernachlässigt die Betonzugfestigkeit (_σc1r = 0), mit Ausnahme ihrer aussteifenden Wirkung auf die Bewehrung. Durch die Berücksichtigung der Zugversteifung können die mittleren Bewehrungsdehnungen (_εm) simuliert werden. Fiktive, rotierende, spannungsfreie Risse, die sich ohne Schlupf öffnen (Abb. 2a), werden berücksichtigt und das Gleichgewicht an den Rissen zusammen mit den mittleren Dehnungen der Bewehrung wird ebenfalls berücksichtigt.

\( \textsf{\textit{\footnotesize{Bild 2\qquad Grundannahmen der CSFM: (a) Hauptspannungen im Beton; (b) Spannungen in Bewehrungsrichtung;}}}) \( \textsf{\textit{\footnotesize{(c) Spannungs-Dehnungs-Diagramm des Betons in Form von Maximalspannungen unter Berücksichtigung der Druckentfestigung;}}}) \( \textsf{\textit{\footnotesize{(d) Spannungs-Dehnungs-Diagramm der Bewehrung in Form von Spannungen an Rissen und mittleren Dehnungen; (e) Kompressionserweichung}}) \( \textsf{\textit{\footnotesize{gesetz; (f) Verbund-Schubspannungs-Schlupf-Beziehung für Verankerungslängennachweise}}})

Trotz ihrer Einfachheit wurde nachgewiesen, dass ähnliche Annahmen zu genauen Vorhersagen für bewehrte Bauteile führen, die in der Ebene beansprucht werden (Kaufmann 1998; Kaufmann und Marti 1998), wenn die vorgesehene Bewehrung ein sprödes Versagen bei Rissbildung vermeidet. Darüber hinaus steht die Nichtberücksichtigung eines Beitrags der Zugfestigkeit des Betons zur Tragfähigkeit im Einklang mit den Grundsätzen moderner Bemessungsregeln, die meist auf der Plastizitätstheorie beruhen.

Für schlanke Elemente ohne Querbewehrung ist das CSFM jedoch nicht geeignet, da die für solche Elemente relevanten Mechanismen wie die Verzahnung der Gesteinskörner, die Zug-Eigenspannungen an der Rissspitze und die Dübelwirkung - die alle direkt oder indirekt von der Zugfestigkeit des Betons abhängen - nicht berücksichtigt werden. Während einige Bemessungsnormen die Bemessung solcher Elemente auf der Grundlage halbempirischer Bestimmungen zulassen, ist der CSFM nicht für diese Art von potenziell spröden Strukturen vorgesehen.

Beton

Das im CSFM implementierte Betonmodell basiert auf den in den Bemessungsnormen für die Bemessung von Querschnitten vorgeschriebenen einachsigen Druckwirkungsgesetzen, die nur von der Druckfestigkeit abhängen. Das Parabel-Rechteck-Diagramm (Abb. 2c) wird standardmäßig im CSFM verwendet, aber die Konstrukteure können auch eine vereinfachte elastisch-idealplastische Beziehung wählen. Bei der Bemessung nach dem ACI-Code ist es möglich, nur das Parabel-Rechteck-Spannungs-Dehnungs-Diagramm zu verwenden. Wie bereits erwähnt, wird die Zugfestigkeit vernachlässigt, wie es bei der klassischen Stahlbetonbemessung der Fall ist.

Die effektive Druckfestigkeit wird für gerissenen Beton automatisch auf der Grundlage der Hauptzugspannung (_ε1) mit Hilfe des Abminderungsfaktors _kc2 bewertet, wie in Abb. 2c und e gezeigt. Die implementierte Abminderungsbeziehung (Abb. 2e) ist eine Verallgemeinerung des Vorschlags des fib Model Code 2010 für Scherungsnachweise, der einen Grenzwert von 0,65 für das maximale Verhältnis von effektiver Betonfestigkeit zu Betondruckfestigkeit enthält, der für andere Lastfälle nicht gilt.

Das CSFM in IDEA StatiCa Detail berücksichtigt kein explizites Versagenskriterium in Form von Dehnungen für Beton unter Druck (d.h. es betrachtet einen unendlich plastischen Zweig nach Erreichen der Spitzenspannung). Durch diese Vereinfachung kann die Verformungskapazität von Bauwerken, die auf Druck versagen, nicht überprüft werden. Ihre Tragfähigkeit wird jedoch korrekt vorhergesagt, wenn zusätzlich zum Faktor für gerissenen Beton(_kc2), der in (Abb. 2e) definiert ist, die Zunahme der Sprödigkeit des Betons bei steigender Festigkeit mit Hilfe des Abminderungsfaktors \ ( \eta_{fc} \) berücksichtigt wird, der im fib Model Code 2010 wie folgt definiert ist:

\[f_{c,red} = k_c \cdot f_{c} = \eta _{fc} \cdot k_{c2} \cdot f_{c}\]

\[{\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{f_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1\]

mit:

kc_ist der globale Abminderungsfaktor der Druckfestigkeit

_kc2 ist der Abminderungsfaktor aufgrund des Vorhandenseins von Querrissen

_fc ist die charakteristische Festigkeit des Betonzylinders (in MPa für die Definition von \ ( \eta_{fc} \)).

Auch der Faktor _kc2 wird aus Gründen der Stabilität der Berechnung reduziert. Diese Reduzierung hat keinen Einfluss auf die Gesamtfestigkeit der Stäbe. Unter der Annahme, dass der _fcd-Wert die faktorisierte Festigkeit des Betons ist (Bemessungswert), wird der _kc2-Wert nach den folgenden Regeln reduziert.

_σc2r < 0,_11fcdkc2=1,0 0,_11fcd < _σc2r < 0,_37fcdkc2 ist eine lineare Interpolation zwischen 1,0 und dem Wert aus dem Diagramm in Abb. 2f _σc2r > 0,_37fcdkc2 wird direkt aus dem Diagramm in Abb. 2f übernommen

Bewehrung

Es wird das idealisierte bilineare Spannungs-Dehnungs-Diagramm für die blanken Bewehrungsstäbe betrachtet, das üblicherweise in den Bemessungsvorschriften definiert ist (Abb. 2d). Die Definition dieses Diagramms setzt lediglich voraus, dass die grundlegenden Eigenschaften der Bewehrung während der Entwurfsphase bekannt sind (Festigkeits- und Duktilitätsklasse). Eine benutzerdefinierte Spannungs-Dehnungs-Beziehung kann ebenfalls definiert werden.

Die Zugversteifung wird berücksichtigt, indem die eingegebene Spannungs-Dehnungs-Beziehung des nackten Bewehrungsstabs so modifiziert wird, dass die durchschnittliche Steifigkeit der im Beton eingebetteten Stäbe (_εm) erfasst wird.

Verbundmodell

Der Verbundschlupf zwischen der Bewehrung und dem Beton wird in das Finite-Elemente-Modell aufgenommen, indem die in Abb. 2f dargestellte vereinfachte starr-perfekt-plastische Beziehung berücksichtigt wird, wobei _fbd der Bemessungswert (faktorisierter Wert) der Bruchspannung ist, der in der Bemessungsvorschrift für die spezifischen Verbundbedingungen angegeben ist.

Es handelt sich hierbei um ein vereinfachtes Modell, das ausschließlich dazu dient, die in den Bemessungsvorschriften vorgeschriebenen Verankerungen (d. h. die Verankerung der Bewehrung) zu überprüfen. Die Reduzierung der Verankerungslänge bei der Verwendung von Haken, Schlaufen und ähnlichen Stabformen kann durch die Definition einer bestimmten Kapazität am Ende der Bewehrung berücksichtigt werden, wie weiter unten beschrieben wird.

Design tools for reinforcement

Workflow and goals

The goal of reinforcement design tools in the CSFM is to help designers determine the location and required amount of reinforcing bars efficiently. The following tools are available to help / guide the user in this process: linear calculation and topology optimization.

Reinforcement design tools consider more simplified constitutive models than the models used for the final verification of the structure. Therefore, the definition of the reinforcement in this step should be considered a pre-design to be confirmed/refined during the final verification step. The use of the different reinforcement design tools will be depicted in the model shown in Fig. 3, which consists of one end of a simply supported beam with variable depth subjected to a uniformly distributed load.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 3\qquad Model used to illustrate the use of the reinforcement design tools.}}}\]

Linear analysis

The linear analysis considers linear elastic material properties and neglects reinforcement in the concrete region. It is, therefore, a very fast calculation that provides a first insight into the locations of tension and compression areas. An example of such a calculation is shown in Fig. 4.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4\qquad Results from the linear analysis tool for defining reinforcement layout}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(red: areas in compression, blue: areas in tension).}}}\]

Topology optimization

Topology optimization is a method that aims to find the optimal distribution of material in a given volume for a certain load configuration. The topology optimization implemented in Idea StatiCa Detail uses a linear finite element model. Each finite element may have a relative density from 0 to 100 %, representing the relative amount of material used. These element densities are the optimization parameters in the optimization problem. The resulting material distribution is considered optimal for the given set of loads if it minimizes the total strain energy of the system. By definition, the optimal distribution is also the geometry that has the largest possible stiffness for the given loads.

The iterative optimization process starts with a homogeneous density distribution. The calculation is performed for multiple total volume fractions (20%, 40%, 60%, and 80%), which allows the user to select the most practical result. The resulting shape consists of trusses with struts and ties and represents the optimum shape for the given load cases (Fig. 5).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5\qquad Results from the topology optimization design tool with 20\% and 40\%  effective volume}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(red: areas in compression, blue: areas in tension).}}}\]

Arbeitsablauf und Ziele

Das Ziel der Werkzeuge zur Bewehrungsplanung im CSFM ist es, den Planern zu helfen, die Lage und die erforderliche Menge von Bewehrungsstäben effizient zu bestimmen. Die folgenden Werkzeuge stehen zur Verfügung, um den Benutzer bei diesem Prozess zu unterstützen/zu führen: lineare Berechnung und Topologieoptimierung.

Die Werkzeuge für die Bewehrungsbemessung berücksichtigen vereinfachte konstitutive Modelle als die Modelle, die für den endgültigen Nachweis der Struktur verwendet werden. Daher sollte die Definition der Bewehrung in diesem Schritt als Vorentwurf betrachtet werden, der während des endgültigen Nachweises bestätigt/verfeinert wird. Die Verwendung der verschiedenen Werkzeuge zur Bewehrungsbemessung wird anhand des in Abb. 3 dargestellten Modells veranschaulicht, das aus einem Ende eines einfach gestützten Balkens mit variabler Tiefe besteht, der einer gleichmäßig verteilten Last ausgesetzt ist.

\Abb. 3: Modell zur Veranschaulichung der Anwendung der Bewehrungsbemessungswerkzeuge]]

Lineare Analyse

Die lineare Analyse berücksichtigt linear elastische Materialeigenschaften und vernachlässigt die Bewehrung im Betonbereich. Es handelt sich daher um eine sehr schnelle Berechnung, die einen ersten Einblick in die Lage der Zug- und Druckbereiche gibt. Ein Beispiel für eine solche Berechnung ist in Abb. 4 dargestellt.

\Ergebnisse aus dem linearen Analysewerkzeug für die Definition der Bewehrungsführung}}}]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(rot: Flächen in Druck, blau: Flächen in Zug).}}}]

Topologie-Optimierung

Die Topologieoptimierung ist eine Methode, die darauf abzielt, die optimale Verteilung des Materials in einem gegebenen Volumen für eine bestimmte Belastungskonfiguration zu finden. Die in Idea StatiCa Detail implementierte Topologieoptimierung verwendet ein lineares Finite-Elemente-Modell. Jedes finite Element kann eine relative Dichte von 0 bis 100 % haben, die die relative Menge des verwendeten Materials darstellt. Diese Elementdichten sind die Optimierungsparameter für das Optimierungsproblem. Die sich daraus ergebende Materialverteilung gilt als optimal für die gegebene Lastmenge, wenn sie die gesamte Dehnungsenergie des Systems minimiert. Per Definition ist die optimale Verteilung auch die Geometrie, die für die gegebenen Lasten die größtmögliche Steifigkeit aufweist.

Der iterative Optimierungsprozess beginnt mit einer homogenen Dichteverteilung. Die Berechnung wird für mehrere Gesamtvolumenanteile (20 %, 40 %, 60 % und 80 %) durchgeführt, so dass der Benutzer das praktischste Ergebnis auswählen kann. Die sich daraus ergebende Form besteht aus Fachwerkbindern mit Verstrebungen und Verankerungen und stellt die optimale Form für die gegebenen Lastfälle dar (Abb. 5).

\Ergebnisse des Topologie-Optimierungstools mit 20\% und 40\% effektivem Volumen}}}]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(rot: Bereiche in Kompression, blau: Bereiche in Spannung).}}}]

Finite-Elemente Implementierung

Einleitung

Die CSFM berücksichtigt kontinuierliche Spannungsfelder im Beton (2D-Finite Elemente), ergänzt durch diskrete „Stab“-elemente, die die Bewehrung darstellen (1D-Finite Elemente). Daher ist die Bewehrung nicht diffus in die konkreten 2D-Finite Elemente eingebettet, sondern ausdrücklich modelliert und mit diesen verbunden. Im Berechnungsmodell wird ein ebener Spannungszustand berücksichtigt.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 8\qquad Visualisierung des Berechnungsmodells eines Strukturelements (getrimmter Träger) in Idea StatiCa Detail.}}}\]

Modelliert werden können sowohl ganze Wände und Träger als auch Details (Teile) von Trägern (isolierter Diskontinuitätsbereich, auch als getrimmtes Ende bezeichnet). Bei Wänden und ganzen Trägern müssen die Auflager so definiert werden, dass sich eine (äußerlich) isostatische (statisch bestimmte) oder hyperstatische (statisch unbestimmte) Struktur ergibt. Die Lastübertragung an den getrimmten Trägerenden erfolgt über eine spezielle Saint-Venant-Übertragungszone (beschrieben in Abschnitt 3.3), die eine realistische Spannungsverteilung im analysierten Detailbereich gewährleistet.

Auflager und Komponenten zur Lastübertragung

Zur Modellierung der meisten Situationen während des Konstruktionsprozesses stehen in der CSFM viele Auflagertypen (Abb. 9) und Komponenten zur Lastübertragung (Abb. 10) zur Verfügung.

Auflager

Das Punktauflager kann auf verschiedene Arten modelliert werden, um sicherzustellen, dass die Spannungen nicht in einem Punkt lokalisiert, sondern über einen größeren Bereich verteilt werden. Die erste Option ist ein verteiltes Punktauflager (Abb. 9a), das die Last an der Bauteilkante gleichmäßig über die festgelegte Breite verteilt.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 9\qquad Various types of supports:}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(a) point distributed; (b) bearing plate; (c) line support; (d) patch support; (e) hanging.}}}\]

Eine Bereichslagerung dagegen (Abb. 9d) kann dagegen nur innerhalb eines Betonvolumens mit einem definierten wirksamen Radius platziert werden. Sie wird dann durch starre Elemente mit den Knoten des Bewehrungsnetzes innerhalb dieses Radius verbunden. Daher ist es erforderlich, einen Bewehrungskäfig um die Bereichslagerung herum zu definieren.

Für die genauere Modellierung einiger realer Szenarien gibt es zwei weitere Optionen für Punktauflager. Zum einen gibt es ein Punktauflager mit einer Lagerplatte mit definierter Breite und Dicke (Abb. 9b). Das Material der Lagerplatte kann festgelegt werden, und die gesamte Lagerplatte wird unabhängig vernetzt. Zum anderen steht eine hängende Lagerung zur Verfügung (Abb. 9e), mit der Transportanker oder Transportbolzen modelliert werden können.

Das Linienauflager (Abb. 9c) kann an einer Kante (durch Angabe ihrer Länge) oder innerhalb eines Elements (durch eine Polylinie) definiert werden. Ebenso ist es möglich, seine Steifigkeit und/oder sein nichtlineares Verhalten festzulegen (Auflager bei Druck/Zug oder nur bei Druck).

Komponenten zur Lastübertragung

Das Einbringen von Lasten in die Struktur kann ebenfalls auf verschiedene Arten modelliert werden. Für Punktlasten kann eine Lagerplatte (Abb. 10a) ähnlich wie ein Punktauflager verwendet werden, die die konzentrierte Last über eine Stahlplatte mit festgelegter Breite und Dicke auf eine größere Fläche verteilt. Bereichslasten (Abb. 10b und Abb. 11) werden mit einem bestimmten wirksamen Radius im Beton platziert und durch starre Elemente mit den Knoten benachbarter Bewehrungsstäbe verbunden.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 10\qquad Verschiedene Arten von Lastübertragungselementen:}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(a) Trägerplatte; (b) Teilflächenlast; (c) Aufhängung; (d) teilweise belasteter Bereich.}}}\]

Transportanker oder Transportdübel können durch eine Aufhängung modelliert werden (Abb. 10c). Der Anwender kann eine teilbelastete Fläche (Abb. 10d) verwenden, die eine Erhöhung der Tragfähigkeit von Druckbeton nach Eurocode ermöglicht (diese Komponente der Lastübertragung kann nicht verwendet werden, wenn ACI eingestellt ist). Die Struktur kann auch durch Linienlasten an den Kanten belastet werden, durch allgemeine Polylinien oder durch Teilflächenlasten, die z.B. das Eigengewicht darstellen (Das bei der Analyse nicht automatisch berücksichtigt wird).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 11\qquad Teilflächenlast: (a) Lasteinleitung; (b) Lasteinleitung durch Bewehrungsstäbe; (c) Lasteinleitung durch Beton.}}}\]

Lastübertragung an zugeschnittenen Trägerenenden

In vielen Fällen müssen nur einige Details (Teile) eines Bauteils modelliert werden, z.B. Trägerstütze, Öffnung in der Trägermitte usw. Dieser Ansatz kann zu Auflagerkonfigurationen führen, die in IDEA StatiCa Detail instabil, aber zulässig sind (einschließlich des Falls ohne Auflager). In solchen Fällen ist es jedoch auch erforderlich, den Abschnitt zu modellieren, der die Verbindung zum angrenzenden B-Bereich darstellt, einschließlich der Schnittgrößen an diesem Abschnitt, die das Gleichgewicht erfüllen. In bestimmten Fällen (z.B. beim Modellieren der Auflager von Trägern) können diese Schnittgrößen vom Programm automatisch ermittelt werden.

Zwischen dem B-Bereich und dem analysierten Diskontinuitätsbereich wird automatisch eine Saint-Venant-Übertragungszone erstellt, um eine realistische Spannungsverteilung im analysierten Bereich sicherzustellen. Die Breite der Übertragungszone wird als die Hälfte der Abschnittstiefe ermittelt. Da das einzige Ziel der Saint-Venant-Zone darin besteht, eine angemessene Spannungsverteilung im Rest des Modells zu erreichen, werden bei der Überprüfung keine Ergebnisse aus diesem Bereich angezeigt, und keine Stop-Kriterien werden hier berücksichtigt.

Der Rand der Saint-Venant-Zone, der das zugeschnittene Trägerende darstellt, wird als starr modelliert, d.h. es kann sich drehen, muss jedoch eben liegen. Dies geschieht durch Verbinden aller FEM-Knoten der Kante mit einem separaten Knoten in der Trägheitsmitte des Abschnitts unter Verwendung eines Starrkörperelements (RBE2). Die Schnittgrößen des Elements können dann auf diesen Knoten angewendet werden, wie in Abb. 12.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 12\qquad Übertragung von Schnittkräften an einem getrimmten Ende.}}}\]

Geometrische Bearbeitung von Querschnitten

Bei Vouten-Geometrien wird die Breite der zur Modellierung der Voute verwendeten Wandelemente im Vergleich zur ursprünglichen Breite verringert, so dass sie der doppelten Höhe plus der Dicke der angrenzenden Wand entspricht. Dies basiert auf der Annahme, dass sich ein Druckspannungsfeld in einem Winkel von 45 ° von der Wand ausdehnen würde (siehe Abb. 13), so dass die zuvor erwähnte reduzierte Breite die maximale Breite wäre, die Lasten übertragen kann.

Beachten Sie, dass sich die in der CSFM implementierte Methode zur Bestimmung des wirksamen Flansches von der in 5.3.2.1 EN 1992-1-1 (2015) angegebenen Methode unterscheidet. Neben der Geometrie wird der auf Eurocode basierende, wirksame Breitenflansch deutlich von den Spannweiten und Randbedingungen einer Struktur beeinflusst.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 13\qquad Breitenreduzierung eines Querschnitts: (a) Benutzereingabe; (b) FE-Modell - automatisch ermittelte reduzierte Flanschbreite.}}}\]

Bei in horizontaler Ebene liegenden Vouten (Abb. 14) ist jede Voute entlang ihrer Länge in fünf Abschnitte unterteilt. Jeder dieser Abschnitte wird dann als Wand mit konstanter Dicke modelliert, die der tatsächlichen Dicke in der Mitte des jeweiligen Abschnitts entspricht.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 14\qquad Horizontale Voute: (a) Benutzereingabe; (b) FE-Modell - eine automatisch in fünf Abschnitte unterteilte Voute.}}}\]

Finite-Elemente-Typen

Das nichtlineare FEA-Modell wird durch verschiedene Typen von Finite-Elemente erzeugt, die zum Modellieren von Beton, Bewehrung und dem Verbund zwischen ihnen verwendet werden. Beton- und Bewehrungselemente werden zunächst unabhängig voneinander vernetzt und dann mithilfe von Mehrpunktkopplungen (MPC-Elementen) miteinander verbunden. Dadurch kann die Bewehrung eine beliebige, in Bezug zum Beton, relative Position einnehmen. Soll die Überprüfung der Verankerungslänge berechnet werden, werden Verbund- und Federelemente für das Verankerungsende zwischen der Bewehrung und den MPC-Elementen eingefügt.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 15\qquad Finite-Elemente-Modell: Bewehrungselemente, die unter Verwendung von MPC-Elementen und Verbundelementen auf ein Betonnetz abgebildet werden.}}}\]

Beton

Beton wird unter Verwendung der viereckigen und dreieckigen Schalenelemente CQUAD4 und CTRIA3 modelliert; diese Elemente können durch vier bzw. drei Knoten definiert sein. Es wird angenommen, dass in diesen Elementen nur ebene Spannungen vorhanden sind, d.h. Spannungen oder Dehnungen in z-Richtung werden nicht berücksichtigt

Jedes Element hat vier oder drei Integrationspunkte, die ca. 1/4 seiner Größe haben. An jedem Integrationspunkt in jedem Element werden die Richtungen der Hauptdehnungen α₁, α₃ berechnet. In beiden Richtungen werden die Hauptspannungen σ_c1, σ_c3 und die Steifigkeiten E₁, E₂ gemäß dem festgelegten Spannungs-Dehnungs-Diagramm des Betons in Abb. 2 ausgewertet. Es ist zu beachten, dass der Einfluss der Auswirkung der Druckentfestigung das Verhalten der Hauptdruckrichtung mit dem tatsächlichen Zustand der anderen Hauptrichtung gekoppelt wird.

Bewehrung

Bewehrungsstäbe werden durch 1D-Stabelemente (CROD) mit zwei Knoten modelliert, die nur eine axiale Steifheit aufweisen. Diese Elemente sind mit speziellen „Verbundelementen“ verbunden, die entwickelt wurden, um das Gleitverhalten zwischen einem Bewehrungsstab und dem umgebenden Beton zu modellieren. Diese Verbundelemente werden anschließend durch MPC-Elemente (Multi-Point Constraint) mit dem Netz, das den Beton darstellt, verbunden. Dieser Ansatz ermöglicht die unabhängige Vernetzung von Bewehrung und Beton, während ihre Verbindung später sichergestellt wird.

Überprüfung der Verankerungslänge: Verbundelemente

Die Überprüfung der Verankerungslänge erfolgt durch Implementieren der Verbundschubspannungen zwischen Betonelementen (2D) und Bewehrungsstabelementen (1D) im Finite-Elemente-Modell. Zu diesem Zweck wurde ein Finite-Elemente-Typ „Verbund“ entwickelt.

Die Definition des Verbundelements ähnelt der eines Schalenelements (CQUAD4): Es wird ebenfalls durch 4 Knoten definiert, hat jedoch im Gegensatz zu einer Schale nur eine Schersteifigkeit ungleich Null zwischen den beiden oberen und zwei unteren Knoten. Im Modell sind die oberen Knoten mit den Elementen verbunden, die die Bewehrung darstellen, und die unteren Knoten mit denen, die Beton darstellen.

Das Verhalten dieses Elements wird durch die Verbundspannung τ_b als bilineare Funktion des Schlupfes zwischen dem oberen und unteren Knoten, δ_u, beschrieben, siehe Abb. 16.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 16\qquad a) konzeptionelle Darstellung der Verformung eines Verbundelements; b) eine Spannungs-Verformungs-Funktion.}}}\]

Der elastische Steifigkeitsmodul des Verbund-Schlupf-Verhältnisses G_b ist wie folgt definiert:

\[G_b = k_g \cdot \frac{E_c}{Ø}\]

wo:

k_g - Koeffizient abhängig von der Oberfläche des Bewehrungsstabs (standardmäßig k_g = 0.2)

E_c – E-Modul des Betons, angenommen als E_cm

Ø – Durchmesser des Bewehrungsstabes

Zur Überprüfung der Verankerungslänge werden die Bemessungswerte der finalen Verbundschubspannung f_bd verwendet, die in den jeweils ausgewählten Bemessungsnormen EN 1992-1-1 (2015) oder ACI 318-04 angegeben sind. Die Wiederverfestigung des plastischen Zweigs wird standardmäßig mit G_b/10⁵ berechnet.

Verifizierung der Verankerungslänge: Federelemente

Die Einstellung von Verankerungsenden an den Bewehrungsstäben (d.h. Biegungen, Haken, Schlaufen…), die die Vorschriften der Bemessungsnormen erfüllen, ermöglicht die Reduzierung der Grundverankerungslänge der Stäbe (l_b,net) um einen bestimmten Faktor β (im Folgenden als „Verankerungskoeffizient“ bezeichnet). Der Bemessungswert der Verankerungslänge (l_b) wird dann wie folgt berechnet:

\[l_b = \left(1 - \beta\right)l_{b,net}\]

Die verfügbaren Verankerungstypen in der CSFM umfassen einen geraden Stab (d.h. Keine Reduzierung des Ankerendes), eine Biegung, einen Haken, eine Schlaufe, einen geschweißten Querstab, einen perfekten Verbund und einen durchgehenden Stab. Diese Typen sind zusammen mit den jeweiligen Verankerungskoeffizienten β in Abb. 17 und für Längsbewehrung und in Abb. 18 für Bügel dargestellt. The values of the adopted anchorage coefficients are in accordance with EN 1992-1-1. Es ist zu beachten, dass die CSFM trotz der verschiedenen verfügbaren Optionen nur drei Arten von Verankerungsenden unterscheidet: (i) keine Verringerung der Verankerungslänge, (ii) eine Verringerung der Verankerungslänge um 30% bei normaler Verankerung und (iii) perfekter Verbund.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 17\qquad  Verfügbare Verankerungstypen und entsprechende Verankerungskoeffizienten für Längsbewehrungsstäbe im CSFM:}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(a) gerader Stab; (b) Biegung; (c) Haken; (d) Schlaufe; (e) geschweißter Querstab; (f) perfekte Verbindung; (g) durchgehender Stab.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 18\qquad  Verankerungstypen und die entsprechenden Verankerungskoeffizienten für Bügel.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Geschlossene Bügel: (a) Haken; (b) Biegung; (c) Überlappung. Offene Bügel: (d) Haken; (e) durchgehende Stange.}}}\]

Die beabsichtigte Reduzierung von l_b,net  entspricht der Aktivierung des Bewehrungsstabs an seinem Ende bei einem Prozentsatz seiner maximalen Kapazität, der durch den Koeffizienten der Verankerungsreduktion gegeben ist, wie in Abb. 19a gezeigt.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 19\qquad  Modell für die Reduzierung der Verankerungslänge:}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(a) Verankerungskraft entlang der Verankerungslänge des Bewehrungsstabs; (b) Zusammenhang zwischen Schlupf und Verankerungskraft.}}}\]

Die Verringerung der Verankerungslänge ist im Finite-Elemente-Modell durch ein Federelement am Stabende (Abb. 15) enthalten, das durch das in Abb. 19b dargestellte Werkstoffmodell definiert ist. Die maximale Kraft, die von dieser Feder übertragen wird (F_au), ist definiert durch:

\[F_{au} = \beta \cdot A_s \cdot f_{yd}\]

wo:

β – Verankerungsfaktor, basierend auf dem Verankerungstyp

A_s – Querschnitt des Bewehrungsstabes

f_yd – Bemessungswert der Streckgrenze der Bewehrung.

Vernetzung

Die im vorherigen Kapitel beschriebenen finiten Elemente werden intern implementiert, und das Analysemodell wird automatisch generiert, ohne dass eine erfahrene Interaktion durch den Anwender erforderlich ist. Ein wichtiger Teil dieses Prozesses ist die Vernetzung.

Beton

Alle Betonbauteile sind miteinander vernetzt. Von der Anwendung wird eine empfohlene Elementgröße automatisch, basierend auf der Größe und Form der Struktur und unter Berücksichtigung des Durchmessers des größten Bewehrungsstabes, berechnet. Darüber hinaus garantiert die empfohlene Elementgröße, dass mindestens 4 Elemente in dünnen Teilen der Struktur. wie schlanken Stützen oder dünnen Platten, erzeugt werden, um zuverlässige Ergebnisse in diesen Bereichen zu gewährleisten. Die maximale Anzahl von Betonelementen ist auf 5000 begrenzt, dieser Wert reicht jedoch aus, um die empfohlene Elementgröße für die meisten Strukturen bereitzustellen. Anwender können jederzeit eine benutzerdefinierte Betonelementgröße auswählen, indem sie den Multiplikator der Standard-Netzgröße ändern.

Bewehrung

Die Bewehrung ist in Elemente unterteilt, die in etwa der Länge der Größe der Betonelemente entsprechen. Sobald die Bewehrungs- und Betonnetze erzeugt sind, werden sie mit Verbundelementen (GZT) oder direkt durch MPC-Elemente (GZG) verbunden, wie in Abb. 15 gezeigt.

Lagerplatten

Hilfsbauteile, wie Lagerplatten, sind unabhängig voneinander vernetzt. Die Größe dieser Elemente wird mit 2/3 der Größe der Betonelemente im Verbindungsbereich berechnet.  Die Knoten des Netzes für die Lagerplatte werden dann unter Verwendung von Interpolationskopplungselementen (RBE3) mit den Randknoten des Betonnetzes verbunden.

Lasten und Auflager

Bereichslasten und Bereichslager werden nur mit der Bewehrung verbunden, wie in Abb. 20 dargestellt; daher ist es notwendig, die Bewehrung um sie herum zu definieren. Die Verbindung zu allen Knoten der Bewehrung innerhalb des wirksamen Radius wird durch RBE3-Elemente mit gleichem Gewicht sichergestellt.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 20\qquad  Abbildung der Teilflächenlast auf das Bewehrungsnetz.}}}\]

Linienauflager und Linienlasten werden mit RBE3-Elementen, basierend auf der festgelegten Breite oder dem festgelegten wirksamen Radius, mit den Knoten des Betonnetzes verbunden. Das Gewicht der Verbindungen ist anti- proportional zum Abstand vom Auflager- oder Lastimpuls.

Lösungsmethode und Algorithmus zur Lastkontrolle

Zur Lösung eines nichtlinearen FEM Problems wird ein vollständiger Newton-Raphson (NR) Algorithmus verwendet.

Generell konvergiert der NR-Algorithmus nicht oft, wenn die volle Last in einem einzigen Schritt angewendet wird. Ein üblicher Ansatz, der auch hier verwendet wird, besteht darin, die Last nacheinander in mehreren Steigerungsstufen anzuwenden und das Ergebnis des vorherigen Laststufe zu verwenden, um die Newton-Lösung einer nachfolgenden Laststufe zu starten. Zu diesem Zweck wurde über dem Newton-Raphson ein Algorithmus zur Laststeuerung implementiert. Für den Fall, dass die NR-Iterationen nicht konvergieren, wird die aktuelle Laststufe auf die Hälfte ihres Werts reduziert und die NR-Iterationen werden wiederholt.

Ein weiterer Zweck des Algorithmus zur Laststeuerung besteht darin, die kritische Last zu ermitteln, die mit bestimmten „Stop-Kriterien“ übereinstimmt - insbesondere der maximalen Dehnung im Beton, dem maximalen Schlupf in den Verbundelementen, der maximalen Verschiebung in den Verankerungselementen und der maximalen Dehnung in den Bewehrungsstäben. Die kritische Last wird mit der Halbierungsmethode ermittelt. Wird das Stop-Kriterium irgendwo im Modell überschritten, werden die Ergebnisse der letzten Laststufe verworfen und eine neue Steife von der halben Größe der vorherigen berechnet. Dieser Vorgang wird wiederholt, bis die kritische Last, mit einer bestimmten Fehlertoleranz, ermittelt ist.

Für Beton wurde das Stop-Kriterium standardmäßig auf eine Druckspannung von 5% (d.h. um eine Größenordnung größer als die tatsächliche Versagensdehnung des Betons) und eine Zugspannung von 7% an den Integrationspunkten der Schalenelemente eingestellt. Unter Zug wurde der Wert so eingestellt, dass zuerst die Grenzdehnung in der Bewehrung erreicht werden kann, die normalerweise bei ca. 5% liegt, ohne die Zugversteifung zu berücksichtigen. Bei Druck wurde der Wert aus mehreren Alternativen ausgewählt, die groß genug sind, damit die Auswirkungen des Quetschens in den Ergebnissen sichtbar werden, aber klein genug, um nicht zu viele Probleme bei der numerischen Stabilität zu verursachen.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 21\qquad Verhältnis der Verbindungs- und Verankerungselementen, die für den Nachweis der Verankerungslänge verwendet werden:}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(a) Scherspannungs-Schlupfverhalten eines Verbundelements; (b) Kraft-Weg-Verhalten eines Verankerungselements.}}}\]

Für Bewehrung wird in Bezug auf Spannungen das Stop-Kriterium definiert. Da die Spannungen am Riss modelliert werden, entspricht das Zugkriterium der Zugfestigkeit der Bewehrung, die den Sicherheitskoeffizienten berücksichtigt.

Das Stop-Kriterium in Verbund- und Verankerungselementen ist α · δ_umax, wobei δ_umax der maximale Schlupf ist, der bei Normnachweisen verwendet wird, und α = 10.

Darstellung der Ergebnisse

Die Ergebnisse werden unabhängig voneinander für Beton und Bewehrungselemente dargestellt. Die Spannungs- und Dehnungswerte im Beton werden an den Integrationspunkten der Schalenelemente berechnet. Da eine Darstellung der Daten auf diese Weise jedoch nicht praktikabel ist, werden die Ergebnisse standardmäßig in Knoten dargestellt, wie beispielsweise der Maximalwert der Druckspannung von benachbarten Gauß-Integrationspunkten in verbundenen Elementen (Abb. 22). Es ist zu beachten, dass diese Darstellung die Ergebnisse an auf Druck belasteten Bauteilkanten lokal unterschätzen kann, wenn die Größe der finiten Elemente der Tiefe der Druckzone ähnlich ist.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 22\qquad  Finite Elemente aus Beton mit Integrationspunkten und -knoten: Darstellung der Ergebnisse für Beton in Knoten und}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{in finiten Elementen.}}}\]

Die Ergebnisse für die finiten Elemente der Bewehrung sind entweder für jedes Element konstant (ein Wert - z.B. für Stahlspannungen) oder linear (zwei Werte - für Verbundergebnisse). Für Hilfselemente wie Elemente von Lagerplatten werden nur Verformungen dargestellt.

Auflager und lastübertragende Bauteile

Um die meisten Situationen während des Bauprozesses zu modellieren, stehen im CSFM viele Arten von Auflager (Abb. 9) und Komponenten zur Lastabtragung (Abb. 10) zur Verfügung.

Auflager

Punktlager können auf verschiedene Weise modelliert werden, um sicherzustellen, dass die Spannungen nicht in einem Punkt lokalisiert, sondern über einen größeren Bereich verteilt werden. Die erste Möglichkeit ist ein verteiltes Punktlager (Abb. 9a), das die Last am Rand des Bauteils gleichmäßig über die vorgegebene Breite verteilt.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Abb. 9\qquad Verschiedene Arten von Auflagern:}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(a) punktförmig verteilt; (b) Lagerplatte; (c) Streckenauflager; (d) Flächenauflager; (e) Aufhängung}}}\]

Ein Flächenauflager (Abb. 9d) kann dagegen nur innerhalb eines Betonvolumens mit einem definierten Wirkradius platziert werden. Es ist dann über starre Elemente mit den Knoten des Bewehrungsnetzes innerhalb dieses Radius verbunden. Daher ist es erforderlich, einen Bewehrungskäfig um das Flächenauflager zu definieren.

Für die genauere Modellierung einiger realer Szenarien gibt es zwei weitere Möglichkeiten der Punktlagerung. Zum einen gibt es die Punktlagerung mit einer Lagerplatte mit definierter Breite und Dicke (Abb. 9b). Das Material der Lagerplatte kann angegeben werden, und die gesamte Lagerplatte wird unabhängig vernetzt. Zum anderen steht eine hängende Lagerung zur Verfügung (Abb. 9e), die zur Modellierung von Hebeankern oder Hebebolzen verwendet werden kann.

Streckenauflager (Abb. 9c) können am Rand (durch Angabe der Länge) oder innerhalb eines Elements (durch eine Polylinie) definiert werden. Es ist auch möglich, ihre Steifigkeit und/oder ihr nichtlineares Verhalten (Stütze auf Druck/Zug oder nur auf Druck) anzugeben.

Lastübertragende Bauteile

Auch die Einleitung von Lasten in die Struktur kann auf verschiedene Weise modelliert werden. Für Punktlasten kann eine Lagerplatte (Abb. 10a) ähnlich wie ein Punktlager verwendet werden, wobei die konzentrierte Last dank einer Stahlplatte mit definierter Breite und Dicke auf eine größere Fläche verteilt wird.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Abb. 10\qquad Verschiedene Arten von Lastübertragungselementen:}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(a) Lagerplatte; (b) Flächenlager; (c) Aufhängung; (d) teilbelasteter Bereich}}}\]

Die Punktlast kann entweder direkt auf die Oberfläche der Struktur mit einem definierten Wirkungsradius aufgebracht werden (die Last wird in die Betonelemente eingeleitet) oder über eine spezielle Übertragungsvorrichtung, das sogenannte Flächenlager (Abb. 10b und Abb. 11). Das Flächenlager ermöglicht die direkte Übertragung der Last auf die definierte Bewehrung, die sich im Bereich des Wirkungsradius befindet. Um die korrekte Funktion des Flächenlagers zu gewährleisten, muss eine Gruppe von Bewehrungsstäben definiert werden, die mit dem Flächenlager verbunden wird (in den Bewehrungseigenschaften). Wenn die zusammenhängende Bewehrung nicht definiert ist, ist der Mechanismus der Lastübertragung derselbe wie bei einer Punktlast auf der Bauteiloberfläche, und die Last wird durch die Beschränkungen auf die Betonelemente und nicht direkt auf die Bewehrung übertragen.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Abb. 11\qquad Flächenlager: ((a) Lastaufbringung; (b) Lastübertragung durch Bewehrungsstäbe (eine Gruppe von Stäben für die Lastübertragung wird definiert);}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(c) Lastübertragung durch Beton (eine Gruppe von Stäben für die Lastübertragung ist nicht definiert)}}}\]

Hebeanker oder Hebebolzen können durch eine hängende Last modelliert werden (Abb. 10c). Der Benutzer kann eine teilbelastete Fläche verwenden (Abb. 10d), die es ermöglicht, die Tragfähigkeit des Betons unter Druck nach Eurocode zu erhöhen (es ist nicht möglich, diese Art von lastübertragenden Komponenten zu verwenden, wenn ACI eingestellt ist). Die Struktur kann auch mit Streckenlasten an den Rändern, durch allgemeine Polylinien oder durch Oberflächenlasten belastet werden. Detail ist in der Lage, automatisch ein Eigengewicht in der Analyse zu berücksichtigen.

Lastabtragung an ausgeklinkten Enden von Trägern

In vielen Fällen müssen wir nur ein Detail (einen Teil) eines Bauteils modellieren, wie z.B. eine Balkenauflage, eine Öffnung in der Mitte des Balkens, etc. In solchen Fällen ist es jedoch notwendig, auch den Abschnitt zu modellieren, der den Anschluss an den angrenzenden B-Bereich darstellt, einschließlich der Schnittgrößen in diesem Abschnitt, die das Gleichgewicht erfüllen. In bestimmten Fällen (z.B. bei der Modellierung von Balkenauflagern) können diese Schnittgrößen vom Programm automatisch ermittelt werden.

Zwischen der B-Region und dem untersuchten Diskontinuitätsbereich wird automatisch eine Saint-Venant-Transferzone erzeugt, um eine realistische Spannungsverteilung in dem untersuchten Bereich zu gewährleisten. Die Breite der Transferzone wird auf die Hälfte der Tiefe des Querschnitts festgelegt. Da der einzige Zweck der Saint-Venant-Zone darin besteht, eine korrekte Spannungsverteilung im Rest des Modells zu erreichen, werden bei der Überprüfung keine Ergebnisse aus diesem Bereich angezeigt, und es werden hier keine Abbruchkriterien berücksichtigt.

Die Kante der Saint-Venant-Zone, die das ausgeklinkte Ende des Trägers darstellt, wird als starr modelliert, d. h. sie kann sich drehen, muss aber in der Ebene ruhen. Dazu werden alle FEM-Knoten der Kante mit einem separaten Knoten im Trägheitszentrum des Querschnitts über ein Starrkörperelement (RBE2) verbunden. An diesem Knoten können dann die Schnittgrößen des Elements angesetzt werden, wie in Abb. 12 dargestellt.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Abb. 12\qquad Übertragung von Schnittgrößen an einem ausgeklinkten Ende.}}}\]

Geometrische Änderung von Querschnitten

Bei Geometrien mit Vouten wird die Breite der Wandelemente, die zur Modellierung der Voute verwendet werden, im Vergleich zur ursprünglichen Breite reduziert, so dass sie der doppelten Höhe plus der Dicke der angrenzenden Wand entspricht. Dies beruht auf der Annahme, dass sich ein Druckspannungsfeld in einem 45°-Winkel von der Wand aus ausdehnt (siehe Abb. 13), so dass die vorgenannte reduzierte Breite die maximale Breite ist, die Lasten übertragen kann.

Beachten Sie, dass die in CSFM implementierte Methode zur Bestimmung der effektiven Flanschbreite sich von der in 5.3.2.1 DIN EN 1992-1-1 (2015) angegebenen Methode unterscheidet. Neben der Geometrie wird die nach Eurocode ermittelte effektive Flanschbreite explizit von den Spannweiten und den Randbedingungen eines Bauwerks beeinflusst.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Abb. 13\qquad Breitenreduzierung eines Querschnitts: (a) Benutzereingabe; (b) FE-Modell - automatisch ermittelte reduzierte Flanschbreite}}}\]

Bei Vouten, die in der horizontalen Ebene liegen (Abb. 14), wird jede Voute in fünf Abschnitte entlang ihrer Länge unterteilt. Jeder dieser Abschnitte wird dann als Wand mit einer konstanten Dicke modelliert, die der tatsächlichen Dicke in der Mitte des jeweiligen Abschnitts entspricht.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Abb. 14\qquad Horizontale Voute: (a) Benutzereingabe; (b) FE-Modell - eine automatisch in fünf Abschnitte unterteilte Voute}}}\]

Bemessungsgrundlagen: Finite-Elemente-Typen

Das nichtlineare Finite-Elemente-Analysemodell besteht aus mehreren Arten von Finite-Elementen, die zur Modellierung des Betons, der Bewehrung und des Verbunds zwischen diesen Elementen verwendet werden. Die Beton- und Betonstahlelemente werden zunächst unabhängig voneinander vernetzt und dann mit Hilfe von Multi-Point-Constraints (MPC-Elementen) miteinander verbunden. Dadurch kann die Bewehrung eine beliebige, relative Position zum Beton einnehmen. Soll der Nachweis der Verankerungslänge berechnet werden, werden zwischen der Bewehrung und den MPC-Elementen Verbund- und Verankerungsendfederelemente eingefügt.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 13\qquad Finite-Elemente-Modell: Bewehrungselemente, die unter Verwendung von MPC-Elementen und Verbundelementen auf ein Betonnetz abgebildet werden.}}}\]

Beton

Beton wird mit vier- und dreiseitigen Schalenelementen, CQUAD4 und CTRIA3, modelliert. Bei diesen Elementen wird nur von ebenen Spannungen ausgegangen, d. h. Spannungen oder Dehnungen in z-Richtung werden nicht berücksichtigt.

Jedes Element hat vier bzw. drei Integrationspunkte, die bei etwa 1/4 seiner Größe platziert sind. An jedem Integrationspunkt in jedem Element werden die Richtungen der Hauptdehnungen α₁, α₂berechnet. In diesen beiden Richtungen werden die Hauptspannungen σ_c1, σ_c2 und die Steifigkeiten E₁, E₂ nach dem vorgegebenen Betonspannungs-Dehnungs-Diagramm gemäß Abb. 2 bewertet. Es ist zu beachten, dass der Einfluss der Druckentlastung wegen der Betonrissbildung berücksichtigt wird.

Bewehrung

Bewehrungsstäbe werden durch 1D-Stab"-Elemente (CROD) mit zwei Knoten modelliert, die nur eine axiale Steifigkeit aufweisen. Diese Elemente sind mit speziellen "Bond"-Elementen verbunden, die entwickelt wurden, um das Verbundverhalten zwischen einem Bewehrungsstab und dem umgebenden Beton zu modellieren. Diese Verbundelemente werden anschließend über MPC-Elemente (Multi-Point-Constraint) mit dem Netz verbunden, das den Beton darstellt. Dieser Ansatz ermöglicht die unabhängige Vernetzung von Bewehrung und Beton, während ihre Verbindung untereinander später sichergestellt wird.

Verbundelemente

Der Nachweis der Verankerungslänge erfolgt durch die Implementierung der Verbundschubspannungen zwischen Betonelementen (2D) und Bewehrungselementen (1D) in das Finite-Elemente-Modell. Zu diesem Zweck wurde ein Finite-Elemente-Typ "Verbund" entwickelt.

Die Definition des Verbundelements ist ähnlich der eines Schalenelements (CQUAD4). Es ist ebenfalls durch 4 Knoten definiert, hat aber im Gegensatz zur Schale nur zwischen den beiden oberen und den beiden unteren Knoten eine Schersteifigkeit ungleich Null. Im Modell sind die oberen Knoten mit den Elementen verbunden, die die Bewehrung darstellen, und die unteren Knoten mit denen, die den Beton darstellen. Das Verhalten dieses Elements wird durch die Verbundspannung τ_b, als bilineare Funktion des Schlupfes zwischen dem oberen und dem unteren Knoten δ_u, beschrieben, siehe Abb. 14.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 14\qquad (a) konzeptionelle Darstellung der Verformung eines Verbundelements; (b) eine Spannungs-Verformungs-Funktion.}}}\]

Der elastische Steifigkeitsmodul der Bond-Slip-Beziehung, G_b, ist wie folgt definiert:

\[G_b = k_g \cdot \frac{E_c}{Ø}\]

mit:

k_g            Koeffizient in Abhängigkeit von der Oberfläche des Bewehrungsstabs (standardmäßig kg = 0,2)

E_c            Elastizitätsmodul des Betons (im Fall von EN als E_cm angenommen)

Ø             Durchmesser des Bewehrungsstabs

Für den Nachweis der Verankerungslänge werden die Bemessungswerte (faktorisierte Werte) der Verbundschubspannung f_bd verwendet, die in den jeweils gewählten Bemessungsnormen angegeben sind. Die Verfestigung des plastischen Astes wird standardmäßig mit G_b/10⁵ berechnet.

Verankerungsfeder

Das Anbringen von Verankerungen an den Bewehrungsstäben (z. B. Haken, Schlaufen...), die den Vorschriften der Bemessungsregeln entsprechen, ermöglicht die Verringerung der Grundverankerungslänge der Stäbe (l_b,net) um einen bestimmten Faktor β (im Folgenden als "Verankerungskoeffizient" bezeichnet). Der Bemessungswert der Verankerungslänge (l_b) wird dann wie folgt berechnet:

\[l_b = \left(1 - \beta\right)l_{b,net}\]

Die vorgesehene Reduzierung in l_b,net entspricht der Aktivierung des Bewehrungsstabes an seinem Ende mit einem Prozentsatz seiner maximalen Kapazität, die durch den Verankerungsabnahmekoeffizienten gegeben ist, wie in Abb. 15a gezeigt.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 15\qquad  Modell für die Reduzierung der Verankerungslänge:}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(a) Verankerungskraft entlang der Verankerungslänge des Bewehrungsstabs; (b) Zusammenhang zwischen Schlupf und Verankerungskraft.}}}\]

Die Verringerung der Verankerungslänge wird im Finite-Elemente-Modell durch ein Federelement am Stabende berücksichtigt (Abb. 15), das durch das in Abb. 15b dargestellte konstitutive Modell definiert ist. Die maximale Kraft, die von dieser Feder übertragen wird (F_au), beträgt:

\[F_{au} = \beta \cdot A_s \cdot f_{yd}\]

mit :

β             der Verankerungskoeffizient auf der Grundlage der Verankerungsart,

A_s            der Querschnitt des Bewehrungsstabs,

f_yd           der Bemessungswert (faktorisierter Wert) der Streckgrenze der Bewehrung.

Vernetzung

Die finiten Elemente werden intern implementiert und das Analysemodell wird automatisch generiert, ohne dass eine kompetente Benutzerinteraktion erforderlich ist. Ein wichtiger Teil dieses Prozesses ist die Vernetzung.

Beton

Alle Betonbauteile sind miteinander vernetzt. Eine empfohlene Elementgröße wird automatisch von der Anwendung basierend auf der Größe und Form der Struktur und unter Berücksichtigung des Durchmessers des größten Bewehrungsstabs berechnet. Darüber hinaus garantiert die empfohlene Elementgröße, dass in dünnen Teilen der Struktur, wie z.B. schlanken Stützen oder dünnen Decken, mindestens 4 Elemente generiert werden, um in diesen Bereichen zuverlässige Ergebnisse zu gewährleisten. Die maximale Anzahl von Betonelementen ist auf 5000 begrenzt, aber dieser Wert reicht aus, um die empfohlene Elementgröße für die meisten Bauwerke bereitzustellen. Konstrukteure können jederzeit eine benutzerdefinierte Betonelementgröße auswählen, indem sie den Multiplikator der Standardnetzgröße ändern.

Bewehrung

Die Bewehrung wird in Elemente unterteilt, deren Länge ungefähr der Betonelementgröße entspricht. Sobald die Bewehrungs- und Betonmatten erstellt sind, werden sie mit Verbundelementen (GZT) oder direkt durch MPC-Elemente (GZG) miteinander verbunden, wie in Abb. 15 gezeigt.

Lagerplatten

Hilfskonstruktionsteile wie Lagerplatten werden unabhängig voneinander vernetzt. Die Größe dieser Elemente wird mit 2/3 der Größe der Betonelemente im Verbindungsbereich berechnet. Die Knoten des Netzes der Lagerplatte werden dann mit den Randknoten des Betonnetzes unter Verwendung von Interpolationsbeschränkungselementen (RBE3) verbunden.

Lasten und Lagerungen

Teillasten und Teilauflager sind nur mit der Bewehrung verbunden, wie in Abb. 20 gezeigt. Daher ist es notwendig, die Bewehrung um sie herum zu definieren. Der Anschluss an alle Knoten der Bewehrung innerhalb des wirksamen Radius wird durch RBE3-Elemente mit gleichem Gewicht sichergestellt.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Abb. 20\qquad  Zuordnen der Teillast zu Bewehrungsnetzen.}}}\]

Linienlager und Linienlasten werden mit RBE3-Elementen auf Basis der vorgegebenen Breite bzw. des wirksamen Radius an die Knoten des Betonnetzes angeschlossen. Das Gewicht der Verbindungen ist umgekehrt proportional zum Abstand vom Lager- oder Lastimpuls.

Lösungsverfahren und Algorithmus zur Laststeuerung

Ein standardmäßiger vollständiger Newton-Raphson-Algorithmus (NR) wird verwendet, um die Lösung eines nichtlinearen FEM-Problems zu finden.

Im Allgemeinen konvergiert der NR-Algorithmus oft nicht, wenn die volle Last in einem einzigen Schritt aufgebracht wird. Ein üblicher Ansatz, der auch hier verwendet wird, besteht darin, die Last sequentiell in mehreren Inkrementen aufzubringen und das Ergebnis des vorherigen Lastinkrements zu verwenden, um die Newton-Lösung eines nachfolgenden Inkrements zu starten. Zu diesem Zweck wurde ein Lastkontrollalgorithmus zusätzlich zum Newton-Raphson implementiert. Für den Fall, dass die NR-Iterationen nicht konvergieren, wird das aktuelle Lastinkrement auf die Hälfte seines Wertes reduziert und die NR-Iterationen werden erneut versucht.

Ein zweiter Zweck des Lastkontrollalgorithmus besteht darin, die kritische Last zu finden, die bestimmten "Stoppkriterien" entspricht - insbesondere der maximalen Dehnung im Beton, dem maximalen Schlupf in den Verbundelementen, der maximalen Verschiebung in den Verankerungselementen und der maximalen Dehnung in den Bewehrungsstäben. Die kritische Last wird mit Hilfe der Halbierungsmethode ermittelt. Wird das Stoppkriterium irgendwo im Modell überschritten, werden die Ergebnisse des letzten Lastinkrements verworfen und ein neues Inkrement mit der Hälfte der Größe des vorherigen berechnet. Dieser Vorgang wird so lange wiederholt, bis die kritische Last mit einer bestimmten Fehlertoleranz gefunden ist.

Für Beton wurde das Abbruchkriterium standardmäßig auf eine Druckdehnung von 5 % (d. h. etwa eine Größenordnung größer als die tatsächliche Versagensdehnung von Beton) und eine Zugdehnung von 7 % an den Integrationspunkten der Schalenelemente festgelegt. Im Zug wurde der Wert so gewählt, dass die Grenzdehnung in der Bewehrung, die ohne Berücksichtigung der Zugversteifung in der Regel bei 5 % liegt, zuerst erreicht wird. Im Druckbereich wurde der Wert aus mehreren Alternativen so gewählt, dass er groß genug ist, um die Auswirkungen der Quetschung in den Ergebnissen sichtbar werden zu lassen, aber klein genug, um nicht zu viele Probleme mit der numerischen Stabilität zu verursachen.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Abb. 21\qquad Konstitutive Beziehung von Verbund- und Verankerungselementen, die für den Nachweis der Verankerungslänge verwendet werden:}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{((a) Scherspannungs-Schlupfverhalten eines Verbundelements; (b) Kraft-Weg-Verhalten eines Verankerungselements}}}\]

Für die Bewehrung wird das Anhaltekriterium in Form von Spannungen definiert. Da die Spannungen am Riss modelliert werden, entspricht das Kriterium auf Zug der Zugfestigkeit der Bewehrung unter Berücksichtigung des Sicherheitsbeiwerts. Derselbe Wert wird für das Kriterium in Druckrichtung verwendet.

Das Anhaltekriterium in Verbund- und Verankerungselementen ist α·δu_max, wobei δu_maxder maximale Schlupf ist, der in den Code-Nachweisen verwendet wird, und α = 10.

Präsentation der Ergebnisse

Die Ergebnisse werden unabhängig voneinander für Beton und für Bewehrungselemente dargestellt. Die Spannungs- und Dehnungswerte im Beton werden an den Integrationspunkten der Schalenelemente berechnet. Da es jedoch nicht praktikabel ist, die Daten auf diese Weise darzustellen, werden die Ergebnisse standardmäßig in Knoten dargestellt, wie der Maximalwert der Druckspannung von benachbarten Gauß-Integrationspunkten in verbundenen Elementen (Abb. 22). 

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Abb. 22\qquad  Finites Element aus Beton mit Integrationspunkten und -knoten: Darstellung der Ergebnisse für Beton in Knoten und}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{in finiten Elementen.}}}\]

Die Ergebnisse für die finiten Elemente der Bewehrung sind entweder für jedes Element konstant (ein Wert - z. B. für Stahlspannungen) oder linear (zwei Werte - für Verbundergebnisse). 

Grenzzustände und Rissbreitenberechnung

Die Bemessung mit Hilfe des CSFM erfolgt durch zwei verschiedene Analysen: eine für die Gebrauchstauglichkeit und eine für die Grenzlastkombinationen im Grenzzustand der Tragfähigkeit. Bei der Gebrauchstauglichkeitsanalyse wird davon ausgegangen, dass das Tragverhalten des Elements zufriedenstellend ist und die Fließbedingungen des Materials bei den Gebrauchstauglichkeitslaststufen nicht erreicht werden. Dieser Ansatz ermöglicht die Verwendung vereinfachter konstitutiver Modelle (mit einem linearen Zweig des Betonspannungs-Dehnungs-Diagramms) für die Gebrauchstauglichkeitsanalyse, um die numerische Stabilität und die Berechnungsgeschwindigkeit zu erhöhen. Es wird daher empfohlen, den unten dargestellten Arbeitsablauf zu verwenden, bei dem die Analyse des Grenzzustands der Tragfähigkeit als erster Schritt durchgeführt wird.

Analyse des Grenzzustands der Tragfähigkeit

Die verschiedenen Nachweise, die von bestimmten Bemessungsnormen gefordert werden, werden auf der Grundlage der vom Modell gelieferten direkten Ergebnisse bewertet. GZT-Nachweise werden für die Betonfestigkeit, die Bewehrungsfestigkeit und die Verankerung (Verbundschubspannungen) geführt.

Um eine effiziente Bemessung eines Bauteils zu gewährleisten, wird empfohlen, eine Voranalyse durchzuführen, die die folgenden Schritte berücksichtigt:

• Wählen Sie eine Auswahl der kritischsten Lastkombinationen.
• Berechnen Sie nur Lastkombinationen im Grenzzustand der Tragfähigkeit (ULS).
• Verwenden Sie ein grobes Netz (indem Sie den Multiplikator der Standardnetzgröße in Setup (Abb. 19) erhöhen).

\Abb. 19: Netzmultiplikator erhöhen]]

Ein solches Modell lässt sich sehr schnell berechnen. Sobald alle Nachweisanforderungen dieser vorläufigen Analyse erfüllt sind, wird vorgeschlagen, die vollständigen Traglastkombinationen einzubeziehen und eine feine Maschenweite zu verwenden (die vom Programm empfohlene Maschenweite). Der Benutzer kann die Maschenweite mit Hilfe des Multiplikators ändern, der Werte von 0,5 bis 5 erreichen kann (Abb. 19).

Die grundlegenden Ergebnisse und Nachweise (Spannung, Dehnung und Ausnutzung (d.h. der berechnete Wert/Grenzwert aus dem Code) sowie die Richtung der Hauptspannungen im Falle von Betonelementen) werden mit Hilfe verschiedener Diagramme dargestellt, wobei Druck im Allgemeinen in rot und Zug in blau dargestellt wird. Globale Minimal- und Maximalwerte für die gesamte Struktur können ebenso hervorgehoben werden wie Minimal- und Maximalwerte für jedes benutzerdefinierte Teil. In einer separaten Registerkarte des Programms können erweiterte Ergebnisse wie Tensorwerte, Verformungen der Struktur und Bewehrungsgrade (effektiv und geometrisch), die zur Berechnung der Zugaussteifung von Bewehrungsstäben verwendet werden, angezeigt werden. Außerdem können Lasten und Reaktionen für ausgewählte Kombinationen oder Lastfälle dargestellt werden.

Analyse des Grenzzustands der Gebrauchstauglichkeit

GZG-Nachweise werden für Spannungsbegrenzung, Rissbreite und Durchbiegungsgrenzen durchgeführt. Die Spannungen in Beton und Bewehrungselementen werden gemäß den geltenden Vorschriften in ähnlicher Weise wie bei der GZT nachgewiesen.

Die Gebrauchstauglichkeitsanalyse enthält bestimmte Vereinfachungen der konstitutiven Modelle, die für die Analyse des Grenzzustands der Tragfähigkeit verwendet werden. Es wird ein perfekter Verbund angenommen, d. h. die Verankerungslänge wird bei der Gebrauchstauglichkeit nicht nachgewiesen. Außerdem wird der plastische Zweig der Spannungs-Dehnungs-Kurve des Betons unter Druck vernachlässigt, während der elastische Zweig linear und unendlich ist. Diese Vereinfachungen erhöhen die numerische Stabilität und die Berechnungsgeschwindigkeit und verringern nicht die Allgemeinheit der Lösung, solange die resultierenden Materialspannungen bei der Gebrauchstauglichkeit deutlich unter ihren Fließgrenzen liegen (wie in den Normen gefordert). Daher sind die für die Gebrauchstauglichkeit verwendeten vereinfachten Modelle nur dann gültig, wenn alle Nachweisanforderungen erfüllt sind.

Rissbreitenberechnung

Es gibt zwei Arten der Rissbreitenberechnung - stabilisierte und nicht-stabilisierte Risse. Je nach dem geometrischen Bewehrungsverhältnis in jedem Teil der Struktur wird entschieden, welche Art von Rissberechnungsmodell verwendet wird (TCM für stabilisierte Risse und POM für nicht stabilisierte Risse).

\( \textsf{\textit{\footnotesize{Abb. 20 \qquad Rissbreitenberechnung: (a) betrachtete Risskinematik; (b) Projektion der Risskinematik in die Hauptrichtung}}) \( \textsf{\textit{\footnotesize{Richtungen des Bewehrungsstabs; (c) Rissbreite in Richtung des Bewehrungsstabs bei stabilisierter Rissbildung; (d) Fälle mit}}}) \(e) Rissbreite in Richtung des Bewehrungsstabs für nicht stabilisierte Rissbildung; (f) Rissbreite in Richtung des Bewehrungsstabs für nicht stabilisierte Rissbildung; (g) Rissbreite in Richtung des Bewehrungsstabs für nicht stabilisierte Rissbildung.

Während das CSFM für die meisten Nachweise (z. B. Tragfähigkeit, Durchbiegungen usw.) ein direktes Ergebnis liefert, werden die Rissbreitenergebnisse aus den Bewehrungsdehnungsergebnissen berechnet, die direkt von der FE-Analyse gemäß der in Abb. 20 beschriebenen Methodik geliefert werden. Es wird eine Risskinematik ohne Schlupf (reine Rissöffnung) betrachtet (Abb. 20a), die mit den Hauptannahmen des Modells übereinstimmt. Die Hauptrichtungen der Spannungen und Dehnungen definieren die Neigung der Risse (_θr = _θs=θe). Nach (Abb. 20b) kann die Rissbreite(w) in Richtung des Bewehrungsstabs(_wb) projiziert werden, was zu folgenden Ergebnissen führt:

\[w = \frac{w_b}{\cos\left(θ_r + θ_b - \frac{π}{2}\right)}\]

wobei _θb die Stabneigung ist.

Die Komponente _wb wird konsequent auf der Grundlage der Zugversteifungsmodelle durch Integration der Bewehrungsdehnungen berechnet. Für die Bereiche mit voll entwickelten Rissmustern werden die berechneten mittleren Dehnungen (_em) entlang der Bewehrungsstäbe direkt entlang des Rissabstands(_sr) integriert, wie in Abb. 20c dargestellt. Dieser Ansatz zur Berechnung der Rissrichtungen entspricht zwar nicht der tatsächlichen Lage der Risse, liefert aber dennoch repräsentative Werte, die zu Rissbreitenergebnissen führen, die mit den in den Normen geforderten Rissbreitenwerten an der Position des Bewehrungsstabs verglichen werden können.

Besondere Situationen treten an konkaven Ecken der berechneten Struktur auf. In diesem Fall gibt die Ecke die Position eines einzelnen Risses vor, der sich nicht stabilisiert verhält, bevor sich weitere benachbarte Risse entwickeln. Diese zusätzlichen Risse entwickeln sich im Allgemeinen nach dem Gebrauchstauglichkeitsbereich (Mata-Falcón 2015), was es rechtfertigt, die Rissbreiten in einem solchen Bereich so zu berechnen, als ob sie nicht stabilisiert wären (Abb. 21).

\Definition des Bereichs an konkaven Ecken, in dem die Rissbreite so berechnet wird, als ob sie nicht stabilisiert wäre (Abb. 21)].

Zugversteifung

Bei der Anwendung der Spannungsaussteifung wird zwischen stabilisierten und nicht stabilisierten Rissmustern unterschieden. In beiden Fällen wird der Beton vor der Belastung standardmäßig als vollständig gerissen angesehen.

\( \textsf{\textit{\footnotesize{Abb. 22\qquad Spannungsaussteifungsmodell: (a) Zugsehnelement für stabilisierte Risse mit Verteilung der Verbundscherung,}}}) \( \textsf{\textit{\footnotesize{Stahl- und Betonspannungen und Stahldehnungen zwischen den Rissen, unter Berücksichtigung des mittleren Rissabstands); (b) Auszugsannahme}}}) \( \textsf{\textit{\footnotesize{für nicht stabilisierte Risse mit Verteilung der Verbundscher- und Stahlspannungen und -dehnungen um den Riss herum; (c) resultierend}}}) \{\( \textsf{\textit{\footnotesize{Zuggurtverhalten in Bezug auf die Bewehrungsspannungen an den Rissen und die durchschnittlichen Dehnungen für europäischen B500B-Stahl;}}}) \( \textsf{\textit{\footnotesize{(d) detail of the initial branches of the tension chord response.}}})

Stabilisierte Rissbildung

Bei voll entwickelten Rissmustern wird die Zugversteifung mit Hilfe des Zugsehnenmodells (TCM) (Marti et al. 1998; Alvarez 1998) eingeführt - Abb. 22a -, das trotz seiner Einfachheit nachweislich ausgezeichnete Antwortvorhersagen liefert (Burns 2012). Die TCM geht von einer gestuften, starr-vollkommen plastischen Verbund-Schubspannungs-Schlupf-Beziehung mit τb_{= τb0} =2 _fctm für _σs ≤ _fy und _{τb =τb1} = _fctm für σs_{> fy} aus. Wenn man jeden Bewehrungsstab als Zuggurt behandelt - Abb. 22b und Abb. 22a - kann die Verteilung der Verbundschub-, Stahl- und Betonspannungen und damit die Dehnungsverteilung zwischen zwei Rissen für jeden beliebigen Wert der maximalen Stahlspannungen (oder Dehnungen) an den Rissen bestimmt werden.

Für_sr = _sr0 kann sich ein neuer Riss bilden oder auch nicht, denn in der Mitte zwischen zwei Rissen ist _σc1 = _fct. Folglich kann der Rissabstand um den Faktor zwei variieren, d. h._sr = _λsr0, mit l = 0,5...1,0. Unter der Annahme eines bestimmten Wertes für λ kann die mittlere Dehnung der Sehne (_εm) als Funktion der maximalen Bewehrungsspannungen (d. h. der Spannungen an den Rissen, _σsr) ausgedrückt werden. Für das idealisierte bilineare Spannungs-Dehnungs-Diagramm für die blanken Bewehrungsstäbe, die standardmäßig im CSFM berücksichtigt werden, erhält man die folgenden analytischen Ausdrücke in geschlossener Form (Marti et al. 1998):

\[\varepsilon_m = \frac{\sigma_{sr}}{E_s} - \frac{\tau_{b0}s_r}{E_s Ø}\]

\[\textrm{for}\qquad\qquad\sigma_{sr} \le f_y\]

\[{\varepsilon_m} = \frac{{{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}^2}Ø}}{{4{E_{sh}}{\tau _{b1}}{s_r}}}\left( {1 - \frac{{E_{sh}}{\tau_{b0}}}}{{E_s}{\tau_{b1}}}}} \right) + \frac{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}}{{{E_s}}}\frac{{{\tau_{b0}}}}{{\tau_{b1}}}} + \left( {{\varepsilon_y} - \frac{{{\tau_{b0}}{s_r}}{{{E_s}Ø}}} \right)\]

\[\textrm{for}\qquad\qquad{f_y} \le {\sigma _{sr}} \le \left( {{f_y} + \frac{{2{\tau _{b1}}{s_r}}}{Ø}} \right)\]

\[ \varepsilon_m = \frac{f_s}{E_s} + \frac{\sigma_{sr}-f_y}{E_{sh}} - \frac{\tau_{b1} s_r}{E_{sh} Ø}\]

\[\textrm{for}\qquad\qquad\left(f_y + \frac{2\tau_{b1}s_r}{Ø}\right) \le \sigma_{sr} \le f_t\]

wobei:_Esh der Stahlverfestigungsmodul_Esh =(_ft - _fy)/(_εu - _{fy /Es}) ,

_Es Elastizitätsmodul der Bewehrung,

Ø Durchmesser des Bewehrungsstabs,

_sr ^Rissabstand ,

_σsr Bewehrungsspannungen an den Rissen,

_σs tatsächliche Bewehrungsspannungen,

fy_Streckgrenze der Bewehrung.

Die Idea StatiCa Detail-Implementierung des CSFM berücksichtigt bei der computergestützten Spannungsfeldanalyse standardmäßig mittlere Rissabstände. Der mittlere Rissabstand wird mit 2/3 des maximalen Rissabstands (λ = 0,67) angenommen, was den Empfehlungen auf der Grundlage von Biege- und Zugversuchen entspricht (Broms 1965; Beeby 1979; Meier 1983). Es sei darauf hingewiesen, dass bei der Berechnung der Rissbreiten ein maximaler Rissabstand (λ = 1,0) berücksichtigt wird, um konservative Werte zu erhalten.

Die Anwendung des TCM hängt vom Bewehrungsgrad ab, und daher ist die Zuordnung einer geeigneten Betonfläche, die zwischen den Rissen auf Zug wirkt, zu jedem Bewehrungsstab entscheidend. Es wurde ein automatisches numerisches Verfahren entwickelt, um das entsprechende effektive Bewehrungsverhältnis (_ρeff = As/Ac_,eff) für jede beliebige Konfiguration, einschließlich schräger Bewehrung, zu bestimmen (Abb. 23).

\( \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 23\qquad Effektive Fläche des Betons unter Spannung für stabilisierte Risse: (a) maximale Betonfläche, die aktiviert werden kann;}}}) \( \textsf{\textit{\footnotesize{(b) Überdeckung und globale Symmetriebedingung; (c) resultierende wirksame Fläche.}}})

Nicht-stabilisierte Rissbildung

Risse in Bereichen mit geometrischen Bewehrungsgraden kleiner als _ρcr, d.h. der Mindestbewehrungsmenge, bei der die Bewehrung die Risslast tragen kann, ohne nachzugeben, entstehen entweder durch nichtmechanische Einwirkungen (z.B. Schwinden) oder durch das Fortschreiten von Rissen, die durch andere Bewehrung kontrolliert werden. Der Wert dieser Mindestbewehrung ergibt sich wie folgt:

\[{\rho _{cr}} = \frac{{f_{ct}}}}{{f_y} - \left( {n - 1} \right){f_{ct}}}}\]

wobei:

_fy Streckgrenze der Bewehrung,

_fct Betonzugfestigkeit,

n Modulverhältnis, n =_Es /_Ec.

Für konventionellen Beton und Bewehrungsstahl beträgt _ρcr etwa 0,6 %.

Für Bügel mit Bewehrungsgraden unter _ρcr wird die Rissbildung als nicht stabilisiert angesehen und die Zugversteifung wird mit Hilfe des in Abb. 22b beschriebenen Pull-Out-Modells (POM) implementiert. Dieses Modell analysiert das Verhalten eines einzelnen Risses, wobei keine mechanische Interaktion zwischen den einzelnen Rissen berücksichtigt wird, die Verformbarkeit des Betons auf Zug vernachlässigt wird und dieselbe stufenförmige, starr-vollkommen plastische Scherspannungs-Schlupf-Beziehung wie beim TCM angenommen wird. Dadurch kann die Verteilung der Bewehrungsdehnung (_εs) in der Nähe des Risses für jede maximale Stahlspannung am Riss (_σsr) direkt aus dem Gleichgewicht ermittelt werden. Da der Rissabstand für ein nicht vollständig entwickeltes Rissmuster nicht bekannt ist, wird die mittlere Dehnung (_εm) für jedes Lastniveau über den Abstand zwischen Punkten mit Nullschlupf berechnet, wenn der Bewehrungsstab seine Zugfestigkeit(_ft) am Riss erreicht(lε_,avg in Abb. 22b), was zu den folgenden Beziehungen führt:

Die vorgeschlagenen Modelle ermöglichen die Berechnung des Verhaltens deσ Βετονσταηλσ, die schließlich in der Analyse berücksichtigt wird. Dieses Verhalten (einschließlich der Zugversteifung) für den gebräuchlichsten europäischen Betonstahl (B500B, mit_ft / _fy = 1,08 und _εu = 5%) ist in Abb. 22c-d dargestellt.

Die Bewertung der Struktur mit Hilfe des CSFM erfolgt durch zwei verschiedene Analysen: eine für die Gebrauchstauglichkeit und eine für die Grenzlastkombinationen im Grenzzustand der Tragfähigkeit. Bei der Gebrauchstauglichkeitsanalyse wird davon ausgegangen, dass das Tragverhalten des Elements zufriedenstellend ist und die Fließbedingungen des Materials bei den Gebrauchstauglichkeitslaststufen nicht erreicht werden. Dieser Ansatz ermöglicht die Verwendung vereinfachter konstitutiver Modelle (mit einem linearen Zweig des Betonspannungs-Dehnungs-Diagramms) für die Gebrauchstauglichkeitsanalyse, um die numerische Stabilität und die Berechnungsgeschwindigkeit zu erhöhen. Es wird daher empfohlen, den unten dargestellten Arbeitsablauf zu verwenden, bei dem die Analyse des Grenzzustands der Tragfähigkeit als erster Schritt durchgeführt wird.

Bemessung nach Eurocode

Die Bemessung mit Hilfe des CSFM erfolgt durch zwei verschiedene Analysen: eine für die Gebrauchstauglichkeit und eine für die LF-Kombination im Grenzzustand der Tragfähigkeit. Bei der Gebrauchstauglichkeitsanalyse wird davon ausgegangen, dass das Tragverhalten des Elements zufriedenstellend ist und die Fließbedingungen des Materials bei den Gebrauchstauglichkeitslaststufen nicht erreicht werden. Dieser Ansatz ermöglicht die Verwendung vereinfachter konstitutiver Modelle (mit einem linearen Zweig des Betonspannungs-Dehnungs-Diagramms) für die Gebrauchstauglichkeitsanalyse, um die numerische Stabilität und die Berechnungsgeschwindigkeit zu erhöhen.

Materialien

Beton - GZT

Das in der CSFM implementierte Betonmodell basiert auf den Werkstoffgesetzen für einachsigen Druck, die in DIN EN 1992-1-1 für die Bemessung von Querschnitten, die nur von der Druckfestigkeit abhängen, vorgeschrieben sind. Das in DIN EN 1992-1-1 (Abb. 26a) angegebene Parabel-Rechteck-Diagramm wird in der CSFM standardmäßig verwendet; Konstrukteure können jedoch auch ein vereinfachtes, elastisch ideal plastisches Verhältnis wählen (Abb. 26b). Wie es bei der Bemessung von klassischem Stahlbeton der Fall ist, wird die Zugfestigkeit vernachlässigt.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 26\qquad The stress-strain diagrams of concrete for ULS: a) parabola-rectangle diagram; b) bilinear diagram.}}}\]

Unter Verwendung der Standardeinstellungen berücksichtigt die aktuelle Implementierung der CSFM in IDEA StatiCa Detail kein explizites Versagenskriterium in Bezug auf Dehnungen für Druckbeton (d.h. nach Erreichen der Spannungsspitze wird ein plastischer Zweig mit ε_cu2 (ε_cu3) mit einem Wert von 5% berücksichtigt, während DIN EN 1992-1-1 eine Grenzdehnung von weniger als 0,35% annimmt). Diese Vereinfachung macht die Überprüfung der Verformungskapazität von Strukturen, die bei Druck versagen, nicht möglich. Ihre finale Kapazität wird jedoch korrekt vorhergesagt, wenn zusätzlich zu dem in Abb. 2e definierten Faktor für gerissenen Beton (k_c2, siehe Abb. 27)) die Zunahme der Sprödigkeit von Beton mit zunehmender Festigkeit anhand des in der fib Modellnorm 2010 definierten Reduktionsfaktors wie folgt berücksichtigt wird:

\[f_{cd}=\frac{f_{ck,red}}{γ_c} = \frac{k_c \cdot f_{ck}}{γ_c} = \frac{\eta _{fc} \cdot k_{c2} \cdot f_{ck}}{γ_c}\]

\[{\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f_{ck}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1\]

wo:

k_c  – Globaler Reduktionsfaktor der Druckfestigkeit

k_c2 – Reduktionsfaktor aufgrund von Querrissen

f_ck – Charakteristische Festigkeit des Betonzylinders (in MPa zur Definition von η_fc.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 27\qquad The compression softening law.}}}\]

Beton - GZG

Die Analyse zur Gebrauchstauglichkeit enthält bestimmte Vereinfachungen der Werkstoffmodelle, die für die GZT Analyse verwendet werden. Es wird ein perfekter Verbund angenommen, d.h. die Verankerungslänge wird bei der Gebrauchstauglichkeit nicht überprüft.

Weiterhin wird der plastische Zweig der Spannungs-Dehnungs-Kurve von auf Druck belastetem Beton nicht berücksichtigt, während der elastische Zweig linear und unendlich ist. Das Gesetz zur Druckentfestigung wird nicht berücksichtigt. Diese Vereinfachungen verbessern die numerische Stabilität und Berechnungsgeschwindigkeit, verringern jedoch nicht die Allgemeinheit der Lösung, solange die resultierenden Grenzwerte für die Materialspannung bei Gebrauchstauglichkeit deutlich unter ihren Streckgrenzen liegen (wie vom Eurocode gefordert). Daher sind die für die Gebrauchstauglichkeit verwendeten, vereinfachten Modelle nur gültig, wenn alle Anforderungen zur Überprüfung erfüllt sind.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 28\qquad Concrete stress-strain diagrams implemented for serviceability analysis: short- and long-term verifications.}}}\]

Langfristige Auswirkungen

Bei der Analyse der Gebrauchstauglichkeit werden die langfristigen Auswirkungen von Beton unter Verwendung eines wirksamen unendlichen Kriechkoeffizienten (φ, standardmäßig mit 2,5 angenommen) betrachtet, der den Sekantenmodul der Elastizität des Betons (E_cm) wie folgt bearbeitet:

\[E_{c,eff} = \frac{E_{cm}}{1+\varphi}\]

Bei der Betrachtung von langfristigen Auswirkungen wird zunächst ein Lastschritt mit allen ständigen Lasten, unter Berücksichtigung des Kriechkoeffizienten (d.h .unter Verwendung des wirksamen E-Mduls von Beton, E_c,eff) berechnet, und anschließend werden die zusätzlichen Lasten ohne den Kriechkoeffizienten berechnet (d.h. unter Verwendung von E_cm). Um kurzfristige Überprüfungen durchzuführen, wird zusätzlich eine weitere Berechnung durchgeführt, bei der alle Lasten ohne den Kriechkoeffizienten berechnet werden. Beide Berechnungen für Langzeit- und Kurzzeitüberprüfungen sind in Abb. 28 dargestellt.

Bewehrung

Standardmäßig wird das idealisierte bilineare Spannungs-Dehnungs-Diagramm für die blanken Bewehrungsstäbe berücksichtigt, die typischerweise durch Bemessungsnormen (Abb. 29) definiert sind. Die Definition dieses Diagramms erfordert nur, dass die grundlegenden Eigenschaften der Bewehrung während der Bemessungsphase bekannt sind (Festigkeits- und Duktilitätsklasse). Wann immer bekannt, kann das reale Spannungs-Dehnungs-Verhältnis der Bewehrung (warmgewalzt, kaltverformt, abgeschreckt und selbsttemperiert, etc.) berücksichtigt werden. Das Spannungs-Dehnungs-Diagramm der Bewehrung kann vom Benutzer definiert werden. In diesem Fall ist es jedoch unmöglich, den Effekt der Zugversteifung anzunehmen (eine Berechnung der Rissbreite ist nicht möglich). Die Verwendung des Spannungs-Dehnungs-Diagramms mit horizontalem oberem Ast ermöglicht keine Überprüfung der strukturellen Haltbarkeit. Daher ist eine manuelle Überprüfung der Standardanforderungen an die Duktilität erforderlich.

\( \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 29 \qquad Stress-strain diagram of reinforcement: a) bilinear diagram with an inclined top branch; b) bilinear diagram}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{with a horizontal top branch.}}}\)

Zugversteifung (Abb. 30) wird automatisch berücksichtigt, indem das Verhältnis von Eingangsspannung zu Dehnung des blanken Bewehrungsstabs bearbeitet wird, um die durchschnittliche Steifigkeit der im Beton eingebetteten Stäbe (ε_m) gemäß den in Abschnitt 1.2.4 dargestellten Ansätzen zu erfassen.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 30\qquad Scheme of tension stiffening.}}}\]

Teilsicherheitsbeiwerte

Teilsicherheitsbeiwerte

Die kompatible Spannungsfeldmethode entspricht den heutigen Bemessungsnormen (Eurocode 2). Da die Berechnungsmodelle nur Eigenschaften von Standardmaterialien verwenden, kann das in den Bemessungsnormen vorgeschriebene Format des Teilsicherheitsfaktors ohne Anpassung angewendet werden. Auf diese Weise werden die eingegebenen Lasten berücksichtigt und die charakteristischen Materialeigenschaften unter Verwendung der jeweiligen Sicherheitsfaktoren reduziert, die in den Bemessungsnormen, genau wie bei der herkömmlichen Betonanalyse, vorgeschrieben sind. Werte der Sicherheitsfaktoren in EN 1992-1-1 Kap. 2.4.2.4 sind standardmäßig eingestellt, der Anwender kann sie jedoch in den Einstellungen ändern (Abb. 31).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 31\qquad Die Einstellung der materiellen Sicherheitsfaktoren in Idea StatiCa Detail.}}}\]

Lastsicherheitsfaktoren müssen vom Anwender in der Kombinationsregel für jede nichtlineare Lastfallkombination definiert werden (Abb. 32). Für alle in IDEA StatiCa Detail implementierten Vorlagen sind die Teilsicherheitsfaktoren bereits vordefiniert.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 32\qquad Die Einstellung der Lastteilfaktoren in Idea StatiCa Detail.}}}\]

4 Verifizierung der Strukturelemente

Die Bewertung der Struktur mittels CSFM erfolgt durch zwei verschiedene Analysen: Eine für Kombinationen der Gebrauchstauglichkeit, und eine für Kombinationen des Grenzzustandes der Tragfähigkeit. Die Analyse der Gebrauchstauglichkeit geht davon aus, dass das Grenzverhalten des Elements ausreichend ist und die Fließbedingungen des Materials auf dem Level der Gebrauchstauglichkeit nicht erreicht werden. Dieser Ansatz ermöglicht die Verwendung vereinfachter Werkstoffmodelle (mit einem linearen Zweig des Spannungs-Dehnungs-Diagramms des Betons) für die Analyse der Gebrauchstauglichkeit, um die numerische Stabilität und die Berechnungsgeschwindigkeit zu verbessern. Daher wird die Verwendung des unten dargestellten Workflows empfohlen, bei dem als erster Schritt die Analyse des Grenzzustands der Tragfähigkeit durchgeführt wird.

4.1     GZT Analyse

Die Bewertung der verschiedenen Überprüfungen, die für bestimmte Bemessungsnormen erforderlich sind, erfolgt auf der Grundlage der direkten Ergebnisse des Modells. GZT-Nachweise werden für die Betonfestigkeit, Bewehrungsfestigkeit und Verankerung (Verbundschubspannungen) durchgeführt.

Um sicherzustellen, dass ein Strukturelement effizient konstruiert ist, wird dringend empfohlen, eine vorläufige Analyse durchzuführen, die die folgenden Schritte berücksichtigt:

• Auswahl der am meisten kritischen Lastkombinationen treffen
• Nur Lastkombinationen für den Grenzzustand der Tragfähigkeit (GZT) berechnen
• Ein grobes Netz verwenden (Erhöhen des Multiplikators der Standardnetzgröße, Abb.23

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 23\qquad Mesh multiplier.}}}\]

Ein solches Modell lässt sich sehr schnell berechnen, sodass Konstrukteure die Detaillierung des Strukturelements effizient überprüfen und die Analyse erneut ausführen können, bis alle Anforderungen an die Überprüfung für die kritischsten Lastkombinationen erfüllt sind. Sind alle Anforderungen an die Überprüfung dieser vorläufigen Analyse erfüllt, wird empfohlen, die vollständigen Grenzlastkombinationen und die Verwendung einer feinen Netzgröße (vom Programm empfohlene Netzgröße) einzubeziehen. Der Anwender kann die Netzgröße durch den Multiplikator (Wert von 0,5 bis 5) ändern.

Die Basisergebnisse und Überprüfungen (Spannung, Dehnung und Ausnutzung (d.h. der aus der Norm berechnete Wert/Grenzwert) sowie die Richtung der Hauptspannungen bei Betonelementen) werden anhand verschiedener Diagramme angezeigt, in denen die Druckbereiche in der Regel in rot und Zugbereiche in blau dargestellt werden.

Es können globale Minimal- und Maximalwerte für die gesamte Struktur sowie Minimal- und Maximalwerte für jedes benutzerdefinierte Teil hervorgehoben werden. In einem separaten Tab können erweiterte Ergebnisse wie Tensorwerte, Verformungen der Struktur und Bewehrungsanteile (effektiv und geometrisch) angezeigt werden, die zur Berechnung der Zugversteifung der Bewehrungsstäbe verwendet werden. Darüber hinaus können Lasten und Lagerreaktionen für ausgewählte Kombinationen oder Lastfälle dargestellt werden.

4.2     GZG Analyse

GZG Auswertungen erfolgen für Spannungsbegrenzung, Rissbreite und Durchbiegungsgrenzen.

Die Spannungen in Beton- und Bewehrungselementen werden gemäß der geltenden Norm auf ähnliche Weise wie für die im GZT festgelegten nachgewiesen.

Die Analyse der Gebrauchstauglichkeit enthält bestimmte Vereinfachungen der Werkstoffmodelle, die für die finale Analyse des GZT verwendet werden. Es wird ein perfekter Verbund wird angenommen, d.h. die Verankerungslänge wird bei Gebrauchstauglichkeit nicht überprüft. Weiterhin wird der plastische Zweig der Spannungs-Dehnungs-Kurve von Beton bei Druck nicht berücksichtigt, während der elastische Zweig linear und unendlich ist. Diese Vereinfachungen verbessern die numerische Stabilität und die Berechnungsgeschwindigkeit, verringern aber gleichzeitig nicht die Allgemeinheit der Lösung, solange die resultierenden Grenzwerte für die Materialspannung bei Erreichen der Gebrauchstauglichkeit deutlich unter ihren Streckgrenzen liegen (wie von Normen gefordert). Daher sind die für die Gebrauchstauglichkeit verwendeten vereinfachten Modelle nur gültig, wenn alle Anforderungen zur Überprüfung erfüllt sind.

4.2.1  Berechnung der Rissbreite

Es gibt zwei Möglichkeiten zur Berechnung von Rissbreiten: stabilisierte und nicht stabilisierte Risse. Entsprechend dem geometrischen Bewehrungsanteil in jedem Teil der Struktur wird entschieden, welche Art von Rissberechnungsmodell verwendet wird (TCM für stabilisierte Rissmodelle und POM für nicht stabilisierte Rissmodelle).

\( \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 24 \qquad Crack width calculation: (a) considered crack kinematics; (b) projection of crack kinematics into the principal}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{directions of the reinforcing bar; (c) crack width in the direction of the reinforcing bar for stabilized cracking; (d) cases with}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{local non-stabilized cracking regardless of the reinforcement amount; (e) crack width in the direction of the reinforcing bar}}}\)\( \textsf{\textit{\footnotesize{for non-stabilized cracking.}}}\)

Während die CSFM für die meisten Überprüfungen (z.B. Bauteilkapazität, Durchbiegungen ...) ein direktes Ergebnis liefert, werden die Ergebnisse der Rissbreite aus den Ergebnissen der Bewehrungsdehnung berechnet, die direkt durch die FE-Analyse, gemäß der in Abb. 24 beschriebenen Methodik, bereitgestellt werden. Es wird eine Risskinematik ohne Schlupf (reine Rissöffnung) betrachtet (Abb. 24a), die mit den Hauptannahmen des Modells übereinstimmt. Die Hauptrichtungen der Spannungen und Dehnungen definieren die Neigung der Risse (θ_r = θ_s = θ_e). Gemäß Abb. 24b kann die Rissbreite (w) in Richtung des Bewehrungsstabs (w_b) projiziert werden, was zu folgender Definition führt:

\[w = \frac{w_b}{\cos\left(θ_r + θ_b - \frac{π}{2}\right)}\]

mit θ_b als Stabneigung.

Die Berechnung der Komponente w_b erfolgt konsistent, basierend auf den in Abschnitt 1.2.4 vorgestellten Zugversteifungsmodellen, durch Integration der Bewehrungsdehnungen. Für diese Bereiche mit voll entwickelten Rissmustern werden, wie in Abb. 24c angegeben, die berechneten durchschnittlichen Dehnungen (e_m) entlang der Bewehrungsstäbe direkt entlang des Rissabstands (s_r) integriert. Während dieser Ansatz zur Berechnung der Rissrichtungen nicht der tatsächlichen Position der Risse entspricht, liefert er dennoch repräsentative Werte, die zu Ergebnissen der Rissbreite führen, die mit den von der Norm geforderten Werten an der Position des Bewehrungsstabs verglichen werden können.

Besondere Situationen werden an konkaven Ecken der berechneten Struktur beobachtet. In diesem Fall definiert die Ecke die Position eines einzelnen Risses, der sich nicht stabilisiert verhält, bevor sich zusätzliche benachbarte Risse entwickeln. Diese zusätzlichen Risse entstehen in der Regel nach dem Bereich der Gebrauchstauglichkeit (Mata-Falcón 2015), der die Berechnung der Rissbreiten in einem solchen Bereich rechtfertigt, als wären sie nicht stabilisiert (Abb. 25), unter Verwendung des in Abschnitt 1.2.4 dargestellten Modells.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 25\qquad Definition of the region at concave corners in which the crack width is computed as if it were non-stabilized.}}}\]

Teilbelastete Flächen

Bei der Bemessung von Betonstrukturen treffen wir auf zwei Arten der Bemessung der Teilflächenbelastung von Betonbauteilen - die Bemessung der Betondrucktragfähigkeit und die Ermittlung der erforderlichen Betonstahlmenge. Gemäß den derzeit geltenden Normen für die Stahlbetonbemessung (DIN EN 1992-1-1 Kap. 6.7, siehe Abb. 34) sollten lokales Betonversagen und Spaltzugkräfte berücksichtigt werden. Für eine gleichmäßig verteilte Last auf einer Fläche A_c0 kann die Druckkapazität von Beton je nach Bemessungsverteilungsfläche A_c1 um das max. Dreifache erhöht werden.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Abb. 34\qquad Teilbelastete Flächen nach DIN EN 1992-1-1}}}\]

Die teilbelastete Fläche muss ausreichend mit einer Spaltzugbewehrung verstärkt sein, um die in dem Bereich auftretenden Querzugkräfte zu übertragen. Für die Bemessung der Spaltzugbewehrung in teilbelasteten Flächen wird die Fachwerkmethode nach Eurocode verwendet. Ohne die erforderliche Spaltzugbewehrung kann eine Erhöhung der Druckkapazität des Betons nicht in Betracht gezogen werden.

Teilbelastete Flächen in der CSFM

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Abb. 35\qquad Fiktive Streben mit Finite-Elemente-Netz aus Beton}}}\]

Mit der CSFM ist es möglich, bewehrte Betonstrukturen, unter Berücksichtigung des Einflusses der zunehmenden Druckfestigkeit von Beton in teilweise belasteten Bereichen, zu bemessen und zu bewerten. Da die CSFM ein Wandmodell (2D) ist und die teilbelasteten Fläche eine räumliche Aufgabe (3D) sind, musste eine Lösung gefunden werden, die diese beiden unterschiedlichen Aufgabentypen kombiniert (Abb. 35). Ist die Funktion „teilbelastete Flächen“ aktiviert, wird die zulässige Kegelgeometrie nach Eurocode erstellt (Abb. 34). Alle geometrischen Kollisionen werden vollständig in 3D für die festgelegte Geometrie des Betonbauteils und die Abmessungen jeder teilbelasteten Fläche gelöst. Anschließend wird ein Rechenmodell der teilbelasteten Fläche erstellt.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Abb. 36\qquad Zulässige Kegelgeometrien}}}\]

Die Bearbeitung des Materialmodells erwies sich als ungeeigneter Ansatz, vor allem die Abbildung von Eigenschaften auf das Finite-Elemente-Netz problematisch ist. Es wurde festgestellt, dass ein vom Finite-Elemente-Netz unabhängiger Ansatz eine geeignetere Lösung ist. Für die bekannte Druckkegelgeometrie (Abb. 35 und Abb. 37) werden absolut kohärente fiktive Streben erzeugt (Abb. 35 und Abb. 37). Diese Streben haben identische Materialeigenschaften wie der im Modell verwendete Beton, einschließlich des Spannungs-Dehnungs-Diagramms. Die Form des Kegels bestimmt die Richtung der Streben, die die Last über die teilbelastete Fläche allmählich in den Verteilungsbereich verteilt. Die Flächendichte der fiktiven Streben ist an jedem Teil des Kegels veränderlich und fügt einen fiktiven Betonbereich in Lastrichtung hinzu. Auf der Ebene der belasteten Fläche (A_c0) wird eine fiktive Betonfläche gemäß dem Verhältnis \(\sqrt{A_{c0} \cdot A_{c1}} - A_{real}\) (mit A_real als Auflagerfläche im 2D-Computermodell) hinzugefügt, und dieser Bereich nimmt zur Bemessungsverteilungsfläche hin linear auf Null ab (A_c1). Diese Lösung stellt sicher, dass die Druckspannung im Beton über das gesamte Kegelvolumen konstant ist.

\[\rho \left( {\beta ,z} \right) = \left( {\sqrt {\frac{A_{c1}}{A_{c0}}}  - \frac{A_{real}}{A_{c0}}} \right)\,\cdot\,\left( {1 - \frac{z}{h}} \right)\,\cdot\,\frac{1}{{\cos \beta }}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Abb. 37\qquad Fiktive Verstrebungen im Berechnungsmodell}}}\]

Die Tragfähigkeit der teilbelasteten Fläche wird entsprechend dem Verhältnis von Bemessungswert der verteilten Fläche zu belasteter Fläche gemäß DIN EN 1992-1-1 (6.7) erhöht. Es sei daran erinnert, dass dies eine Annahme darstellt, welche den Spannungszustand über einen teilbelasteten Bereich, dessen tatsächlicher Fluss viel komplizierter ist, nicht genau beschreiben kann. Diese Lösung ermöglicht jedoch die korrekte Lastverteilung auf das gesamte Modell unter Berücksichtigung der erhöhten Tragfähigkeit des teilbelasteten Bereichs. Des Weiteren werden in diesem Bereich Querzugspannungen korrekt eingeführt.

Analyse des Grenzzustands der Gebrauchstauglichkeit

SLS assessments are carried out for stress limitation, crack width, and deflection limits. Stresses are checked in concrete and reinforcement elements according to EN 1992-1-1 in a similar manner to that specified for the ULS.

Stress limitation

The compressive stress in the concrete shall be limited in order to avoid longitudinal cracks. According to EN 1992-1-1 chap. 7.2 (2), longitudinal cracks may occur if the stress level under the characteristic combination of loads exceeds a value k₁f_ck. The concrete stress in compression is evaluated as the ratio between the maximum principal compressive stress σ_c = σ_c2 obtained from FE analysis for serviceability limit states and the limit value σ_c,lim. Then:

\[\frac{σ_{c}}{σ_{c,lim}}\]

\[σ_{c,lim} = k_1\cdot f_{ck}\]

where:

f_ck        characteristic cylinder strength of concrete,

k₁         =0.6.

If the stress in the concrete under the quasi-permanent loads is less than k₂f_ck according to EN 1992-1-1 Cl. 7.2(3), linear creep may be assumed. If the stress in concrete exceeds k₂f_ck, non-linear creep should be considered (see EN 1992-1-1 Cl. 3.1.4). In IDEA StatiCa Detail only linear creep according to EN 1992-1-1 Cl. 3.1.4 (3) can be assumed (see Material models (EN)).

Unacceptable cracking or deformation may be assumed to be avoided if, under the characteristic combination of loads, the tensile stress in the reinforcement does not exceed k₃f_yk (EN 1992-1-1 chap. 7.2 (5)). The strength of the reinforcement is evaluated as the ratio between the stress in the reinforcement at the cracks σ_s = σ_sr and the specified limit value σ_s,lim:

\[\frac{σ_{s}}{σ_{s,lim}}\]

\[σ_{s,lim} =  k_3\cdot f_{yk}\]

where:

f_yk        yield strength of the reinforcement,

k₃        =0.8.

Deflection

Deflections can only be assessed for walls or isostatic (statically determinate) or hyperstatic (statically indeterminate) beams. In these cases, the absolute value of deflections is considered (compared to the initial state before loading), and the maximum admissible value of deflections must be set by the user. Deflections at trimmed ends cannot be checked since these are essentially unstable structures where the equilibrium is satisfied by adding end forces, and hence deflections are unrealistic. Short-term u_z,st or long-term u_z,lt deflection can be calculated and checked against user-defined limit values:

\[\frac{u_ z}{u_{z,lim}}\]

where:

u_z         short- or long-term deflection calculated by FE analysis,

u_z,lim    limit value of the deflection defined by the user.

Crack width

Crack widths and crack orientations are calculated only for permanent loads, either short-term or long-term. The verifications with respect to limit values specified by the user according to the Eurocode are presented as follows:

\[\frac{w}{w_{lim}}\]

where:

w         short- or long-term crack width calculated by FE analysis,

w_lim     limit value of the crack width defined by the user.

There are two ways of computing crack widths (stabilized and non-stabilized cracking). In the general case (stabilized cracking), the crack width is calculated by integrating the strains on 1D elements of reinforcing bars. The crack direction is then calculated from the three closest (from the center of the given 1D finite element of reinforcement) integration points of 2D concrete elements. While this approach to calculating the crack directions does not correspond to the real position of the cracks, it still provides representative values that lead to crack width results that can be compared to code-required crack width values at the position of the reinforcing bar.

Literatur

ACI Committee 318. 2009a. Building Code Requirements for Structural Concrete (ACI 318-08) and Commentary. Farmington Hills, MI: American Concrete Institute.

Alvarez, Manuel. 1998. Einfluss des Verbundverhaltens auf das Verformungsvermögen von Stahlbeton. IBK Bericht 236. Basel: Institut für Baustatik und Konstruktion, ETH Zurich, Birkhäuser Verlag.

Beeby, A. W. 1979. “The Prediction of Crack Widths in Hardened Concrete.” The Structural Engineer 57A (1): 9–17.

Broms, Bengt B. 1965. “Crack Width and Crack Spacing In Reinforced Concrete Members.” ACI Journal Proceedings 62 (10): 1237–56. https://doi.org/10.14359/7742.

Burns, C.. 2012. “Serviceability Analysis of Reinforced Concrete Members Based on the Tension Chord Model.” IBK Report Nr. 342, Zurich, Switzerland: ETH Zurich.

Crisfield, M. A. 1997. Non-Linear Finite Element Analysis of Solids and Structures. Wiley.

European Committee for Standardization (CEN). 2015. 1 Eurocode 2: Design of concrete structures - Part 1-1:  General rules and rules for buildings. Brussels: CEN, 2005.

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Anhänge zum Download

• Theoretical Background 20.pdf (PDF, 2,1 MB)